Прямая сумма групп - Direct sum of groups

В математике , A группа G называется прямой суммой двух нормальных подгрупп с тривиальным пересечением , если оно генерируется подгруппами. В абстрактной алгебре этот метод построения групп можно обобщить на прямые суммы векторных пространств , модулей и других структур; см. статью Прямая сумма модулей для получения дополнительной информации. Группа, которая может быть выражена как прямая сумма нетривиальных подгрупп, называется разложимой , а если группа не может быть выражена в виде такой прямой суммы, то она называется неразложимой .

Определение

Группа G называется прямой суммой двух подгрупп H ₁ и Н ₂ , если

каждая H ₁ и H ₂ - нормальные подгруппы группы G ,
подгруппы H ₁ и H ₂ имеют тривиальное пересечение (т. е. имеют только единичный элемент группы G ), ${\ displaystyle e}$
G = < H ₁ , H ₂ >; другими словами, G порождается подгруппами H ₁ и H ₂ .

В более общем смысле G называется прямой суммой конечного набора подгрупп { H _i }, если

каждая H _i - нормальная подгруппа группы G ,
каждая H _i имеет тривиальное пересечение с подгруппой <{ H _j : j ≠ i }> ,
G = <{ H _i }>; другими словами, G будет генерироваться подгруппами { Н _я }.

Если G - прямая сумма подгрупп H и K, то мы пишем G = H + K , а если G - прямая сумма набора подгрупп { H _i }, то мы часто пишем G = Σ H _i . Грубо говоря, прямая сумма изоморфна слабому прямому произведению подгрупп.

Характеристики

Если G = H + K , то можно доказать, что:

для всех h в H , k в K имеем, что h ∗ k = k ∗ h
для всех g в G существует единственное h в H , k в K такое, что g = h ∗ k
Происходит списание суммы по частному; так что ( H + K ) / K изоморфна H

Приведенные выше утверждения можно обобщить на случай G = Σ H _i , где { H _i } - конечное множество подгрупп:

если i ≠ j , то для всех h _i в H _i , h _j в H _j имеем, что h _i ∗ h _j = h _j ∗ h _i
для каждого g в G существует единственный набор элементов h _i в H _i такой, что

g = h ₁ ∗ h ₂ ∗ ... ∗ h _i ∗ ... ∗ h _n

Происходит списание суммы по частному; так что ((Σ H _i ) + K ) / K изоморфно Σ H _i .

Обратите внимание на сходство с прямым произведением , где каждый g может быть однозначно выражен как

g = ( h ₁ , h ₂ , ..., h _i , ..., h _n ).

Поскольку h _i ∗ h _j = h _j ∗ h _i для всех i ≠ j , умножение элементов в прямой сумме изоморфно умножению соответствующих элементов в прямом произведении; таким образом, для конечных множеств подгрупп Σ H _i изоморфна прямому произведению × { H _i }.

Прямое слагаемое

Для группы , мы говорим , что подгруппа является прямым слагаемым в случае существует другая подгруппа из таких , что . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G = H + K}$

В абелевых группах, если является делимой подгруппой в , то является прямым слагаемым в . ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G}$

Примеры

Если взять понятно, что это прямое произведение подгрупп . ${\ Displaystyle G = \ prod _ {я \ in I} H_ {я}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H_ {i_ {0}} \ times \ prod _ {i \ not = i_ {0}} H_ {i}}$

Если это делимая подгруппа абелевой группы , то существует еще одна подгруппа из таких , что . ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G = K + H}$
Если также имеет структуру векторного пространства, то может быть записано как прямая сумма и другого подпространства, которое будет изоморфно частному . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ Displaystyle G / K}$

Эквивалентность разложений в прямые суммы

При разложении конечной группы в прямую сумму неразложимых подгрупп вложение подгрупп не единственно. Например, в группе Клейна мы имеем ${\ Displaystyle V_ {4} \ cong C_ {2} \ times C_ {2}}$

{\ Displaystyle V_ {4} = \ langle (0,1) \ rangle + \ langle (1,0) \ rangle,}

а также

{\ Displaystyle V_ {4} = \ langle (1,1) \ rangle + \ langle (1,0) \ rangle.}

Тем не менее, Ремак-Крулль-Шмидт теорема утверждает , что , учитывая конечную группу G = Σ A _я = Σ B _J , где каждый _я и каждый B _J является нетривиальным и неразложим, эти две суммами имеют равные член до переназначения и изоморфизм.

Теорема Ремака-Крулля-Шмидта неверна для бесконечных групп; так что в случае бесконечной G = H + K = L + M , даже тогда , когда все подгруппы являются нетривиальными и неразложимы, мы не можем сделать вывод , что Н изоморфна либо L или M .

Обобщение на суммы по бесконечным множествам

Чтобы описать вышеупомянутые свойства в случае, когда G является прямой суммой бесконечного (возможно, несчетного) набора подгрупп, требуется больше внимания.

Если g - элемент декартового произведения Π { H _i } набора групп, пусть g _i - i- й элемент g в произведении. Внешняя прямая сумма из множества групп { Н _я } (записывается в виде Е _Е { Н _я }) есть подмножество П { H _я }, где для каждого элемента г из Е _Е { Н _я }, г _я есть тождество для всех, кроме конечного числа g _i (эквивалентно, только конечное число g _i не является тождеством). Групповая операция во внешней прямой сумме - это поточечное умножение, как и в обычном прямом произведении. ${\ displaystyle e_ {H_ {i}}}$

Это подмножество действительно образует группу, и для конечного набора групп { H _i } внешняя прямая сумма равна прямому произведению.

Если G = Σ H _i , то G изоморфна Σ _E { H _i }. Таким образом, в некотором смысле прямая сумма является «внутренней» внешней прямой суммой. Для каждого элемента g в G существует единственное конечное множество S и единственное множество { h _i ∈ H _i : i ∈ S } такие, что g = Π { h _i : i in S }.

Languages

In other projects