Подгруппа Холла - Hall subgroup

В математике , зал подгруппа конечной группы G является подгруппой, порядок является взаимно просто с его индексом . Их ввел теоретик групп Филип Холл ( 1928 ).

Определения

Зал делителем (также называемый унитарный делитель ) целого числа п является делителем д из п таким образом, что д и н / д взаимно просты. Самый простой способ найти делители Холла - написать разложение на простые множители для рассматриваемого числа и взять любое произведение мультипликативных членов (полную степень любого из простых множителей), включая 0 из них для произведения 1 или всех из них для продукта, равного исходному номеру. Например, чтобы найти делители Холла числа 60, покажите, что разложение на простые множители равно 2 ² · 3 · 5, и возьмите любое произведение {3,4,5}. Таким образом, делители Холла 60 равны 1, 3, 4, 5, 12, 15, 20 и 60.

Hall подгруппа из G является подгруппой, порядок холлова делитель порядка G . Другими словами, это подгруппа, порядок которой взаимно прост с ее индексом.

Если π является множество простых чисел, то Холла л -подгруппой подгруппа, порядок которой произведение простых чисел в П , и индекс которого не делится на любых простых чисел П .

Примеры

Любая силовская подгруппа группы является холловой.
Знакопеременная группа A ₄ порядка 12 разрешима, но не имеет подгрупп порядка 6, хотя 6 делит 12, что показывает, что теорема Холла (см. Ниже) не может быть распространена на все делители порядка разрешимой группы.
Если G = A ₅ , единственная простая группа порядка 60, то 15 и 20 являются холловыми дивизорами порядка G , но G не имеет подгрупп этих порядков.
Простая группа порядка 168 имеет два разных класса сопряженности холловых подгрупп порядка 24 (хотя они связаны внешним автоморфизмом группы G ).
В простой группе порядка 660 есть две холловы подгруппы порядка 12, которые даже не изоморфны (а значит, определенно не сопряжены даже при внешнем автоморфизме). Нормализатор силовской 2-подгруппы порядка 4 изоморфна знакопеременной группе А ₄ порядка 12, в то время как нормализатор подгруппы порядка 2 или 3 изоморфна группе диэдра порядка 12.

Теорема холла

Холл (1928) доказал, что если G - конечная разрешимая группа, а π - любое множество простых чисел, то G имеет π- холловую подгруппу и любые две π- холловы подгруппы сопряжены. Более того, любая подгруппа, порядок которой является произведением простых чисел в π , содержится в некоторой π- холловой подгруппе. Этот результат можно рассматривать как обобщение теоремы Силова на холловы подгруппы, но приведенные выше примеры показывают, что такое обобщение неверно, когда группа не разрешима.

Существование холловых подгрупп может быть доказано индукцией по порядку группы G , используя тот факт, что каждая конечная разрешимая группа имеет нормальную элементарную абелеву подгруппу. Точнее, фиксирует минимальную нормальную подгруппу А , которая является либо π -группой или в л» -группы , как G является π - отделим. По индукции существует подгруппа Н из G , содержащая A такого , что Н / холлов П -подгруппу G / A . Если является π - группа , то Н холлов П -подгруппа G . С другой стороны, если является π» -группа, то по Щур-Цассенхауз теоремы имеет дополнение в H , который является холлов П -подгруппой G .

Обратное к теореме Холла

Любая конечная группа, у которой есть π- холлова подгруппа для любого множества простых чисел π , разрешима. Это обобщение теоремы Бернсайда о том, что любая группа, порядок которой имеет вид p ^a q ^b для простых чисел p и q , разрешима, поскольку из теоремы Силова следует, что все холловы подгруппы существуют. Это (в настоящее время) не дает другого доказательства теоремы Бернсайда, потому что теорема Бернсайда используется для доказательства этого обратного.

Силовские системы

Система Силова представляет собой набор Силова р -подгруппами S _р для каждого простого р такое , что S _р S _д = S _д S _р для всех р и ц . Если у нас есть силовская система, то подгруппа, порожденная группами S _p для p в π, является π- холловой подгруппой. Более точная версия теоремы Холла гласит, что любая разрешимая группа имеет силовскую систему, а любые две силовские системы сопряжены.

Нормальные холловы подгруппы

Любой нормальный холлова подгруппа Н конечной группы G обладает дополнением , то есть, существует некоторая подгруппа К из G , которая пересекается с Н тривиально и такие , что HK = G (так G является полупрямым произведением из H и K ). Это теорема Шура – Цассенхауза .

Смотрите также

Формирование

Languages

In other projects