Элементарная абелева группа - Elementary abelian group

В математике , в частности в теории групп , элементарная абелева группа (или элементарная абелева p -группа ) - это абелева группа, в которой каждый нетривиальный элемент имеет порядок p . Число p должно быть простым , а элементарные абелевы группы представляют собой особый вид p -групп . Случай p = 2, т. Е. Элементарная абелева 2-группа, иногда называют булевой группой .

Каждая элементарная абелева p -группа является векторным пространством над простым полем с p элементами, и, наоборот, каждое такое векторное пространство является элементарной абелевой группой. По классификации конечно порожденных абелевых групп или по тому факту, что каждое векторное пространство имеет базис , каждая конечная элементарная абелева группа должна иметь вид ( Z / p Z ) n, где n - неотрицательное целое число (иногда называемое групповым звание ). Здесь Z / p Z обозначает циклическую группу порядка p (или, что эквивалентно, целые числа по модулю p ), а верхний индекс означает n- кратное прямое произведение групп .

В общем случае (возможно, бесконечная) элементарная абелева p -группа представляет собой прямую сумму циклических групп порядка p . (Обратите внимание, что в конечном случае прямое произведение и прямая сумма совпадают, но это не так в бесконечном случае.)

В настоящее время в оставшейся части статьи эти группы считаются конечными .

Примеры и свойства

  • Элементарная абелева группа ( Z / 2 Z ) 2 состоит из четырех элементов: {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} . Сложение выполняется покомпонентно, беря результат по модулю 2. Например, (1,0) + (1,1) = (0,1) . Фактически это четырехгруппа Клейна .
  • В группе, порожденной симметричной разностью на (не обязательно конечном) множестве, каждый элемент имеет порядок 2. Любая такая группа обязательно абелева, потому что, поскольку каждый элемент является своим собственным обратным, xy = ( xy ) −1 = y −1 х -1 = ух . Такая группа (также называемая булевой группой) обобщает пример четырех групп Клейна на произвольное количество компонентов.
  • ( Z / p Z ) n порождается n элементами, а n - наименьшее возможное количество образующих. В частности, набор { e 1 , ..., e n } , где e i имеет 1 в i- м компоненте и 0 в другом месте, является минимальным порождающим набором.
  • Каждая элементарная абелева группа имеет довольно простое конечное представление .

Структура векторного пространства

Предположим, что V ( Z / p Z ) n - элементарная абелева группа. Поскольку Z / p Z F p , конечное поле из p элементов, мы имеем V = ( Z / p Z ) n F p n , следовательно, V можно рассматривать как n -мерное векторное пространство над полем F p . Отметим, что элементарная абелева группа, вообще говоря, не имеет выделенного базиса: выбор изоморфизма V ( Z / p Z ) n соответствует выбору базиса.

Наблюдательному читателю может показаться, что F p n имеет большую структуру, чем группа V , в частности, что она имеет скалярное умножение в дополнение к сложению (вектор / группа). Тем не менее, V как абелева группа имеет уникальный Z - модуль структуры , где действие Z соответствует повторному Кроме того, и это Z - модуль структура согласуется с F р скалярного умножения. То есть c · g = g  +  g  + ... +  g ( c раз), где c в F p (рассматриваемое как целое число с 0 ≤  c  <  p ) дает V естественную структуру F p -модуля.

Группа автоморфизмов

Поскольку векторное пространство V имеет базис { e 1 , ..., e n }, как описано в примерах, если мы возьмем { v 1 , ..., v n } в качестве любых n элементов V , то линейным алгебра мы имеем , что отображение Т ( е я ) = v я однозначно продолжается до линейного преобразования V . Каждый такой T можно рассматривать как гомоморфизм группы из V в V ( эндоморфизм ), и аналогично любой эндоморфизм V можно рассматривать как линейное преобразование V как векторного пространства.

Если мы ограничим наше внимание автоморфизмов из V мы имеем Aut ( V ) = { T  : V V | кег Т = 0} = GL п ( Р р ), то линейная группа из п  ×  п обратимых матриц на F р .

Группа автоморфизмов GL ( V ) = GL n ( F p ) действует транзитивно на V \ {0} (как и любое векторное пространство). Фактически это характеризует элементарные абелевы группы среди всех конечных групп: если G - конечная группа с единицей e такая, что Aut ( G ) действует транзитивно на G \ {e} , то G элементарно абелева. (Доказательство: если Aut ( G ) действует транзитивно на G \ {e} , то все неединичные элементы группы G имеют один и тот же (обязательно простой) порядок. Тогда G является p -группой. Отсюда следует, что G имеет нетривиальный центр , который обязательно инвариантен относительно всех автоморфизмов и, таким образом, равен всем G. )

Обобщение на высшие порядки

Также может быть интересно перейти от компонентов простого порядка к порядку мощности простых чисел. Рассмотрим элементарная абелева группа G , чтобы быть типа ( р , р , ..., р ) для некоторого простого р . Гомоциклическая группа (ранг п ) является абелевой группой типа ( м , м , ..., м ) , то есть прямое произведение п изоморфных циклических групп порядка т , из которых группы типа ( р к , р к , ..., p k ) являются частным случаем.

Связанные группы

Эти дополнительные специальные группы являются расширениями элементарных абелевых групп по циклической группе порядка р, и аналогичны группе Гейзенберга .

Смотрите также

Рекомендации