Групповой гомоморфизм - Group homomorphism
Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
---|
В математике для данных двух групп ( G , ∗) и ( H , ·) гомоморфизм группы из ( G , ∗) в ( H , ·) - это функция h : G → H такая, что для всех u и v из G считается, что
где групповая операция на левой стороне уравнения является то , что G и на правой стороне этого из Н .
Из этого свойства можно вывести, что h отображает единичный элемент e G группы G в единичный элемент e H группы H ,
и он также отображает обратное в обратное в том смысле, что
Следовательно, можно сказать, что h «согласовано со структурой группы».
Старые обозначения для гомоморфизма h ( x ) могут быть x h или x h , хотя их можно спутать с индексом или общим нижним индексом. В теории автоматов иногда гомоморфизмы пишутся справа от аргументов без скобок, так что h ( x ) становится просто xh .
В областях математики, где рассматриваются группы, наделенные дополнительной структурой, гомоморфизм иногда означает карту, которая учитывает не только структуру группы (как указано выше), но и дополнительную структуру. Например, часто требуется, чтобы гомоморфизм топологических групп был непрерывным.
Интуиция
Цель определения гомоморфизма группы - создать функции, сохраняющие алгебраическую структуру. Эквивалентное определение гомоморфизма групп: функция h : G → H является гомоморфизмом группы, если всякий раз
a ∗ b = c имеем h ( a ) ⋅ h ( b ) = h ( c ).
Другими словами, группа H в некотором смысле имеет алгебраическую структуру, аналогичную G, и гомоморфизм h ее сохраняет.
Типы
- Мономорфизм
- Групповой гомоморфизм, инъективный (или взаимно однозначный); т.е. сохраняет четкость.
- Эпиморфизм
- Гомоморфизм группы, который сюръективен (или на); т.е. достигает каждой точки в кодомене.
- Изоморфизм
- Гомоморфизм группы, который является биективным ; т.е. инъективный и сюръективный. Обратный к нему также является гомоморфизмом групп. В этом случае группы G и H называются изоморфными ; они различаются только обозначениями своих элементов и идентичны для всех практических целей.
- Эндоморфизм
- Гомоморфизм, h : G → G ; домен и кодомен совпадают. Также называется эндоморфизмом G .
- Автоморфизм
- Биективный эндоморфизм и, следовательно, изоморфизм. Множество всех автоморфизмов из группы G , с функциональной композицией в качестве операции, образует собой группу, в группу автоморфизмов из G . Обозначается Aut ( G ). Например, группа автоморфизмов ( Z , +) содержит только два элемента, тождественное преобразование и умножение на −1; она изоморфна Z / 2 Z .
Образ и ядро
Мы определяем ядро h как набор элементов в G, которые отображаются в единицу в H
и образ h должен быть
Ядро и образ гомоморфизма можно интерпретировать как измерение того, насколько он близок к изоморфизму. В первой теореме изоморфизма утверждает , что образ гомоморфизма групп, ч ( G ) изоморфна фактор - группу G / кекли ч .
Ядро ч является нормальной подгруппой в G и изображение Н является подгруппой из H :
Если и только если ker ( h ) = { e G }, гомоморфизм h является групповым мономорфизмом ; т.е. h инъективен (однозначно). Инъекция напрямую указывает, что в ядре есть уникальный элемент, а уникальный элемент в ядре дает инъекцию:
Примеры
- Рассмотрим циклическую группу Z / 3 Z = {0, 1, 2} и группу целых чисел Z с добавлением. Отображение h : Z → Z / 3 Z с h ( u ) = u mod 3 является гомоморфизмом групп. Он сюръективен, и его ядро состоит из всех целых чисел, которые делятся на 3.
- Рассмотрим группу
Для любого комплексного числа u функция f u : G → C * определяется следующим образом:
- Рассмотрим мультипликативную группу положительных действительных чисел ( R + , ⋅) для любого комплексного числа u функцию f u : R + → C, определенную следующим образом:
- Экспоненциальное отображение дает гомоморфизм групп из группы действительных чисел R с добавлением к группе ненулевых вещественных чисел R * с умножением. Ядро - это {0}, а изображение состоит из положительных действительных чисел.
- Экспоненциальное отображение также дает гомоморфизм группы из группы комплексных чисел C с добавлением к группе ненулевых комплексных чисел C * с умножением. Это отображение сюръективно и имеет ядро {2π ki : k ∈ Z }, как видно из формулы Эйлера . Поля, подобные R и C, которые имеют гомоморфизмы из их аддитивной группы в их мультипликативную группу, поэтому называются экспоненциальными полями .
Категория групп
Если h : G → H и k : H → K гомоморфизмы групп, то k ∘ h : G → K тоже . Это показывает, что класс всех групп вместе с гомоморфизмами групп как морфизмами образует категорию .
Гомоморфизмы абелевых групп
Если G и Н являются абелевы (т.е. коммутативным) групп, то множество Horn ( G , H ) всех гомоморфизмов группы от G до H сам абелева группа: сумма ч + к из двух гомоморфизмов определяются
- ( Ч + к ) ( у ) = ч ( у ) + к ( у ) для всех U в G .
Коммутативность H необходима для доказательства того, что h + k снова является гомоморфизмом групп.
Сложение гомоморфизмов согласовано с композицией гомоморфизмов в следующем смысле: если f принадлежит Hom ( K , G ) , h , k являются элементами Hom ( G , H ) , а g принадлежит Hom ( H , L ) , тогда
- ( h + k ) ∘ f = ( h ∘ f ) + ( k ∘ f ) и g ∘ ( h + k ) = ( g ∘ h ) + ( g ∘ k ) .
Так как композиция является ассоциативной , это показывает , что множество End ( G ) всех эндоморфизмов абелевой группы образует кольцо , то кольцо эндоморфизмов из G . Например, кольцо эндоморфизмов абелевой группы , состоящая из прямой суммы из м копия Z / п Z изоморфна кольца м матрица с размерностью м матрицы с элементами из Z / н Z . Вышеупомянутая совместимость также показывает, что категория всех абелевых групп с гомоморфизмами групп образует преаддитивную категорию ; существование прямых сумм и корректных ядер делает эту категорию прототипом абелевой категории .
Смотрите также
Рекомендации
- Даммит, Д.С. Фут, Р. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Вайли. С. 71–72. ISBN 978-0-471-43334-7 .
- Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556 , Zbl 0984.00001
внешняя ссылка
- Роуленд, Тодд и Вайсштейн, Эрик В. "Групповой гомоморфизм" . MathWorld .