Группа Фробениуса - Frobenius group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро образ прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , A группа Фробениуса является транзитивной группа подстановок на конечное множестве , так что нет нетривиального элемента фиксирует более чем в одной точке и некоторые ненулевой элемент фиксирует точка. Они названы в честь Ф. Г. Фробениуса .

Структура

Подгруппа Н группы Фробениуса G фиксации точки множества X называется дополнением фробениусова . Единичный элемент вместе со всеми элементами , а не в какой - либо конъюгата Н образуют нормальную подгруппу называется фробениусова ядро К . (Это теорема из - за Фробениус (1901 г.) , до сих пор нет доказательств этой теоремы , которая не использует теорию символов , хотя видеть.) Группа Фробениуса G является полупрямым произведением из K и H :

${\ displaystyle G = K \ rtimes H}$.

И ядро ​​Фробениуса, и дополнение Фробениуса имеют очень ограниченную структуру. Дж. Томпсон  ( 1960 ) доказал, что ядро ​​Фробениуса K является нильпотентной группой . Если H имеет четный порядок, то K абелева. Дополнение Фробениуса H обладает тем свойством, что каждая подгруппа, порядок которой является произведением двух простых чисел, является циклической; это означает, что его силовские подгруппы являются циклическими или обобщенными кватернионными группами. Любая группа, в которой все силовские подгруппы циклические, называется Z-группой и, в частности, должна быть метациклической группой : это означает, что это расширение двух циклических групп. Если дополнение Фробениуса H неразрешимо, то Цассенхаус показал, что оно имеет нормальную подгруппу индекса 1 или 2, которая является произведением SL (2,5) и метациклической группы порядка, взаимно простого с 30. В частности, если дополнение Фробениуса совпадает со своей производной подгруппой, то она изоморфна SL (2,5). Если дополнение Фробениуса H разрешимо, то оно имеет такую ​​нормальную метациклическую подгруппу, что фактор-группа является подгруппой симметрической группы в 4 точках. Конечная группа является дополнением Фробениуса тогда и только тогда, когда она имеет точное конечномерное представление над конечным полем, в котором нетождественные элементы группы соответствуют линейным преобразованиям без ненулевых неподвижных точек.

Ядро Фробениуса K однозначно определяется группой G, поскольку это подгруппа Фиттинга , а дополнение Фробениуса однозначно определяется с точностью до сопряженности по теореме Шура-Цассенхауза . В частности, конечная группа G является группой Фробениуса не более чем в одном отношении.

Примеры

• Самый маленький пример - симметричная группа по 3 точкам с 6 элементами. Ядро Фробениуса K имеет порядок 3, а дополнение H - порядок 2.
• Для любого конечного поля F _q с q (> 2) элементами группа обратимых аффинных преобразований , естественно действующих на F _q, является группой Фробениуса. Предыдущий пример соответствует случаю F ₃ , полю с тремя элементами.${\ displaystyle x \ mapsto ax + b}$${\ displaystyle a \ neq 0}$
• Другим примером может служить подгруппой порядка 21 коллинеаций группы в плоскости Фано , порожденного 3-кратной симметрии σ фиксации точки и циклической перестановки т всех точек 7, удовлетворяющих στ = τ ² σ. Определение F ₈ ^× с плоскостью Фано, σ может быть взята ограничение автоморфизмов Фробениуса а ( х ) = х ² из F ₈ и т быть умножение на любой элемент не равен 0 или 1 (т.е. генератор циклического мультипликативная группа из F ₈ ). Эта группа Фробениуса действует просто транзитивно на 21 флаге в плоскости Фано, то есть на прямых с отмеченными точками.
• Группа диэдра порядка 2 n с нечетным n является группой Фробениуса с дополнением порядка 2. В более общем случае, если K - любая абелева группа нечетного порядка, а H имеет порядок 2 и действует на K инверсией, то полупрямое произведение K.H является Группа Фробениуса.
• Многие дополнительные примеры могут быть получены с помощью следующих конструкций. Если мы заменим дополнение Фробениуса группы Фробениуса на нетривиальную подгруппу, мы получим другую группу Фробениуса. Если у нас есть две группы Фробениуса K ₁ . H и K ₂ . H, затем ( K ₁  ×  K ₂ ). H также является группой Фробениуса.
• Если К является неабелева группа порядка 7 ³ с показателем 7, а Н является циклической группой порядка 3, то есть группа Фробениуса G , которая является продолжением КН из H от K . Это дает пример группы Фробениуса с неабелевым ядром. Это был первый пример группы Фробениуса с неабелевым ядром (ее построил Отто Шмидт).
• Если H - группа SL ₂ ( F ₅ ) порядка 120, она свободно действует в неподвижной точке в 2-мерном векторном пространстве K над полем из 11 элементов. Расширение KH является наименьшим примером неразрешимой группы Фробениуса.
• Подгруппа группы Цассенхауза, фиксирующая точку, является группой Фробениуса.
• Группы Фробениуса, подгруппа Фиттинга которых имеет сколь угодно большой класс нильпотентности, были построены Ито: пусть q - степень простого числа, d - натуральное число, а p - простой делитель числа q −1, d ⩽ p . Зафиксируем некоторое поле F порядка q и некоторый элемент z этого поля порядка p . Дополнение Фробениуса H - это циклическая подгруппа, порожденная диагональной матрицей, i, i- й элемент которой равен z ⁱ . Ядро Фробениуса K - это силовская q -подгруппа группы GL ( d , q ), состоящая из верхнетреугольных матриц с единицами на диагонали. Ядро K имеет класс нильпотентности d − 1, а полупрямое произведение KH является группой Фробениуса.

Теория представлений

Неприводимые комплексные представления фробениусовой группы G может быть считаны из тех , H и K . Есть два типа неприводимых представлений группы G :

• Любое неприводимое представление R группы H дает неприводимое представление группы G с помощью фактор-отображения из G в H (то есть как ограниченное представление ). Они дают неприводимые представления группы G с K в ядре.
• Если S является любым нетривиальным неприводимым представлением К , то соответствующее индуцированное представление о G также неприводимо. Они дают неприводимые представления группы G с K, не входящим в их ядро.

Альтернативные определения

Существует ряд теоретико-групповых свойств, которые интересны сами по себе, но которые, как оказалось, эквивалентны группе, обладающей перестановочным представлением, которое делает ее группой Фробениуса.

• G является группой Фробениуса , если и только если G имеет правильную, неединичную подгруппу H такую , что H ∩ Н ^г является единичной подгруппой для каждого г ∈ G - Н , т.е. Н является malnormal подгруппой из G .

Это определение затем обобщается для изучения тривиальных множеств пересечений, что позволило распространить результаты о группах Фробениуса, использованные в классификации групп CA, на результаты о группах CN и, наконец, на теорему о нечетном порядке .

Если предположить, что это полупрямое произведение нормальной подгруппы K и дополнения H , то следующие ограничения на централизаторы эквивалентны тому, что G является группой Фробениуса с дополнением Фробениуса H : ${\ displaystyle G = K \ rtimes H}$

• Централизатор С _G ( K ) является подгруппой K для каждого неединичного к в K .
• С _Н ( к ) = 1 для каждого неединичного к в K .
• C _G ( h ) ≤ H для любой неединичности h в H.

Ссылки

• Frobenius, G. (1901), "Über auflösbare Gruppen. IV.", Berl. Бер. (на немецком языке ): 1216-1230, DOI : 10,3931 / е-Рар-18836 , JFM  32.0137.01
• Б. Хупперт, Endliche Gruppen I , Springer 1967
• И. М. Айзекс, Теория характеров конечных групп , AMS Chelsea 1976
• Д. С. Пассман, Группы перестановок , Бенджамин 1968
• Томпсон, Джон Г. (1960), "Нормальные р-комплементы для конечных групп", Mathematische Zeitschrift , 72 : 332-354, DOI : 10.1007 / BF01162958 , ISSN  0025-5874 , МР  0117289