Спорадическая группа - Sporadic group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый действие Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Кляйн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Бесплатная группа Модульные группы PSL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В теории групп , спорадическая группа является одним из 26 исключительных групп , найденных в классификации конечных простых групп .

Простая группа представляет собой группу G , которая не имеет каких - либо нормальных подгрупп для тривиальной группы и , кроме G самого. Классификационная теорема утверждает, что список конечных простых групп состоит из 18 счетно бесконечных семейств плюс 26 исключений, которые не следуют такой систематической схеме. Эти 26 исключений представляют собой спорадические группы. Они также известны как спорадические простые группы или спорадические конечные группы. Поскольку это не строго группа лиева типа , группа Титса иногда рассматривается как спорадическая группа, и в этом случае будет 27 спорадических групп.

Группа монстров - самая большая из спорадических групп, и все остальные спорадические группы, кроме шести, являются ее частями .

Имена

Пять из спорадических групп были обнаружены Матье в 1860-х годах, а другая 21 была обнаружена между 1965 и 1975 годами. Существование некоторых из этих групп было предсказано еще до их создания. Большинство групп названы в честь математиков, которые впервые предсказали их существование. Полный список:

На диаграмме показаны субфакторные отношения между спорадическими группами. Соединительная линия означает, что нижняя группа является частичным элементом верхней, без простого промежуточного фрагмента между ними.
1-е поколение, 2-е поколение, 3-е поколение, Пария

• Группы Матье M ₁₁ (M11), M ₁₂ (M12), M ₂₂ (M22), M ₂₃ (M23), M ₂₄ (M24)
• Янко группы J ₁ (J1), J ₂ или HJ (J2), J ₃ или HJM (J3), J ₄ (J4)
• Группы Конвея Co ₁ (Co1), Co ₂ (Co2), Co ₃ (Co3)
• Фишер группирует Fi ₂₂ (Fi22), Fi ₂₃ (Fi23), Fi ₂₄ 'или F ₃₊ (Fi24)
• Группа Хигмана – Симса HS
• Группа Маклафлина McL
• Проводится группа He или F ₇₊ или F ₇
• Rudvalis group Ru
• Suzuki Group Suz или F _3-
• О'Нан группа О'Н (ON)
• Группа Харада – Нортон HN или F ₅₊ или F ₅
• Лионская группа Ly
• Группа Томпсона Th или F _{3 | 3} или F ₃
• Детские монстры группы B или F ₂₊ или F ₂
• Группа монстров Фишера – Грисса M или F ₁

Группа Титса T иногда также рассматривается как спорадическая группа (это почти, но не строго группа лиева типа), поэтому в некоторых источниках количество спорадических групп указывается как 27 вместо 26. В некоторых других источниках, группа Титса не считается ни спорадической, ни лиева типа. В любом случае, это ( п = 0) -Член ² F ₄ (2) ' из бесконечного семейства коллекторных групп ² F ₄ (2 ^{2 п + 1} )' - и , таким образом , за Definitionem не спорадический характер. При n > 0 эти конечные простые группы совпадают с группами лиева типа ² F ₄ (2 ^{2 n +1} ). Но для п = 0, коммутанте ² F ₄ (2) ' , называется Сиськи группа, проста и имеет индекс 2 в конечной группе ² F ₄ (2) типа Ли, -как единственный из всей семья - это не просто.

Построены матричные представления над конечными полями для всех спорадических групп.

Самым ранним использованием термина « спорадическая группа» может быть Бернсайд (1911 , с. 504, примечание N), где он комментирует группы Матье: «Эти очевидно спорадические простые группы, вероятно, заслужили бы более тщательного изучения, чем они до сих пор получали».

Диаграмма справа основана на работе Ронана (2006) . На нем не показаны многочисленные не спорадические простые подфакторы спорадических групп.

Организация

Счастливая семья

Из 26 спорадических групп 20 можно увидеть внутри группы Monster как подгруппы или частные от подгрупп ( секций ). Эти двадцать были названы счастливой семьей на Роберте Грисс , и может быть организована в трех поколения.

Первое поколение (5 групп): группы Матьё

M _n для n = 11, 12, 22, 23 и 24 являются кратно транзитивными группами перестановок в n точках. Все они являются подгруппами M ₂₄ , которая является группой перестановок на 24 точках.

Второе поколение (7 групп): решетка пиявки

Все подфакторы группы автоморфизмов решетки в 24 измерениях, называемой решеткой Лича :

• Co ₁ - фактор группы автоморфизмов по ее центру {± 1}
• Co ₂ - стабилизатор вектора типа 2 (т.е. длины 2).
• Co ₃ - стабилизатор вектора типа 3 (т. Е. Длины √ 6 ).
• Suz - группа автоморфизмов, сохраняющих сложную структуру (по модулю ее центра)
• McL - стабилизатор треугольника типа 2-2-3.
• HS - стабилизатор треугольника типа 2-3-3.
• J ₂ - группа автоморфизмов, сохраняющих кватернионную структуру (по модулю ее центра).

Третье поколение (8 групп): другие подгруппы Монстра

Состоит из подгрупп, которые тесно связаны с группой Monster M :

• B или F ₂ имеет двойную крышку, которая является центратором элемента порядка 2 в M
• Fi ₂₄ ′ имеет тройное покрытие, которое является централизатором элемента порядка 3 в M (в классе сопряженности "3A").
• Fi ₂₃ является подгруппой Fi ₂₄ ′
• Fi ₂₂ имеет двойное покрытие, которое является подгруппой Fi _23.
• Произведение Th = F ₃ и группы порядка 3 является централизатором элемента порядка 3 в M (в классе сопряженности "3C")
• Произведение HN = F ₅ и группы порядка 5 является централизатором элемента порядка 5 в M
• Продукт He = F ₇ и группы порядка 7 является централизатором элемента порядка 7 в М .
• Наконец, к этому поколению относится и сама группа монстров.

(Эта серия продолжается и далее: произведение M ₁₂ и группы порядка 11 является централизатором элемента порядка 11 в M. )

Группа Титса , если ее рассматривать как спорадическую группу, должна принадлежать к этому поколению: существует подгруппа S ₄ × ² F ₄ (2) ′, нормализующая подгруппу 2C ² группы B , дающая начало подгруппе 2 · S ₄ × ² F ₄ (2) ′ нормализует некоторую подгруппу Q ₈ Монстра. ² F ₄ (2) 'также подфактор группы Фишера Fi ₂₂ , и , таким образом , также Fi ₂₃ и Fi ₂₄ ' и младенца Монстров B . ² F ₄ (2) ′ также является подфактором (парии) группы Рудвалиса Ru и не участвует в спорадических простых группах, кроме уже упомянутых.

Парии

Шесть исключений - это J ₁ , J ₃ , J ₄ , O'N , Ru и Ly , которых иногда называют париями .

Таблица спорадических групповых заказов (с группой Титса)

Группа	Gen.	Заказ , OEIS A001228		Факторизованный заказ	Стандартные генераторы тройные (a, b, ab)	Дополнительные условия
F 1 или M	3-й	80801742479451 28758864599049617107 57005754368000000000	≈ 8 × 10 53	2 46 · 3 20 · 5 9 · 7 6 · 11 2 · 13 3 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71	2А, 3Б, 29	Никто
F 2 или B	3-й	41547814812264 26191177580544000000	≈ 4 × 10 33	2 41 · 3 13 · 5 6 · 7 2 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47	2С, 3А, 55	${\ Displaystyle о \ влево ((ab) ^ {2} \ left (abab ^ {2} \ right) ^ {2} ab ^ {2} \ right) = 23}$
Fi 24 'или F 3+	3-й	12552 05709190661721292800	≈ 1 × 10 24	2 21 · 3 16 · 5 2 · 7 3 · 11 · 13 · 17 · 23 · 29	2А, 3Е, 29	${\ Displaystyle о \ влево ((ab) ^ {3} б \ вправо) = 33}$
Fi 23	3-й	4089470473293004800	≈ 4 × 10 18	2 18 · 3 13 · 5 2 · 7 · 11 · 13 · 17 · 23	2Б, 3Д, 28	Никто
Fi 22	3-й	64561751654400	≈ 6 × 10 13	2 17 · 3 9 · 5 2 · 7 · 11 · 13	2А, 13, 11	${\ Displaystyle о \ влево ((ab) ^ {2} \ left (abab ^ {2} \ right) ^ {2} ab ^ {2} \ right) = 12}$
Пт 3 или Чт	3-й	90745943887872000	≈ 9 × 10 16	2 15 · 3 10 · 5 3 · 7 2 · 13 · 19 · 31	2, 3А, 19	Никто
Ly	Пария	51765179004000000	≈ 5 × 10 16	2 8 · 3 7 · 5 6 · 7 · 11 · 31 · 37 · 67	2, 5А, 14	${\ Displaystyle о \ влево (ababab ^ {2} \ right) = 67}$
F 5 или HN	3-й	273030912000000	≈ 3 × 10 14	2 14 · 3 6 · 5 6 · 7 · 11 · 19	2А, 3Б, 22	${\ Displaystyle о ([а, Ь]) = 5}$
Co 1	2-й	4157776806543360000	≈ 4 × 10 18	2 21 · 3 9 · 5 4 · 7 2 · 11 · 13 · 23	2Б, 3С, 40	Никто
Co 2	2-й	42305421312000	≈ 4 × 10 13	2 18 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 · 23	2А, 5А, 28	Никто
Co 3	2-й	495766656000	≈ 5 × 10 11	2 10 · 3 7 · 5 3 · 7 · 11 · 23	2А, 7С, 17	Никто
НА	Пария	460815505920	≈ 5 × 10 11	2 9 · 3 4 · 5 · 7 3 · 11 · 19 · 31	2А, 4А, 11	Никто
Suz	2-й	448345497600	≈ 4 × 10 11	2 13 · 3 7 · 5 2 · 7 · 11 · 13	2Б, 3Б, 13	${\ Displaystyle о ([а, Ь]) = 15}$
RU	Пария	145926144000	≈ 1 × 10 11	2 14 · 3 3 · 5 3 · 7 · 13 · 29	2Б, 4А, 13	Никто
F 7 или He	3-й	4030387200	≈ 4 × 10 9	2 10 · 3 3 · 5 2 · 7 3 · 17	2А, 7С, 17	Никто
McL	2-й	898128000	≈ 9 × 10 8	2 7 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11	2А, 5А, 11	${\ Displaystyle о \ влево ((ab) ^ {2} \ left (abab ^ {2} \ right) ^ {2} ab ^ {2} \ right) = 7}$
HS	2-й	44352000	≈ 4 × 10 7	2 9 · 3 2 · 5 3 · 7 · 11	2А, 5А, 11	Никто
J 4	Пария	86775571046077562880	≈ 9 × 10 19	2 21 · 3 3 · 5 · 7 · 11 3 · 23 · 29 · 31 · 37 · 43	2А, 4А, 37	${\ Displaystyle о \ влево (abab ^ {2} \ right) = 10}$
J 3 или HJM	Пария	50232960	≈ 5 × 10 7	2 7 · 3 5 · 5 · 17 · 19	2А, 3А, 19	${\ Displaystyle о ([а, Ь]) = 9}$
J 2 или HJ	2-й	604800	≈ 6 × 10 5	2 7 · 3 3 · 5 2 · 7	2Б, 3Б, 7	${\ Displaystyle о ([а, Ь]) = 12}$
J 1	Пария	175560	≈ 2 × 10 5	2 3 · 3 · 5 · 7 · 11 · 19	2, 3, 7	${\ Displaystyle о \ влево (abab ^ {2} \ right) = 19}$
Т	3-й	17971200	≈ 2 × 10 7	2 11 · 3 3 · 5 2 · 13	2А, 3, 13	${\ Displaystyle о ([а, Ь]) = 5}$
M 24	1-й	244823040	≈ 2 × 10 8	2 10 · 3 3 · 5 · 7 · 11 · 23	2Б, 3А, 23	${\ Displaystyle о \ влево (ab \ left (abab ^ {2} \ right) ^ {2} ab ^ {2} \ right) = 4}$
П 23	1-й	10200960	≈ 1 × 10 7	2 7 · 3 2 · 5 · 7 · 11 · 23	2, 4, 23	${\ Displaystyle о \ влево ((ab) ^ {2} \ left (abab ^ {2} \ right) ^ {2} ab ^ {2} \ right) = 8}$
П 22	1-й	443520	≈ 4 × 10 5	2 7 · 3 2 · 5 · 7 · 11	2А, 4А, 11	${\ Displaystyle о \ влево (abab ^ {2} \ right) = 11}$
M 12	1-й	95040	≈ 1 × 10 5	2 6 · 3 3 · 5 · 11	2Б, 3Б, 11	Никто
П 11	1-й	7920	≈ 8 × 10 3	2 4 · 3 2 · 5 · 11	2, 4, 11	${\ Displaystyle о \ влево ((ab) ^ {2} \ left (abab ^ {2} \ right) ^ {2} ab ^ {2} \ right) = 4}$

использованная литература

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Спорадическая группа» . MathWorld .
• Атлас представлений конечных групп: спорадические группы