Нильпотентная группа - Nilpotent group

В математике , в частности теории групп , А нильпотентная группа G представляет собой группу , которая имеет верхний центральный ряд , который заканчивается с G . Эквивалентно, его центральный ряд имеет конечную длину или его нижний центральный ряд заканчивается знаком {1}.

Интуитивно нильпотентная группа - это группа, которая «почти абелева ». Эта идея мотивирована тем фактом, что нильпотентные группы разрешимы , а для конечных нильпотентных групп два элемента, имеющие относительно простые порядки, должны коммутировать. Верно также, что конечные нильпотентные группы сверхразрешимы . Автор идеи - это работа русского математика Сергея Черникова в 1930-х годах .

Нильпотентные группы возникают в теории Галуа , а также в классификации групп. Они также заметно фигурируют в классификации групп Ли .

Аналогичные термины используются для алгебр Ли (с использованием скобки Ли ), включая нильпотентный , нижний центральный ряд и верхний центральный ряд .

Определение

В определении используется идея центрального ряда для группы. Ниже приведены эквивалентные определения для нильпотентной группы $G$ :

$G$ имеет центральный ряд конечной длины. То есть ряд нормальных подгрупп

{\ Displaystyle \ {1 \} = G_ {0} \ треугольникleft G_ {1} \ треугольникleft \ точки \ треугольникleft G_ {n} = G}

где или что то же самое .

{\ Displaystyle G_ {я + 1} / G_ {я} \ leq Z (G / G_ {я})}

{\ Displaystyle [G, G_ {я + 1}] \ leq G_ {я}}

$G$ имеет нижний центральный ряд, оканчивающийся в тривиальной подгруппе после конечного числа шагов. То есть ряд нормальных подгрупп

{\ Displaystyle G = G_ {0} \ triangleright G_ {1} \ triangleright \ dots \ triangleright G_ {п} = \ {1 \}}

где .

{\ Displaystyle G_ {я + 1} = [G_ {я}, G]}

$G$ имеет верхний центральный ряд, оканчивающийся во всей группе за конечное число шагов. То есть ряд нормальных подгрупп

{\ displaystyle \ {1 \} = Z_ {0} \ треугольникleft Z_ {1} \ треугольникleft \ точки \ треугольникleft Z_ {n} = G}

где и - подгруппа такая, что .

{\ Displaystyle Z_ {1} = Z (G)}

{\ Displaystyle Z_ {я + 1}}

{\ Displaystyle Z_ {я + 1} / Z_ {я} = Z (G / Z_ {я})}

Для нильпотентной группы наименьшее $n$ такое, что $G$ имеет центральный ряд длины $n$ , называется классом нильпотентности группы $G$ ; и $G$ называется нильпотентной класса $n$ . (По определению длина равна $n,$ если в серии есть разные подгруппы, включая тривиальную подгруппу и всю группу.) ${\ displaystyle n + 1}$

Эквивалентно, класс нильпотентности $G$ равен длине нижнего центрального ряда или верхнего центрального ряда. Если группа имеет класс нильпотентности не более $n$ , то ее иногда называют ниль- $n$ группой .

Из любой из приведенных выше форм определения нильпотентности немедленно следует, что тривиальная группа является единственной группой класса нильпотентности $0$ , а группы класса нильпотентности $1$ являются в точности нетривиальными абелевыми группами.

Примеры

Часть графа Кэли дискретной группы Гейзенберга , хорошо известной нильпотентной группы.

Как отмечалось выше, каждая абелева группа нильпотентна.
В качестве небольшого неабелевого примера рассмотрим группу кватернионов Q ₈ , которая является наименьшей неабелевой p- группой. Он имеет центр {1, −1} порядка 2, а его верхний центральный ряд равен {1}, {1, −1}, Q ₈ ; так что это нильпотент класса 2.
Прямое произведение двух нильпотентных групп нильпотентно.
На самом деле все конечные p -группы нильпотентны ( доказательство ). Максимальным классом группы порядка p ⁿ является n (например, любая группа порядка 2 нильпотентна класса 1). 2-группа максимального класса являются обобщенными группы кватернионов , то двугранные группы , и полудиэдральной группа .
Более того, каждая конечная нильпотентная группа является прямым произведением p -групп.
Мультипликативная группа верхних унитреугольных матриц размера n x n над любым полем F является нильпотентной группой класса нильпотентности n - 1. В частности, взятие n = 3 дает группу Гейзенберга H , пример неабелевой бесконечной нильпотентной группы. Он имеет класс нильпотентности 2 с центральной серией 1, Z ( H ), H .
Мультипликативная группа обратимых верхнетреугольных матриц размера n x n над полем F , вообще говоря, не является нильпотентной, но разрешима .
Любая неабелева группа G такая , что G / Z ( G ) абелева имеет класс нильпотентности 2, с центральными серии {1}, Z ( G ), G .

Пояснение к термину

Нильпотентные группы , так называемый , потому что «присоединенное действие» любой элемент нильпотентное , а это означает , что для нильпотентной группы степени нильпотентности и элемента , функция , определенной (где это коммутатор из и ) нильпотентно в том смысле , что й итерация функции тривиальна: для всех в . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {g} \ двоеточие G \ to G}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {g} (x): = [g, x]}$ ${\ Displaystyle [г, х] = г ^ {- 1} х ^ {- 1} гх}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ left (\ operatorname {ad} _ {g} \ right) ^ {n} (x) = e}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle G}$

Это не определяющая характеристика нильпотентных групп: группы, для которых степень нильпотентности (в указанном выше смысле) называются - энгелевскими группами , и в общем случае не обязательно должны быть нильпотентными. Доказано, что они нильпотентны, если они имеют конечный порядок , и предполагается, что они нильпотентны, пока они конечно порождены . ${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {g}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$

Абелева группа - это в точности такая, для которой присоединенное действие не просто нильпотентно, но тривиально (1-энгелева группа).

Характеристики

Поскольку каждая последующая фактор-группа Z _{i +1} / Z _i в верхнем центральном ряду абелева, а ряд конечен, каждая нильпотентная группа является разрешимой группой с относительно простой структурой.

Каждая подгруппа нильпотентной группы класса n нильпотентна класса не выше n ; кроме того, если f - гомоморфизм нильпотентной группы класса n , то образ f нильпотентен класса не выше n .

Следующие утверждения эквивалентны для конечных групп, раскрывая некоторые полезные свойства нильпотентности:

(а) G - нильпотентная группа.
(б) Если Н является собственной подгруппой группы G , то Н является собственной нормальной подгруппой из N _G ( H ) (в нормализатор из Н в G ). Это называется свойством нормализатора и может быть выражено просто как «рост нормализаторов».
(c) Каждая силовская подгруппа группы G нормальна.
(г) G - прямое произведение своих силовских подгрупп .
(e) Если d делит порядок группы G , то G имеет нормальную подгруппу порядка d .

Доказательство: (a) → (b): индукцией по | G |, Если G абелева, то для любого H , N _G ( H ) = G . Если нет, то, если Z ( G ) не содержится в H , то ч _Z Н _Z^-1ч ^-1 = Н ' Н' ч ^-1 = Н , так что Н · Z ( G ) нормализаторами H . Если Z ( G ) содержится в H , то H / Z ( G ) содержится в G / Z ( G ). Отметим, что G / Z ( G ) - нильпотентная группа. Таким образом, в G / Z ( G ) существует подгруппа, нормализующая H / Z ( G ), и H / Z ( G ) является ее собственной подгруппой. Поэтому, откатиться эту подгруппу в подгруппы в G и нормализует Н . (Это доказательство является тем же аргументом, что и для p -групп - единственный факт, который нам нужен, это то, что если G нильпотентна, то и G / Z ( G ) также является G / Z ( G ) - поэтому детали опускаются.)

(b) → (c): Пусть p ₁ , p ₂ , ..., p _s - различные простые числа, делящие его порядок, и пусть P _i в Syl _{p _i} ( G ), 1≤ i ≤ s . Пусть P = P _i для некоторого i, и пусть N = N _G ( P ). Так как Р является нормальной подгруппой группы N , Р характерно в N . Поскольку P char N и N нормальная подгруппа в N _G ( N ), мы получаем, что P нормальная подгруппа в N _G ( N ). Это означает , что N _G ( N ) является подгруппой N и , следовательно , N _G ( N ) = N . Следовательно, согласно (b) мы должны иметь N = G , что дает (c).

(c) → (d): пусть p ₁ , p ₂ , ..., p _s - различные простые числа, делящие его порядок, и пусть P _i в Syl _{p _i} ( G ), 1≤ i ≤ s . Для любого t , 1 ≤ t ≤ s, мы индуктивно показываем, что P ₁P ₂ ... P _t изоморфен P ₁ × P ₂ × ... × P _t . Заметим сначала , что каждое Р _я нормальна в G так , Р ₁Р ₂ ... Р _т является подгруппой G . Пусть H - произведение P ₁P ₂ ... P _t-1, и пусть K = P _t , поэтому по индукции H изоморфен P ₁ × P ₂ × ... × P _t-1 . В частности, | H | = | П ₁ | · | П ₂ | · ... · | П _т-1 |. Поскольку | K | = | P _t | порядки H и K взаимно просты. Из теоремы Лагранжа следует, что пересечение H и K равно 1. По определению P ₁P ₂ ... P _t = HK , следовательно, HK изоморфна H × K, что равно P ₁ × P ₂ × ... × П _т . На этом индукция завершена. Теперь возьмем t = s, чтобы получить (d).

(d) → (e): Обратите внимание, что P-группа порядка p ^k имеет нормальную подгруппу порядка p ^m для всех 1 ≤ m ≤ k . Поскольку G является прямым произведением своих силовских подгрупп и нормальность сохраняется при прямом произведении групп, G имеет нормальную подгруппу порядка d для любого делителя d группы | G |,

(e) → (a): Для любого простого p, делящего | G | силовская p -подгруппа нормальна. Таким образом, мы можем применить (c) (поскольку мы уже доказали (c) → (e)).

Утверждение (d) можно распространить на бесконечные группы: если G - нильпотентная группа, то каждая силовская подгруппа G _p группы G нормальна, и прямое произведение этих силовских подгрупп является подгруппой всех элементов конечного порядка в G (см. торсионная подгруппа ).

Многие свойства нильпотентных групп разделяют гиперцентральные группы .

Languages

In other projects

Нильпотентная группа - Nilpotent group

СОДЕРЖАНИЕ

Определение

Примеры

Пояснение к термину

Характеристики

Заметки

Рекомендации