Модель полуплоскости Пуанкаре - Poincaré half-plane model

В не-евклидовой геометрии , то полуплоскости модель Пуанкаре является верхней полуплоскости , обозначенный ниже как H , вместе с метрикой , то метрика Пуанкаре , что делает его модель двумерной гиперболической геометрии . ${\ Displaystyle \ {(х, у) | у> 0; х, у \ в \ mathbb {R} \}}$

Аналогичным образом модель полуплоскости Пуанкаре иногда описывается как комплексная плоскость, в которой мнимая часть ( координата y, упомянутая выше) положительна.

Полуплоскость модель Пуанкара имя Анри Пуанкаре , но она возникла с Бельтрами , который использовал его, наряду с моделью Клейна и моделью диска Пуанкара (из - за Бернхард Риман ), чтобы показать , что гиперболическая геометрия была equiconsistent с евклидовой геометрией .

Эта модель является конформной, что означает, что углы, измеренные в точке, в модели такие же, как и в реальной гиперболической плоскости.

Преобразование Кэли обеспечивает изометрию между моделью полуплоскости и моделью диска Пуанкаре.

Эта модель может быть обобщена для моделирования многомерного гиперболического пространства путем замены действительного числа x вектором в n- мерном евклидовом векторном пространстве. ${\ displaystyle n + 1}$

Метрическая

Метрика модели на полуплоскости, является: ${\ displaystyle \ {\ langle x, y \ rangle | y> 0 \},}$

${\ displaystyle (ds) ^ {2} = {\ frac {(dx) ^ {2} + (dy) ^ {2}} {y ^ {2}}}}$

где s измеряет длину по (возможно, изогнутой) линии. Эти прямые линии в гиперболической плоскости ( геодезический для этого метрического тензора, то есть, кривые , которые минимизируют расстояние) представлены в этой модели с помощью дуг окружностей перпендикуляра к й Оу (полукругам, происхождение которых на й Оу) и прямые вертикальные лучи, перпендикулярные оси x .

Расчет расстояния

В общем, расстояние между двумя точками, измеренное в этой метрике вдоль такой геодезической, составляет:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {dist} (\ langle x_ {1}, y_ {1} \ rangle, \ langle x_ {2}, y_ {2} \ rangle) & = \ operatorname {arcosh} \ left (1 + {\ frac {{(x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2}} {2y_ {1} y_ {2}}} \ right) \\ & = 2 \ operatorname {arsinh} {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {{(x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2}} {y_ {1} y_ {2}}}} \\ & = 2 \ ln {\ frac {{\ sqrt {{ (x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2}}} + {\ sqrt {{(x_ {2} -x_ { 1})} ^ {2} + {(y_ {2} + y_ {1})} ^ {2}}}} {2 {\ sqrt {y_ {1} y_ {2}}}}}, \ end {выровнено}}}$

где arcosh и arsinh - обратные гиперболические функции

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {arsinh} {x} & = \ ln \ left (x + {\ sqrt {x ^ {2} +1}} \ right), \\\ operatorname {arcosh} { x} & = \ ln \ left (x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ right) && x \ geq 1. \ end {align}}}$

Некоторые частные случаи можно упростить:

${\ displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle x, y_ {1} \ rangle, \ langle x, y_ {2} \ rangle) = \ left | \ ln {\ frac {y_ {2}} {y_ {1 }}} \ right | = | \ ln (y_ {2}) - \ ln (y_ {1}) |}$ .

${\ displaystyle \ operatorname {dist} \ left (\ langle x_ {1}, y \ rangle, \ langle x_ {2}, y \ rangle \ right) = \ operatorname {arcosh} \ left (1 + {\ frac { (x_ {2} -x_ {1}) ^ {2}} {2y ^ {2}}} \ right) = 2 \ operatorname {arsinh} \ left ({\ frac {| x_ {2} -x_ {1 } |} {2y}} \ right)}$

${\ displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle x, r \ rangle, \ langle x \ pm r \ sin \ phi, r \ cos \ phi \ rangle) = \ operatorname {arsinh} \ left (\ tan \ phi \ right) = \ operatorname {arcosh} \ left ({\ frac {1} {\ cos \ phi}} \ right) = \ ln \ left ({\ frac {1+ \ sin \ phi} {\ cos \ phi} }\верно)}$

Другой способ рассчитать расстояние между двумя точками на (евклидовом) полукруге:

${\ displaystyle \ operatorname {dist} (AB) = \ left | \ ln \ left ({\ frac {| BA _ {\ infty} || AB _ {\ infty} |} {| AA _ {\ infty} || BB_ { \ infty} |}} \ right) \ right |.}$

где - точки пересечения полукругов с линией границы, а - евклидова длина отрезка прямой, соединяющего точки P и Q в модели. ${\ displaystyle A _ {\ infty}, B _ {\ infty}}$${\ displaystyle | PQ |}$

Особые точки и кривые

• Идеальные точки (точки на бесконечности) в модели полуплоскости Пуанкаре бывают двух видов:

• точки на оси x , и
• одна мнимая точкой, которая является идеальной отправной точкой , к которой все линии , ортогональная к й Оу сходятся. ${\ Displaystyle у = \ infty}$

• Прямые линии , геодезические (кратчайший путь между содержащимися в них точками) моделируются либо:

• полукруги, начало которых лежит на оси абсцисс
• прямые вертикальные лучи, ортогональные оси x

• Круг (кривые на одинаковом расстоянии от центральной точки) с центром и радиусом моделируется: ${\ Displaystyle (х, у)}$${\ displaystyle r}$

круг с центром и радиусом ${\ Displaystyle (х, у \ сш (г))}$${\ Displaystyle у \ зп (г)}$

• Гиперцикл (кривая на одинаковом расстоянии от прямой линии, ее ось) моделируется либо:

• дуга окружности, которая пересекает ось x в тех же двух идеальных точках, что и полукруг, моделирующий его ось, но под острым или тупым углом
• прямая линия, которая пересекает ось x в той же точке, что и вертикальная линия, моделирующая ее ось, но под острым или тупым углом .

• Орицикл (кривая, нормали все асимптотически сходятся в том же направлении, его центр) моделируются либо:

• окружность, касательная к оси x (но исключая идеальную точку пересечения, которая является ее центром)
• линия параллельно х оси х, в этом случае центр является идеальным местом в . ${\ Displaystyle у = \ infty}$

Евклидов синопсис

Евклидова окружность с центром и радиусом представляет: ${\ displaystyle (x_ {e}, y_ {e})}$${\ displaystyle r_ {e}}$

• когда круг полностью внутри полуплоскости - гиперболический круг с центром

${\ displaystyle \ left (x_ {e}, {\ sqrt {y_ {e} ^ {2} -r_ {e} ^ {2}}} \ right)}$

и радиус

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ ln \ left ({\ frac {y_ {e} + r_ {e}} {y_ {e} -r_ {e}}} \ right).}$

• когда круг полностью внутри полуплоскости и касается границы орицикла с центром вокруг идеальной точки ${\ displaystyle (x_ {e}, 0)}$
• когда круг пересекает границу, ортогональную гиперболической прямой ${\ displaystyle (y_ {e} = 0)}$
• когда окружность пересекает неортогональную границу гиперцикла.

Конструкции компаса и линейки

Вот как можно использовать конструкции циркуля и линейки в модели, чтобы добиться эффекта основных построений в гиперболической плоскости . Например, как построить полукруг в евклидовой полуплоскости, который моделирует линию на гиперболической плоскости через две заданные точки.

Создание линии через две существующие точки

Проведите отрезок линии между двумя точками. Постройте серединный перпендикуляр к отрезку прямой. Найдите его пересечение с осью x . Нарисуйте круг вокруг пересечения, которое проходит через заданные точки. Сотрите часть, которая находится на оси x или ниже .

Или в особом случае, когда две заданные точки лежат на вертикальной линии, проведите эту вертикальную линию через две точки и сотрите часть, которая находится на или ниже оси x .

Создание круга через одну точку с центром в другой точке

• Если две точки не находятся на вертикальной линии:

Проведите радиальную линию (полукруг) между двумя заданными точками, как в предыдущем случае. Постройте касательную к этой линии в нецентральной точке. Отбросьте перпендикуляр из данной центральной точки к оси x . Найдите пересечение этих двух линий, чтобы получить центр модельного круга. Нарисуйте модельный круг вокруг этого нового центра и проходящий через данную нецентральную точку.

• Если две заданные точки лежат на вертикальной линии и данный центр находится над другой заданной точкой:

Нарисуйте круг вокруг пересечения вертикальной линии и оси x, проходящей через данную центральную точку. Проведите горизонтальную линию через нецентральную точку. Постройте касательную к окружности на пересечении с этой горизонтальной линией.

Середина между пересечением касательной с вертикальной линией и данной нецентральной точкой является центром модельной окружности. Нарисуйте модельный круг вокруг этого нового центра и проходящий через данную нецентральную точку.

• Если две заданные точки лежат на вертикальной линии и данный центр находится ниже другой заданной точки:

Нарисуйте круг вокруг пересечения вертикальной линии и оси x, проходящей через данную центральную точку. Проведите касательную линию к окружности, проходящей через данную нецентральную точку. Проведите горизонтальную линию через эту точку касания и найдите ее пересечение с вертикальной линией.

Середина между этим пересечением и данной не центральной точкой является центром модельного круга. Нарисуйте модельный круг вокруг этого нового центра и проходящий через данную нецентральную точку.

Для данной окружности найдите ее (гиперболический) центр.

Опустите перпендикуляр p из евклидова центра окружности к оси x .

Пусть точка q будет пересечением этой прямой и оси x .

Проведите касательную линию к окружности, проходящей через точку q .

Нарисуйте полукруг h с центром q, проходящий через точку пересечения касательной и окружности.

(Гиперболический) центр - это точка пересечения h и p .

Прочие конструкции

• Создание точки, являющейся пересечением двух существующих линий, если они пересекаются:

Найдите пересечение двух заданных полукругов (или вертикальных линий).

• Создание одной или двух точек на пересечении прямой и окружности (если они пересекаются):

Найдите точку пересечения данного полукруга (или вертикали) с данной окружностью.

• Создание одной или двух точек на пересечении двух кругов (если они пересекаются):

Найдите пересечение двух заданных кругов.

Группы симметрии

Проективная группа PGL (2, С ) действует на сфере Римана со стороны преобразований Мёбиуса . Подгруппа, отображающая верхнюю полуплоскость H на себя, - это PSL (2, R ), преобразования с действительными коэффициентами, которые действуют транзитивно и изометрически на верхней полуплоскости, делая ее однородным пространством .

Есть четыре тесно связанных группы Ли, которые действуют на верхней полуплоскости дробно-линейными преобразованиями и сохраняют гиперболическое расстояние.

• Специальная линейная группа SL (2, R ) , который состоит из множества 2 × 2 матриц с вещественными элементами которых определитель равен +1. Обратите внимание, что во многих текстах (включая Википедию) часто говорится SL (2, R ), когда они действительно имеют в виду PSL (2, R ).
• Группа S * L (2, R ), состоящая из набора матриц 2 × 2 с вещественными элементами, определитель которых равен +1 или -1. Отметим, что SL (2, R ) является подгруппой этой группы.
• Проективное специальной линейной группы PSL (2, R ) = SL (2, R ) / {± я }, состоящая из матриц в SL (2, R ) по модулю плюс или минус единичная матрица.
• Группа PS ^* L (2, R ) = S ^* L (2, R ) / {± I } = PGL (2, R ) снова является проективной группой и снова по модулю плюс или минус единичная матрица. PSL (2, R ) содержится как нормальная подгруппа индекса два, другой смежный класс - это набор матриц 2 × 2 с действительными элементами, определитель которых равен -1, по модулю плюс или минус тождество.

Связь этих групп с моделью Пуанкаре следующая:

• Группа всех изометрии из Н , иногда обозначают как Isom ( H ), изоморфно PS ^* L (2, R ). Это включает в себя как изометрии с сохранением ориентации, так и изометрии с изменением ориентации. Карта изменения ориентации (зеркальная карта) есть . ${\ displaystyle z \ rightarrow - {\ overline {z}}}$
• Группа сохраняющих ориентацию изометрий H , иногда обозначаемая как Isom ⁺ ( H ), изоморфна PSL (2, R ).

Важными подгруппами группы изометрий являются фуксовы группы .

Также часто встречается модулярная группа SL (2, Z ). Эта группа важна по двум причинам. Во-первых, это группа симметрии квадратной решетки точек 2x2 . Таким образом, периодические функции на квадратной сетке, такие как модульные формы и эллиптические функции , наследуют SL (2, Z ) -симметрию сетки. Во-вторых, SL (2, Z ), конечно, является подгруппой SL (2, R ) и, следовательно, имеет вложенное в нее гиперболическое поведение. В частности, SL (2, Z ) можно использовать для разбиения гиперболической плоскости на ячейки равной (Пуанкаре) площади.

Изометрическая симметрия

Групповое действие на проективной специальной линейной группы на определяется ${\ displaystyle {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \\\ end {pmatrix}} \ cdot z = {\ frac {az + b} {cz + d}} = {\ frac {(ac | z | ^ {2} + bd + (ad + bc) \ Re (z)) + i (ad-bc) \ Im (z)} {| cz + d | ^ {2}}}.}.}$

Обратите внимание, что действие является транзитивным : для любого существует такой, что . Он также верен в том смысле, что если для всех, то g = e . ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2} \ in \ mathbb {H}}$${\ displaystyle g \ in {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle gz_ {1} = z_ {2}}$${\ displaystyle gz = z}$${\ Displaystyle г \ в \ mathbb {H},}$

Стабилизатор или стационарная подгруппа элемента представляет собой набор , который оставил г неизменным: GZ = г . Стабилизатором i является группа вращения${\ displaystyle z \ in \ mathbb {H}}$${\ displaystyle g \ in {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$

${\ displaystyle {\ rm {SO}} (2) = \ left. \ left \ {{\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta \\ \ end {pmatrix}} \ right | \ theta \ in \ mathbb {R} \ right \}.}$

Так как любой элемент отображается в I на некоторый элемент , это означает , что стационарная подгруппа любого г является изоморфна с SO (2). Таким образом, . В качестве альтернативы, пучок касательных векторов единичной длины на верхней полуплоскости, называемый единичным касательным пучком , изоморфен . ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {H}}$${\ displaystyle {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$${\ Displaystyle \ mathbb {H} = {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R}) / {\ rm {SO}} (2)}$${\ displaystyle {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$

Верхняя полуплоскость мозаичная в свободные регулярные множества с помощью модульной группы ${\ displaystyle {\ rm {SL}} (2, \ mathbb {Z}).}$

Геодезические

Геодезические для этого метрического тензора представляют собой дуги окружности, перпендикулярные действительной оси (полукруги, начало которых находится на действительной оси), и прямые вертикальные линии, заканчивающиеся на действительной оси.

Геодезическая с единичной скоростью, идущая вертикально вверх через точку i , определяется выражением

${\ displaystyle \ gamma (t) = {\ begin {pmatrix} e ^ {t / 2} & 0 \\ 0 & e ^ {- t / 2} \\\ end {pmatrix}} \ cdot i = ie ^ {t} .}$

Поскольку PSL (2, R ) действует транзитивно изометриями верхней полуплоскости, эта геодезическая отображается в другие геодезические посредством действия PSL (2, R ). Таким образом, общая геодезическая с единичной скоростью задается формулой

${\ displaystyle \ gamma (t) = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} e ^ {t / 2} & 0 \\ 0 & e ^ {- t / 2 } \\\ end {pmatrix}} \ cdot i = {\ frac {aie ^ {t} + b} {cie ^ {t} + d}}.}.$

Это обеспечивает базовое описание геодезического потока на касательном расслоении единичной длины (комплексное линейное расслоение ) на верхней полуплоскости. Исходя из этой модели, можно получить течение на произвольных римановых поверхностях , как описано в статье о потоке Аносова .

Модель в трех измерениях

Метрика модели на полупространстве

${\ displaystyle \ {\ langle x, y, z \ rangle | z> 0 \} \,}$

дан кем-то

${\ displaystyle (ds) ^ {2} = {\ frac {(dx) ^ {2} + (dy) ^ {2} + (dz) ^ {2}} {z ^ {2}}} \,}$

где s измеряет длину по возможно изогнутой линии. Эти прямые линии в пространстве гиперболического ( геодезические для этого метрического тензора, т.е. кривые , которые сводят к минимуму расстояния) представлены в этой модели с помощью дуг окружностей , нормальных к г = 0 плоскости (полукруги, происхождение которых на г = 0 - плоскости) и прямые вертикальные лучи, нормальные к плоскости z = 0 .

Расстояние между двумя точками измеряются в этой метрике вдоль такой геодезической:

${\ displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle x_ {1}, y_ {1}, z_ {1} \ rangle, \ langle x_ {2}, y_ {2}, z_ {2} \ rangle) = \ operatorname {arcosh} \ left (1 + {\ frac {{(x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2} + {( z_ {2} -z_ {1})} ^ {2}} {2z_ {1} z_ {2}}} \ right) = 2 \ operatorname {arsinh} \ left ({\ frac {\ sqrt {{(x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2} + {(z_ {2} -z_ {1})} ^ {2} }} {2 {\ sqrt {z_ {1} z_ {2}}}}} \ right) \ ,.}$

Модель в n измерениях

Эта модель может быть обобщена для моделирования многомерного гиперболического пространства путем замены действительного числа x вектором в n- мерном евклидовом векторном пространстве. ${\ displaystyle n + 1}$

Смотрите также

Рекомендации

Примечания

Источники