Прямое произведение групп - Direct product of groups

В математике , в частности , в теории групп , то прямое произведение представляет собой операцию , которая принимает два группы G и H и формирует новую группу, обычно обозначаемое G × H . Эта операция является теоретико-групповым аналогом декартова произведения из множеств и является одним из нескольких важных понятий прямого произведения в области математики.

В контексте абелевых групп прямое произведение иногда называют прямой суммой и обозначают . Прямые суммы играют важную роль в классификации абелевых групп: согласно основной теореме о конечных абелевых группах , каждая конечная абелева группа может быть выражена как прямая сумма циклических групп .

Определение

Для групп G (с операцией * ) и H (с операцией ) прямое произведение G × H определяется следующим образом:

  1. , Лежащая в основе множество является декартово произведение, G × H . То есть, упорядоченные пары ( г , з ) , где гG и HH .
  2. Бинарная операция на G × H определяется покомпонентно:
    ( g 1 , h 1 ) · ( g 2 , h 2 ) = ( g 1 * g 2 , h 1h 2 )

Полученный алгебраический объект удовлетворяет аксиомам группы. Конкретно:

Ассоциативность
Бинарная операция на G × H является ассоциативной .
Личность
Прямое произведение имеет единичный элемент , а именно : (1 G , 1 Н ) , где - G представляет собой единичный элемент G и 1 Н является единичным элементом  H .
Перевернутые
Обратный элемент ( г , ч ) из G × H является парой ( г -1 , ч -1 ) , где г -1 является обратным г в G , и ч -1 является обратной ч в  Н .

Примеры

( x 1 , y 1 ) + ( x 2 , y 2 ) = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) .
  • Пусть R + - группа положительных действительных чисел при умножении. Тогда прямое произведение R + × R + - это группа всех векторов в первом квадранте относительно операции покомпонентного умножения
( x 1 , y 1 ) × ( x 2 , y 2 ) = ( x 1 × x 2y 1 × y 2 ) .
  • * 1 а
    1 1 а
    а а 1
  • * 1 б
    1 1 б
    б б 1

Тогда прямое произведение G × H является изоморфно к четверной группе Клейна :

* (1,1) (а, 1) (1, б) (а, б)
(1,1) (1,1) (а, 1) (1, б) (а, б)
(а, 1) (а, 1) (1,1) (а, б) (1, б)
(1, б) (1, б) (а, б) (1,1) (а, 1)
(а, б) (а, б) (1, б) (а, 1) (1,1)

Элементарные свойства

  • Прямое произведение коммутативно и ассоциативно с точностью до изоморфизма. То есть, G × H H × G и ( G × H ) × K G × ( Н × К ) для любых групп G , H и K .
  • Порядок прямого произведения G × H является произведением порядков G и  H :
    | G × H | = | G | | H | .
    Это следует из формулы мощности декартова произведения множеств.
  • Порядок каждого элемента ( g , h ) является наименьшим общим кратным порядков g и h :
    | ( г , з ) | = lcm (| g | , | h |) .
    В частности, если | г | и | ч | являются взаимно простыми , то порядок ( г , ч ) является произведением порядков г и ч .
  • Как следствие, если G и H - циклические группы , порядки которых взаимно просты, то G × H также является циклическим. То есть, если m и n взаимно просты, то
    ( Z / м Z ) × ( Z / п Z ) Z / млн Z .
    Этот факт тесно связан с китайской теоремой об остатках .

Алгебраическая структура

Пусть G и H являются группами, пусть P = G × H , и рассмотрим следующие два подмножества из  P :

G ′ = {( g , 1): gG }    и    H ′ = {(1, h ): hH } .

Оба из них на самом деле подгрупп из Р , первых из которых изоморфных G , а второй изоморфна H . Если мы отождествим их с G и H соответственно, то мы можем думать о прямом произведении P как о содержащем исходные группы G и H как подгруппы.

Эти подгруппы в P обладают следующими тремя важными свойствами: (Повторяю еще раз, что мы отождествляем G и H с G и H соответственно.)

  1. Пересечения GH является тривиальным .
  2. Каждый элемент Р может быть выражена однозначно как произведение элемента G и элемента  Н .
  3. Каждый элемент G коммутирует с любым элементом Н .

Вместе эти три свойства полностью определяют алгебраическую структуру прямого произведения P . То есть, если Р является любой группой , имеющей подгруппы G и H , которые удовлетворяют свойства выше, то Р обязательно изоморфна прямому произведению G и H . В этой ситуации, Р иногда называют внутренним прямое произведение своих подгрупп G и H .

В некоторых случаях третье свойство выше заменяется следующим:

3 ′. Оба G и Н являются нормальными в P .

Это свойство эквивалентно свойству 3, так как элементы двух нормальных подгрупп с тривиальным пересечением обязательно коммутируют, факт , который можно вывести, рассматривая коммутатор [ г , ч ] любого г в G , ч в H .

Примеры

  • Пусть V - четырехгруппа Клейна :
    V
    1 а б c
    1 1 а б c
    а а 1 c б
    б б c 1 а
    c c б а 1
    Тогда V - внутреннее прямое произведение двухэлементных подгрупп {1, a } и {1, b }.
  • Пусть - циклическая группа порядка mn , где m и n взаимно просты. Тогда и - циклические подгруппы порядков m и n соответственно, и является внутренним прямым произведением этих подгрупп.
  • Пусть C × - группа ненулевых комплексных чисел относительно умножения . Тогда С × является внутренним прямым произведением окружности группы Т единичных комплексных чисел и группы R + из положительных действительных чисел относительно умножения.
  • Если n нечетно, то общая линейная группа GL ( n , R ) является внутренним прямым произведением специальной линейной группы SL ( n , R ) и подгруппы, состоящей из всех скалярных матриц .
  • Аналогично, когда n нечетно, ортогональная группа O ( n , R ) является внутренним прямым произведением специальной ортогональной группы SO ( n , R ) и двухэлементной подгруппы {- I , I }, где I обозначает единичную матрицу .
  • Группа симметрии из куба является внутренним прямым произведением подгруппы вращений и двух элементов группы {- Я , я }, где я это единичный элемент и - я это точка отражения через центр куба. Аналогичный факт справедлив и для группы симметрии икосаэдра .
  • Пусть n нечетно, и пусть D 4 n - группа диэдра порядка 4 n :
    Тогда D 4 n является внутренним прямым произведением подгруппы (которая изоморфна D 2 n ) и двухэлементной подгруппы {1, r n }.

Презентаций

Алгебраическая структура G × H может быть использован , чтобы дать представление для прямого произведения с точки зрения презентации G и H . В частности, предположим, что

а также

где и являются (непересекающимися) порождающими множествами, а и являются определяющими отношениями. потом

где - набор отношений, определяющих, что каждый элемент коммутируется с каждым элементом .

Например, если

а также

тогда

Нормальная структура

Как уже упоминалось выше, подгруппы G и H являются нормальными в G × H . В частности, определим функции π G : G × HG и π H : G × HH следующим образом:

π G ( g , h ) = g     и     π H ( g , h ) = h .

Тогда π G и π H - гомоморфизмы , известные как гомоморфизмы проекций , ядра которых суть H и G соответственно.

Отсюда следует , что G × H является продолжением из G по H (или наоборот). В случае , когда G × H является конечной группой , то отсюда следует , что композиционные факторы из G × H являются именно объединением композиции факторов G и состав факторов Н .

Другие свойства

Универсальная собственность

Прямое произведение G × H можно охарактеризовать следующим универсальным свойством . Пусть π G : G × HG и π H : G × HH - гомоморфизмы проекций. Тогда для любой группы P и любых гомоморфизмов ƒ G : PG и ƒ H : PH существует единственный гомоморфизм ƒ: PG × H, который коммутирует следующую диаграмму :

DirectProductDiagram.png

В частности, гомоморфизм ƒ задается формулой

ƒ ( p ) =  ( ƒ G ( p ), ƒ H ( p ) ) .

Это частный случай универсального свойства продуктов в теории категорий .

Подгруппы

Если является подгруппой группы G и B является подгруппой H , то прямое произведение × B является подгруппой G × H . Например, изоморфная копия G в G × H является произведением G × {1} , где {1} является тривиальной подгруппой H .

Если и B являются нормальными, то × B является нормальной подгруппой группы G × H . Более того, частное прямых произведений изоморфно прямому произведению частных:

( G × H ) / ( A × B ) ( G / A ) × ( H / B ) .

Обратите внимание , что это не так , в общем , что каждая подгруппа группы G × H является произведением подгруппы G с подгруппой H . Например, если G - любая нетривиальная группа, то произведение G × G имеет диагональную подгруппу

Δ = {( g , g ): gG }

который не является прямым произведением двух подгрупп G .

Подгруппы прямых произведений описываются леммой Гурса . Другие подгруппы включают волокнистые продукты из G и H .

Сопряжение и централизаторы

Два элемента ( г 1 , ч 1 ) и ( г 2 , ч 2 ) являются сопряженными в G × H тогда и только тогда , когда г 1 и г 2 сопряжены в G и H 1 и Н 2 сопряжены в Н . Отсюда следует , что каждый класс сопряженности в G × H просто декартово произведение класса сопряженности в G и класс сопряженности в H .

В том же направлении, если ( г , ч ) ∈ G × H , то централизатор из ( г , ч ) представляет собой просто произведение централизаторами г и ч :

C G × H ( g , h )  =  C G ( g ) × C H ( h ) .

Аналогичным образом , центр из G × H является произведением центров G и H :

Z ( G × H )  =  Z ( G ) × Z ( H ) .

Нормализаторы ведут себя более сложным образом, поскольку не все подгруппы прямых продуктов сами разлагаются как прямые продукты.

Автоморфизмы и эндоморфизмы

Если α - автоморфизм группы G, а β - автоморфизм группы H , то функция произведения α × β : G × HG × H, определенная формулой

( α × β ) ( g , h ) = ( α ( g ), β ( h ) )

есть автоморфизм G × H . Отсюда следует, что Aut ( G × H ) имеет подгруппу, изоморфную прямому произведению Aut ( G ) × Aut ( H ) .

Вообще говоря, неверно, что каждый автоморфизм группы G × H имеет указанный выше вид. (То есть Aut ( G ) × Aut ( H ) часто является собственной подгруппой Aut ( G × H ) .) Например, если G - любая группа, то существует автоморфизм σ группы G × G, который меняет местами обе группы. факторы, т.е.

σ ( g 1 , g 2 ) = ( g 2 , g 1 ) .

В качестве другого примера, группа автоморфизмов Z × Z является GL (2, Z ) , группа всех 2 × 2 матриц с целыми записями и определителем , ± 1 . Эта группа автоморфизмов бесконечна, но только конечное число автоморфизмов имеет вид, указанный выше.

В общем, каждый эндоморфизм из G × H может быть записана в виде 2 × 2 матрицы

где α - эндоморфизм группы G , δ - эндоморфизм группы H , а β : HG и γ : GH - гомоморфизмы. Такая матрица должна обладать свойством , что каждый элемент в изображении из & alpha ; коммутирует с каждым элементом в образе р , и каждый элемент в образе гаммы коммутирует с каждым элементом в образе б .

Когда G и H - неразложимые бесцентровые группы, то группа автоморфизмов относительно проста: Aut ( G ) × Aut ( H ), если G и H не изоморфны, и Aut ( G ) wr 2, если GH , wr обозначает сплетение . Это часть теоремы Крулля – Шмидта , и в целом она верна для конечных прямых произведений.

Обобщения

Конечные прямые продукты

Возможно прямое произведение сразу более чем двух групп. Для конечной последовательности групп G 1 , ..., G n прямое произведение

определяется следующим образом:

  • Элементами G 1 × ⋯ × G n являются кортежи ( g 1 , ..., g n ) , где g iG i для каждого i .
  • Операция над G 1 × ⋯ × G n определяется покомпонентно:
    ( g 1 , ..., g n ) ( g 1 ', ..., g n ') = ( g 1 g 1 ', ..., g n g n ') .

Он имеет многие из тех же свойств, что и прямое произведение двух групп, и может быть охарактеризован алгебраически аналогичным образом.

Бесконечные прямые продукты

Также можно взять прямое произведение бесконечного числа групп. Для бесконечной последовательности групп G 1 , G 2 , ... это можно определить так же, как конечное прямое произведение из приведенного выше, с элементами бесконечного прямого произведения, являющимися бесконечными наборами.

В более общем случае, если задано индексированное семейство групп {  G i  } iI , прямое произведение Π iI G i определяется следующим образом:

  • Элементы Π iI G i являются элементами бесконечного декартова произведения множеств G i ; т.е. функции ƒ: I → ⋃ iI G i со свойством ƒ ( i ) ∈ G i для каждого  i .
  • Произведение двух элементов ƒ, g определяется покомпонентно:
    (ƒ • g ) ( i ) = ƒ ( i ) • g ( i ) .

В отличие от конечного прямого произведения, бесконечное прямое произведение Π яI G я не порождается элементами изоморфных подгрупп {  G я  } яI . Вместо этого эти подгруппы порождают подгруппу прямого произведения, известную как бесконечная прямая сумма , которая состоит из всех элементов, которые имеют только конечное количество неединичных компонентов.

Другие продукты

Полупрямые продукты

Напомним, что группа P с подгруппами G и H изоморфна прямому произведению групп G и H, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

  1. Пересечения GH является тривиальным .
  2. Каждый элемент Р может быть выражена однозначно как произведение элемента G и элемента  Н .
  3. Оба G и Н являются нормальными в P .

Полупрямое произведение из G и H получается путем расслабления третьего условия, так что только один из двух подгрупп G , Н требуется , чтобы быть нормальными. Полученный продукт по-прежнему состоит из упорядоченных пар ( g , h ) , но с немного более сложным правилом умножения.

Также возможно полностью ослабить третье условие, требуя, чтобы ни одна из двух подгрупп не была нормальной. В этом случае группа Р называется в качестве продукта Заппа-Сеп из G и H .

Бесплатные товары

Бесплатный продукт от G и H , обычно обозначается G * H , аналогично прямому произведению, за исключением того, что подгруппы G и H из G * H не требуется коммутируют. То есть, если

G =S G | R G     и     H =S H | R H ,

являются представлениями для G и H , то

GH =S GS H | R GR H .

В отличие от прямого продукта, элементы бесплатного продукта не могут быть представлены упорядоченными парами. На самом деле свободное произведение любых двух нетривиальных групп бесконечно. Бесплатный продукт на самом деле является сопутствующим продуктом в категории групп .

Подпрямые продукты

Если G и Н представляет собой группа, A подпрямого произведением из G и H является любой подгруппой G × H , которая отображает сюръективно на G и H при проекции гомоморфизмов. По лемме Гурса каждое подпрямое произведение является расслоенным.

Волокнистые продукты

Пусть G , H и Q - группы, и пусть φ : GQ и χ : HQ - гомоморфизмы. Волокнистый продукт из G и H над Q , также известный как откат , является следующей подгруппой G × H :

G × Q H  =  { ( g , h ) ∈ G × H  : φ (g) = χ (h) } .

Если φ : GQ и χ : HQ - эпиморфизмы , то это подпрямое произведение.

использованная литература

  1. ^ Галлиан, Джозеф А. (2010). Современная абстрактная алгебра (7-е изд.). Cengage Learning. п. 157. ISBN. 9780547165097.