Ортогональная группа - Orthogonal group

В математике , то ортогональная группа в размерности п , обозначается О ( п ) , является группой из дистанционных преобразований , сохраняющих одного евклидова пространства размерности п , сохраняющих неподвижной точки, где групповая операция задается составляя преобразования. Ортогональную группу иногда называют общей ортогональной группой по аналогии с общей линейной группой . Эквивалентно, это группа ортогональных матриц размера n × n , где групповая операция задается умножением матриц (ортогональная матрица - это вещественная матрица , обратная матрица которой равна ее транспонированию ). Ортогональная группа - это алгебраическая группа и группа Ли . Это компактное .

Ортогональная группа размерности n имеет две компоненты связности . Подгруппа, содержащая единичный элемент , называется специальной ортогональной группой и обозначается SO ( n ) . Он состоит из всех ортогональных матриц определителя 1 . Эта группа также называется группой вращения , обобщая тот факт, что в размерностях 2 и 3 ее элементами являются обычные вращения вокруг точки (в измерении 2) или линии (в измерении 3). В низкой размерности эти группы были широко изучены, см. SO (2) , SO (3) и SO (4) . Другой компонент состоит из всех ортогональных матриц определителя –1 . Этот компонент не образует группу, поскольку произведение любых двух его элементов имеет определитель 1 и, следовательно, не является элементом компонента.

Расширение для любого поля F , в п × п матрицы с элементами F , обратные равен транспонированным, называется ортогональная матрица над F . П × п ортогональные матрицы образуют подгруппу, обозначаемую O ( п , F ) , из общей линейной группы GL ( п , Р ) ; то есть

В более общем смысле, учитывая невырожденную симметричную билинейную форму или квадратичную форму на векторном пространстве над полем , ортогональная группа формы является группой обратимых линейных отображений , сохраняющих форму. Предыдущие ортогональные группы представляют собой частный случай, когда на некотором основании билинейная форма является скалярным произведением или, что то же самое, квадратичная форма является суммой квадратов координат.

Все ортогональные группы являются алгебраическими группами , поскольку условие сохранения формы можно выразить как равенство матриц.

Имя

Название «ортогональная группа» происходит от следующей характеристики ее элементов. Учитывая евклидово векторное пространство Е размерности п , элементы ортогональной группы O ( п ) являются, до более равномерного масштабирования ( homothecy ), то линейные карты от Е до Е , отображающие ортогональных векторов для ортогональных векторов.

В евклидовой геометрии

Ортогональная группа O ( n ) - это подгруппа общей линейной группы GL ( n , R ) , состоящая из всех эндоморфизмов , сохраняющих евклидову норму , то есть эндоморфизмов g таких, что

Пусть Е ( п ) является группа евклидовых изометрии одного евклидова пространства S размерности п . Эта группа не зависит от выбора конкретного пространства, поскольку все евклидовы пространства одной размерности изоморфны . Стабилизатор подгруппа точки хS есть подгруппа элементов г ∈ Е ( п ) такое , что г ( х ) = х . Этот стабилизатор (или, точнее, изоморфен) O ( n ) , поскольку выбор точки в качестве начала координат индуцирует изоморфизм между евклидовым пространством и связанным с ним евклидовым векторным пространством.

Существует естественный групповой гомоморфизм p из E ( n ) в O ( n ) , который определяется формулой

где, как обычно, вычитание двух точек обозначает вектор сдвига, который отображает вторую точку в первую. Это хорошо определенный гомоморфизм, поскольку прямая проверка показывает, что, если две пары точек имеют одинаковое различие, то же самое верно и для их изображений с помощью g (подробнее см. Аффинное пространство § Вычитание и аксиомы Вейля ).

Ядро из р есть векторное пространство переводов. Итак, сдвиги образуют нормальную подгруппу в E ( n ) , стабилизаторы двух точек сопряжены относительно действия сдвигов, и все стабилизаторы изоморфны O ( n ) .

Кроме того, евклидова группа представляет собой полупрямое произведение из O ( п ) и группа сдвигов. Отсюда следует, что изучение евклидовой группы по существу сводится к изучению O ( n ) .

SO ( n )

Выбирая ортонормированный базис евклидова векторного пространства, ортогональная группа может быть отождествлена ​​с группой (при матричном умножении) ортогональных матриц , которые являются такими матрицами, что

Из этого уравнения следует, что квадрат определителя из Q равен 1 , и , следовательно , определитель Q является либо 1 или -1 . Ортогональные матрицы с определителем 1 образуют подгруппу называют специальную ортогональную группу , обозначаемую SO ( п ) , состоящее из всех прямых изометрии из O ( п ) , которые являются те , которые сохраняют ориентацию пространства.

SO ( n ) - нормальная подгруппа в O ( n ) как ядро определителя, который является гомоморфизмом групп, образ которого является мультипликативной группой {–1, +1}. Кроме того, ортогональная группа является полупрямым произведением из SO ( п ) и группа из двух элементов, так как при любом отражении г , имеет один O ( п ) \ SO ( п ) = г SO ( п ) .

Группа с двумя элементами I } (где I - единичная матрица) является нормальной подгруппой и даже характеристической подгруппой группы O ( n ) и, если n четно, также группы SO ( n ) . Если п нечетно, О ( п ) является внутренним прямым произведением из SO ( п ) и я }. Для каждого положительного целого числа K в циклической группе C K из K -кратно вращений является нормальной подгруппой группы O (2) и SO (2) .

Каноническая форма

Для любого элемента O ( n ) существует ортогональный базис, матрица которого имеет вид

где матрицы R 1 , ..., R k - это матрицы поворота 2 на 2, то есть матрицы вида

с участием

Это следует из спектральной теоремы путем перегруппировки собственных значений, которые являются комплексно сопряженными , и с учетом того, что абсолютные значения собственных значений ортогональной матрицы все равны 1.

Элемент принадлежит SO ( n ) тогда и только тогда, когда на диагонали есть четное число –1 .

Частный случай n = 3 известен как теорема Эйлера о вращении , которая утверждает, что каждый (неединичный) элемент SO (3) является вращением вокруг уникальной пары ось-угол.

Размышления

Отражения - это элементы O ( n ) , каноническая форма которых

где I - это единичная матрица ( n –1) × ( n –1) , а нули обозначают нулевые матрицы строк или столбцов. Другими словами, отражение - это преобразование, которое преобразует пространство в его зеркальном отображении относительно гиперплоскости .

Во втором измерении каждое вращение является результатом двух отражений . Более точно, поворот угла & thetas является произведением двух отражений, оси которых имеет угол & thetas / 2 .

Каждый элемент O ( n ) является продуктом не более чем n отражений. Это немедленно следует из приведенной выше канонической формы и случая размерности два.

Теорема Картана – Дьедонне является обобщением этого результата на ортогональную группу невырожденной квадратичной формы над полем характеристики, отличной от двух.

Отражение через начало координат (карте V ↦ - v ) является примером элемента O ( п ) , что не является продуктом из менее чем п отражений.

Группа симметрии сфер

Ортогональная группа О ( п ) является группой симметрии из ( п - 1) -сферы (для п = 3 , это только сфера ) и все объекты с сферической симметрии, если начало координат выбрано в центре.

Группа симметрии из круга является O (2) . Сохраняющая ориентацию подгруппа SO (2) изоморфна (как действительная группа Ли) круговой группе , также известной как U (1) , мультипликативной группе комплексных чисел, модуль которых равен единице. Этот изоморфизм отправляет комплексное число ехра ( φ я ) = соз ( φ ) + я грех ( φ ) от абсолютного значения  1 к специальной ортогональной матрице

В более высокой размерности O ( n ) имеет более сложную структуру (в частности, она больше не коммутативна). В топологические структуры п -сферы и О ( п ) сильно коррелированы, и эта корреляция широко используется для изучения как топологические пространства .

Структура группы

Группы О ( п ) и SO ( п ) вещественные компактные группы Ли по размерности п ( п - 1) / 2 . Группа O ( n ) имеет две компоненты связности , причем SO ( n ) является компонентом идентичности , то есть компонентом связности, содержащим единичную матрицу .

Как алгебраические группы

Ортогональная группа O ( n ) может быть отождествлена ​​с группой матриц A , так что поскольку оба члена этого уравнения являются симметричными матрицами , это дает уравнения, которым должны удовлетворять элементы ортогональной матрицы, и которые не все удовлетворяются элементы любой неортогональной матрицы.

Это доказывает, что O ( n ) - алгебраическое множество . Более того, можно доказать, что его размерность равна

откуда следует, что O ( n ) - полное пересечение . Это означает, что все его неприводимые компоненты имеют одинаковую размерность и что он не имеет встроенного компонента . Фактически, O ( n ) имеет две неприводимые компоненты, которые различаются знаком определителя (то есть det ( A ) = 1 или det ( A ) = –1 ). Оба являются неособыми алгебраическими многообразиями одинаковой размерности n ( n - 1) / 2 . Компонент с det ( A ) = 1 - это SO ( n ) .

Максимальные торы и группы Вейля

А максимальный тор в компактных группы Ли G является максимальной подгруппой среди тех , которые изоморфны Т к для некоторых к , где Т = SO (2) является стандартным одномерным тором.

В O (2 n ) и SO (2 n ) для каждого максимального тора существует базис, на котором тор состоит из блочно-диагональных матриц вида

где каждый R j принадлежит SO (2) . В O (2 n + 1) и SO (2 n + 1) максимальные торы имеют одинаковую форму, окаймленные строкой и столбцом нулей, и 1 на диагонали.

Группа Вейля из SO (2 п + 1) является полупрямым произведением нормальной элементарной абелевой 2-подгруппы и симметрической группой , где нетривиальным элемент каждого {± 1 } фактор {± 1} п действует на соответствующей окружности множитель T × {1 } инверсией , а симметрическая группа S n действует как на {± 1} n, так и на T × {1 } путем перестановки множителей. Элементы группы Вейля представлены матрицами в O (2 n ) × {± 1 }. Коэффициент S n представлен матрицами перестановки блоков с блоками 2 на 2 и последней единицей на диагонали. Компонент {± 1} n представлен блочно-диагональными матрицами с блоками 2 на 2 либо

с последней составляющей ± 1, выбранной для определения 1.

Группа Вейля группы SO (2 n ) является подгруппой группы SO (2 n + 1) , где H n −1 <{± 1} n - ядро гомоморфизма произведения {± 1} n → {± 1 } предоставлено ; то есть H n −1 <{± 1} n - подгруппа с четным числом знаков минус. Группа Вейля группы SO (2 n ) представлена ​​в SO (2 n ) прообразов при стандартной инъекции SO (2 n ) → SO (2 n + 1) представителей группы Вейля группы SO (2 n + 1) . Эти матрицы с нечетным числом блоков не имеют оставшейся конечной координаты -1, чтобы их детерминанты были положительными, и, следовательно, не могут быть представлены в SO (2 n ) .

Топология

Низкоразмерная топология

Маломерные (действительные) ортогональные группы - это знакомые пространства :

Фундаментальная группа

С точки зрения алгебраической топологии , для п > 2 фундаментальной группой из SO ( п , R ) является циклической 2 - го порядка , а спина группа Spin ( п ) является универсальной покрышкой . При n = 2 фундаментальная группа бесконечна циклическая, а универсальное покрытие соответствует вещественной прямой (группа Spin (2) - единственное связное двумерное покрытие ).

Гомотопические группы

Как правило, гомотопические группы π k ( O ) реальной ортогональной группы связаны с гомотопическими группами сфер и, таким образом, в общем случае трудно вычислить. Однако можно вычислить гомотопические группы стабильной ортогональной группы (также известной как бесконечная ортогональная группа), определяемой как прямой предел последовательности включений:

Поскольку все включения замкнуты, следовательно , это кофибрации , это также можно интерпретировать как объединение. С другой стороны, S n является однородным пространством для O ( n + 1) , и одно имеет следующее расслоение :

который можно понимать как "Ортогональная группа O ( n + 1) действует транзитивно на единичной сфере S n , а стабилизатор точки (рассматриваемый как единичный вектор ) является ортогональной группой перпендикулярного дополнения , которое является ортогональная группа на одну размерность ниже. Таким образом, естественное включение O ( n ) → O ( n + 1) является ( n - 1) -связным , поэтому гомотопические группы стабилизируются, и π k (O ( n + 1)) = π k (O ( n )) для n > k + 1 : таким образом, гомотопические группы стабильного пространства равны нижним гомотопическим группам нестабильных пространств.

Из периодичности Ботта получаем Ω 8 OO , поэтому гомотопические группы O 8-кратно периодичны, что означает π k + 8 ( O ) = π k ( O ) , и нужно только перечислить нижние 8 гомотопических групп:

Отношение к KO-теории

С помощью конструкции сцепления гомотопические группы стабильного пространства O отождествляются со стабильными векторными расслоениями на сферах (с точностью до изоморфизма ) со сдвигом размерности 1: π k ( O ) = π k + 1 ( BO ) . Полагая KO = BO × Z = Ω −1 O × Z (чтобы π 0 укладывалось в периодичность), получаем:

Вычисление и интерпретация гомотопических групп

Низкоразмерные группы

Первые несколько гомотопических групп могут быть вычислены с использованием конкретных описаний низкоразмерных групп.

  • π 0 ( O ) = π 0 (O (1)) = Z / 2 Z , от сохранения / изменения ориентации (этот класс выживает до O (2) и, следовательно, стабильно)
  • π 1 ( O ) = π 1 (SO (3)) = Z / 2 Z , то есть спин происходит от SO (3) = R P 3 = S 3 / ( Z / 2 Z ) .
  • π 2 ( O ) = π 2 (SO (3)) = 0 , который сюрпризируется на π 2 (SO (4)) ; последний, таким образом, исчезает.
Группы Ли

Из общих фактов о группах Ли следует , что π 2 ( G ) всегда равно нулю, а π 3 ( G ) является свободным ( свободным абелевым ).

Векторные пучки

С точки зрения векторного расслоения π 0 ( K O) является векторным расслоением над S 0 , то есть двумя точками. Таким образом, по каждой точке расслоение тривиально, а нетривиальность расслоения - это разница между размерностями векторных пространств над двумя точками, поэтому π 0 ( K O) = Z - размерность .

Пространства петель

Используя конкретные описания пространств петель в периодичности Ботта , можно интерпретировать высшие гомотопии O в терминах более простых для анализа гомотопий более низкого порядка. Используя π 0 , O и O / U имеют две компоненты, K O = B O × Z и K Sp = B Sp × Z имеют счетное количество компонентов, а остальные связаны.

Интерпретация гомотопических групп

В двух словах:

Пусть R - любая из четырех алгебр с делением R , C , H , O , и пусть L R - тавтологическое линейное расслоение над проективной прямой R P 1 , а [ L R ] - его класс в K-теории. Отметив, что R P 1 = S 1 , C P 1 = S 2 , H P 1 = S 4 , O P 1 = S 8 , они дают векторные расслоения над соответствующими сферами, и

  • π 1 ( K O) порождается [ L R ]
  • π 2 ( K O) порождается [ L C ]
  • π 4 ( K O) порождается [ L H ]
  • π 8 ( K O) порождается [ L O ]

С точки зрения симплектической геометрии , тг 0 ( К О) ≅ π 8 ( К О) = Z можно интерпретировать как индекс Маслова , мышление о нем , как фундаментальная группе П 1 (U / O) в стабильном Лагранже Грассманиан, поскольку U / O ≅ Ω 7 ( K O) , поэтому π 1 (U / O) = π 1 + 7 ( K O) .

Башня Уайтхед

Ортогональная группа закрепляет башню Уайтхеда :

которое получается последовательным удалением (уничтожением) гомотопических групп возрастающего порядка. Это делается путем построения коротких точных последовательностей, начиная с пространства Эйленберга – Маклейна, для удаления гомотопической группы. Первые несколько записей в башне являются спин группы и струнной группа , и предшествуют пятьбранной группой . Убитые гомотопические группы, в свою очередь, представляют собой π 0 ( O ), чтобы получить SO из O , π 1 ( O ), чтобы получить Spin из SO , π 3 ( O ), чтобы получить String из Spin , а затем π 7 ( O ) и так далее, чтобы получить браны более высокого порядка .

Неопределенной квадратичной формы над действительными

По действительным числам невырожденные квадратичные формы классифицируются законом инерции Сильвестра , который утверждает, что в векторном пространстве размерности n такую ​​форму можно записать как разность суммы p квадратов и суммы q квадратов, с p + q = n . Другими словами, существует базис, на котором матрица квадратичной формы является диагональной матрицей с p элементами, равными 1 , и q элементами, равными –1 . Пара ( p , q ), называемая инерцией , является инвариантом квадратичной формы в том смысле, что она не зависит от способа вычисления диагональной матрицы.

Ортогональная группа квадратичной формы зависит только от инерции и поэтому обычно обозначается O ( p , q ) . Более того, поскольку квадратичная форма и ее противоположность имеют одну и ту же ортогональную группу, у нее O ( p , q ) = O ( q , p ) .

Стандартная ортогональная группа - это O ( n ) = O ( n , 0) = O (0, n ) . Итак, в оставшейся части этого раздела предполагается, что ни p, ни q не равны нулю.

Подгруппа матриц определителя 1 в O ( p , q ) обозначается SO ( p , q ) . Группа O ( p , q ) имеет четыре компонента связности, в зависимости от того, сохраняет ли элемент ориентацию на любом из двух максимальных подпространств, где квадратичная форма положительно определена или отрицательно определена. Компонента тождества, элементы которой сохраняют ориентацию на обоих подпространствах, обозначается SO + ( p , q ) .

Группы О (3, 1) является группа Лоренца , что является основным в теории относительности . Здесь 3 соответствует пространственным координатам, а 1 соответствует временной координате.

Сложных квадратичных форм

Над поле C из комплексных чисел , каждая невырожденная квадратичная форма в п переменных эквивалентна . Таким образом, с точностью до изоморфизма существует только одно невырожденное комплексное квадратичное пространство размерности n и одна ассоциированная ортогональная группа, обычно обозначаемая O ( n , C ) . Это группа комплексных ортогональных матриц , комплексных матриц, произведение которых с их транспонированием является единичной матрицей.

Как и в реальном случае, O ( n , C ) имеет две компоненты связности. Компонент тождества состоит из всех матриц определителя 1 в O ( n , C ) ; он обозначается SO ( n , C ) .

Группы O ( n , C ) и SO ( n , C ) являются комплексными группами Ли размерности n ( n - 1) / 2 над C (размерность над R вдвое больше). При n ≥ 2 эти группы некомпактны. Как и в реальном случае, SO ( п , С ) не просто подключен: Для п > 2 , то фундаментальная группа из SO ( п , С ) является циклической 2 - го порядка , в то время как фундаментальная группа SO (2, С ) является Z .

Над конечными полями

Характеристика отличается от двух

Над поля характеристики , отличные от двух, две квадратичных форм являются эквивалентны , если их матрица конгруэнтна , то есть , если изменение базиса преобразует матрицу первой формы в матрицу второй формы. Две эквивалентные квадратичные формы явно имеют одну и ту же ортогональную группу.

Невырожденные квадратичные формы над конечным полем характеристики, отличной от двух, полностью классифицируются на классы конгруэнции, и из этой классификации следует, что существует только одна ортогональная группа в нечетной размерности и две в четной размерности.

Точнее, теорема Витта о разложении утверждает, что (в характеристике, отличной от двух) каждое векторное пространство, снабженное невырожденной квадратичной формой Q, может быть разложено как прямая сумма попарно ортогональных подпространств

где каждый L i является гиперболической плоскостью (то есть существует такой базис, что матрица ограничения Q на L i имеет вид ), а ограничение Q на W является анизотропным (то есть Q ( w ) ≠ 0 для любого ненулевого w в W ).

Теорема Шевалле – Предупреждения утверждает, что над конечным полем размерность W не превосходит двух.

Если размерность V нечетная, размерность W , таким образом, равна единице, а ее матрица конгруэнтна либо, либо с тем, где 𝜙 - неквадратный скаляр. Это приводит к тому, что существует только одна ортогональная группа, которая обозначается O (2 n + 1, q ) , где q - количество элементов конечного поля (степень нечетного простого числа).

Если размерность W равна двум и –1 не является квадратом в основном поле (то есть, если его количество элементов q сравнимо с 3 по модулю 4), матрица ограничения Q на W сравнима либо с I или - I , где I - единичная матрица 2 × 2. Если размерность W равна двум, а –1 - квадрат в основном поле (то есть, если q сравнимо с 1 по модулю 4), матрица ограничения Q на W сравнима с 𝜙 - это любой неквадратный скаляр .

Это означает, что если размерность V четная, существуют только две ортогональные группы, в зависимости от того, размерность W равна нулю или двум. Они обозначаются соответственно O + (2 n , q ) и O - (2 n , q ) .

Ортогональная группа O ϵ (2, q ) является группой диэдра порядка 2 ( q - ϵ ) , где ϵ = ± .

Доказательство  -

Для изучения ортогональной группы O ϵ (2, q ) можно предположить, что матрица квадратичной формы есть потому, что для данной квадратичной формы существует базис, в котором ее матрица диагонализуема. Матрица принадлежит ортогональной группе, если то есть a 2 - ωb 2 = 1 , ac - ωbd = 0 и c 2 - ωd 2 = –ω . Поскольку a и b не могут быть одновременно равными нулю (из-за первого уравнения), второе уравнение подразумевает существование ϵ в F q , такого что c = ϵωb и d = ϵa . Сообщая эти значения в третьем уравнении и используя первое уравнение, получаем, что ϵ 2 = 1 , и, таким образом, ортогональная группа состоит из матриц

где a 2 - ωb 2 = 1 и ϵ = ± 1 . Более того, определитель матрицы равен ϵ .

Для дальнейшего изучения ортогональной группы удобно ввести квадратный корень α из ω . Этот квадратный корень принадлежит F q, если ортогональная группа O + (2, q ) , и F q 2 в противном случае. Установка х = + αb , а у = а - αb , один имеет

Если и - две матрицы детерминанта один в ортогональной группе, то

Это ортогональная матрица с a = a 1 a 2 + ωb 1 b 2 и b = a 1 b 2 + b 1 a 2 . Таким образом

Отсюда следует, что отображение является гомоморфизмом группы ортогональных матриц детерминантной единицы в мультипликативную группу F q 2 .

В случае O + (2 n , q ) изображение является мультипликативной группой F q , которая является циклической группой порядка q .

В случае O - (2 н , д ) , выше х и у являются сопряженными , и, следовательно , изображение друг от друга с помощью автоморфизма Фробениуса . Это означает, что и, следовательно, для каждого такого x можно восстановить соответствующую ортогональную матрицу. Отсюда следует, что отображение является групповым изоморфизмом ортогональных матриц детерминанта 1 к группе ( q + 1) - корней из единицы . Эта группа является циклической группой порядка ц + 1 , который состоит из степеней , где г является примитивным элементом из F д 2 ,

Для завершения доказательства достаточно проверить, что группа всех ортогональных матриц не абелева, а является полупрямым произведением группы {1, –1} и группы ортогональных матриц с детерминантной единицей.

Сравнение этого доказательства с реальным случаем может пролить свет.

Здесь задействованы два групповых изоморфизма:

где g - примитивный элемент F q 2, а T - мультипликативная группа элемента нормы один в F q 2  ;

с и

В реальном случае соответствующие изоморфизмы:

где C - круг комплексных чисел нормы один;

с и

Когда характеристика не равна двум, порядок ортогональных групп равен

В характеристике два, формулы являются одинаковыми, за исключением того, что фактор 2 из должно быть удалено.

Инвариант Диксона

Для ортогональных групп инвариант Диксона представляет собой гомоморфизм ортогональной группы в фактор-группу Z / 2 Z (целые числа по модулю 2), принимающий значение 0 в случае, если элемент является произведением четного числа отражений, и значением 1 иначе.

Алгебраически инвариант Диксона можно определить как D ( f ) = rank ( I - f ) по модулю 2 , где I - единица ( Taylor 1992 , теорема 11.43). В полях, не имеющих характеристики 2, он эквивалентен определителю: определитель равен −1 в степени инварианта Диксона. В полях характеристики 2 определитель всегда равен 1, поэтому инвариант Диксона дает больше информации, чем определитель.

Специальная ортогональная группа является ядром инварианта Диксона и обычно имеет индекс 2 в O ( n , F  ) . Когда характеристика F не равна 2, инвариант Диксона равен 0, если определитель равен 1 . Таким образом, когда характеристика не равна 2, SO ( n , F  ) обычно определяется как элементы O ( n , F  ) с определителем 1 . Каждый элемент в O ( n , F  ) имеет определитель ± 1 . Таким образом, в характеристике 2 определитель всегда равен 1 .

Инвариантно Диксона также могут быть определены для Клиффорда групп и контактных групп аналогичным образом (во всех измерениях).

Ортогональные группы характеристики 2

Ортогональные группы над полями характеристики 2 часто проявляют особое поведение, некоторые из которых перечислены в этом разделе. (Раньше эти группы назывались гипоабелевыми группами , но этот термин больше не используется.)

  • Любая ортогональная группа над любым полем порождается отражениями, за исключением уникального примера, где векторное пространство является 4-мерным над полем с 2 элементами, а индекс Витта равен 2. Отражение в характеристике два имеет несколько иное определение. Во второй характеристике отражение, ортогональное вектору u, переводит вектор v в v + B ( v , u ) / Q ( u ) · u, где B - билинейная форма, а Q - квадратичная форма, связанная с ортогональной геометрией. Сравните это с отражением Хаусхолдера нечетной характеристики или нулевой характеристики, которое переводит v в v - 2 · B ( v , u ) / Q ( u ) · u .
  • Центр ортогональной группы , как правило , имеет порядок 1 в характеристике 2, а не 2, так как я = - я .
  • В нечетной размерности 2 n + 1 характеристики 2 ортогональные группы над совершенными полями аналогичны симплектическим группам размерности 2 n . Фактически симметричная форма чередуется в характеристике 2, и поскольку размерность нечетная, она должна иметь ядро ​​размерности 1, и фактор по этому ядру представляет собой симплектическое пространство размерности 2 n , на которое действует ортогональная группа.
  • В четных размерностях характеристики 2 ортогональная группа является подгруппой симплектической группы, поскольку симметричная билинейная форма квадратичной формы также является альтернированной формой.

Спинорная норма

Норма спинорная гомоморфизм из ортогональной группы над полем F к группе фактор F × / ( F × ) 2 ( мультипликативная группа поля F до умножения на квадратные элементы), который принимает отражение в векторе нормы n к образу n в F × / ( F × ) 2 .

Для обычной ортогональной группы над вещественными числами это тривиально, но часто нетривиально над другими полями или для ортогональной группы квадратичной формы над вещественными числами, которая не является положительно определенной.

Когомологии Галуа и ортогональные группы

В теории Галуа когомологий из алгебраических групп , некоторые дополнительные точки зрения введены. Они имеют объяснительную ценность, в частности, в отношении теории квадратичных форм; но были по большей части post hoc , что касается открытия феномена. Во-первых, квадратичные формы над полем можно идентифицировать как H 1 Галуа или скрученные формы ( торсоры ) ортогональной группы. Как алгебраическая группа, ортогональная группа, вообще говоря, не является ни связной, ни односвязной; вторая точка привносит спиновые явления, а первая связана с дискриминантом .

«Спиновое» название спинорной нормы можно объяснить связью со спиновой группой (точнее, с группой контактов ). Теперь это можно быстро объяснить с помощью когомологий Галуа (которые, однако, появились после введения этого термина более прямым использованием алгебр Клиффорда ). Спин покрытия ортогональной группы обеспечивает короткую точную последовательность из алгебраических групп .

Здесь μ 2 - алгебраическая группа квадратных корней из 1 ; над полем характеристики, отличной от 2, она примерно такая же, как двухэлементная группа с тривиальным действием Галуа. Связывающий гомоморфизм из H 0V ) , которая является просто группа О В ( Р ) из F -значная точек, чтобы H 1 (мкм 2 ) , по существу , спинорная норма, потому что H 12 ) изоморфна мультипликативная группа поля по модулю квадратов.

Существует также соединяющий гомоморфизм H 1 ортогональной группы с H 2 ядра спинового покрытия. Когомологии неабелевы, так что это все, что мы можем, по крайней мере, с общепринятыми определениями.

Алгебра Ли

Алгебра Ли , соответствующая Ли группа O ( п , F  ) и SO ( п , Р  ) состоит из кососимметрического п × п матриц, с скобки Ли [,] задается коммутатором . Обеим группам соответствует одна алгебра Ли. Его часто обозначают или , и называют ортогональной алгеброй Ли или специальной ортогональной алгеброй Ли . Над действительными числами эти алгебры Ли для различных n являются компактными вещественными формами двух из четырех семейств полупростых алгебр Ли : в нечетной размерности B k , где n = 2 k + 1 , и в четной размерности D r , где n = 2 р .

Поскольку группа SO ( n ) не является односвязной, теория представлений ортогональных алгебр Ли включает как представления, соответствующие обычным представлениям ортогональных групп, так и представления, соответствующие проективным представлениям ортогональных групп. (Проективные представления SO ( n ) - это просто линейные представления универсального покрытия, спиновой группы Spin ( n ).) Последние представляют собой так называемые спиновые представления , которые важны в физике.

В более общем смысле, учитывая векторное пространство (над полем с характеристикой, не равной 2) с невырожденной симметричной билинейной формой , специальная ортогональная алгебра Ли состоит из бесследовых эндоморфизмов, которые кососимметричны для этой формы ( ). Вместо поля характеристики 2 мы рассматриваем знакопеременные эндоморфизмы. Конкретно мы можем приравнять их к чередующимся тензорам . Переписку дают:

Это описание в равной степени применимо к неопределенным специальным ортогональным алгебрам Ли для симметричных билинейных форм с сигнатурой .

В случае вещественных чисел эта характеристика используется для интерпретации завитка векторного поля (естественно, 2-вектора) как бесконечно малого вращения или «завитка», отсюда и название.

Связанные группы

Ортогональные группы и специальные ортогональные группы имеют ряд важных подгрупп, супергрупп, фактор-групп и покрывающих групп. Они перечислены ниже.

Включения O ( n ) ⊂ U ( n ) ⊂ USp (2 n ) и USp ( n ) ⊂ U ( n ) ⊂ O (2 n ) являются частью последовательности из 8 включений, используемых в геометрическом доказательстве периодичности Ботта теоремы , а соответствующие факторпространства представляют собой симметрические пространства, представляющие независимый интерес, например, U ( n ) / O ( n ) - лагранжев грассманиан .

Подгруппы Ли

В физике, особенно в области компактификации Калуцы – Клейна , важно выяснить подгруппы ортогональной группы. Основные из них:

- сохранить ось
- U ( n ) - это те, которые сохраняют совместимую комплексную структуру или совместимую симплектическую структуру - см. Свойство 2-из-3 ; SU ( n ) также сохраняет комплексную ориентацию.

Супергруппы Ли

Ортогональная группа O ( n ) также является важной подгруппой различных групп Ли:

Конформная группа

Будучи изометриями , действительные ортогональные преобразования сохраняют углы и, таким образом, являются конформными отображениями , хотя не все конформные линейные преобразования ортогональны. В классических терминах это разница между конгруэнции и подобия , как проиллюстрировано с помощью SSS (бок о бок) боковой конгруэнтность треугольников и AAA (угол-угол-угол) подобия треугольников . Группа конформных линейных отображений R n обозначается CO ( n ) для конформной ортогональной группы и состоит из произведения ортогональной группы на группу растяжений . Если n нечетное, эти две подгруппы не пересекаются и представляют собой прямое произведение : CO (2 k + 1) = O (2 k + 1) × R , где R = R ∖ {0 } - вещественное мультипликативная группа , в то время как если n четно, эти подгруппы пересекаются в ± 1 , так что это не прямое произведение, а прямое произведение с подгруппой растяжения положительным скаляром: CO (2 k ) = O (2 k ) × R + .

Аналогичным образом можно определить CSO ( n ) ; обратите внимание, что это всегда: CSO ( n ) = CO ( n ) ∩ GL + ( n ) = SO ( n ) × R + .

Дискретные подгруппы

Поскольку ортогональная группа компактна, дискретные подгруппы эквивалентны конечным подгруппам. Эти подгруппы известны как точечные группы и могут быть реализованы как группы симметрии многогранников . Очень важный класс примеров - конечные группы Кокстера , которые включают группы симметрии правильных многогранников .

Размерность 3 особенно изучена - см. Точечные группы в трех измерениях , группы полиэдров и список групп сферической симметрии . В двух измерениях конечные группы либо циклические, либо диэдральные - см. Точечные группы в двух измерениях .

Другие конечные подгруппы включают:

Покрывающие и факторгруппы

Ортогональная группа не является ни односвязной, ни бесцентровой и, следовательно, имеет как покрывающую группу, так и фактор-группу , соответственно:

Это все обложки 2 к 1.

Для специальной ортогональной группы соответствующие группы:

Spin - это покрытие 2 к 1, в то время как в четном измерении PSO (2 k ) - это покрытие 2 к 1, а в нечетном измерении PSO (2 k + 1) - покрытие 1 к 1; т. е. изоморфна SO (2 k + 1) . Эти группы Spin ( n ) , SO ( n ) и PSO ( n ) являются групповыми формами Ли компактной специальной ортогональной алгебры Ли , - Spin - односвязная форма, PSO - бесцентровая форма, а SO в общем случае ни один.

В размерности 3 и выше это покрытия и частные, в то время как размер 2 и ниже несколько вырожден; см. подробности в конкретных статьях.

Главное однородное пространство: многообразие Штифеля

Главное однородное пространство для ортогональной группы O ( п ) является многообразие Штифель V п ( R п ) из ортогональных базисов (ортонормирован п -frames ).

Другими словами, пространство ортонормированных базисов похоже на ортогональную группу, но без выбора базовой точки: для данного ортогонального пространства нет естественного выбора ортонормированного базиса, но как только он задан, существует взаимно однозначный выбор. -одинное соответствие между базисами и ортогональной группой. Конкретно, линейное отображение определяется тем, куда оно отправляет базис: так же, как обратимое отображение может переводить любой базис в любой другой базис, ортогональное отображение может переводить любой ортогональный базис в любой другой ортогональный базис.

В других Штифеле V к ( R п ) для к < п из неполных ортогональных базисов (ортонормировано к -frames) все еще однородные пространства для ортогональной группы, но не главные однородных пространства: любые к -репер могут быть приняты для любых других к -кадр по ортогональной карте, но эта карта не определяется однозначно.

Смотрите также

Конкретные преобразования

Конкретные группы

Связанные группы

Списки групп

Теория представлений

Примечания

Цитаты

использованная литература

внешние ссылки