Основная группа - Fundamental group

В математической области алгебраической топологии , то фундаментальная группа из топологического пространства является группа из классов эквивалентности под гомотопностью из петель , содержащихся в пространстве. Он записывает информацию об основной форме или отверстиях топологического пространства . Фундаментальная группа - это первая и простейшая гомотопическая группа . Фундаментальная группа является гомотопическим инвариантом - топологические пространства, которые гомотопически эквивалентны (или более сильный случай гомеоморфности ), имеют изоморфные фундаментальные группы.

Интуиция

Начните с пространства (например, поверхности) и некоторой точки на нем, и всех циклов, как начинающихся, так и заканчивающихся в этой точке - пути, которые начинаются в этой точке, блуждают вокруг и в конечном итоге возвращаются в начальную точку. Две петли можно объединить очевидным образом: проехать по первой петле, потом по второй. Две петли считаются эквивалентными, если одна может быть деформирована в другую без разрушения. Набор всех таких петель с этим методом комбинирования и этой эквивалентностью между ними является фундаментальной группой для этого конкретного пространства.

История

Анри Пуанкаре определил фундаментальную группу в 1895 году в своей статье « Analysis situs ». Эта концепция возникла в теории римановых поверхностей в работах Бернхарда Римана , Пуанкаре и Феликса Клейна . Он описывает свойства монодромии комплекснозначных функций , а также обеспечивает полную топологическую классификацию замкнутых поверхностей .

Определение

В этой статье X - топологическое пространство. Типичный пример - поверхность, подобная изображенной справа. Более того, это точка в X, называемая базовой точкой . (Как поясняется ниже, ее роль скорее вспомогательная.) Идея определения гомотопической группы состоит в том, чтобы измерить, сколько (вообще говоря) кривых на X можно деформировать друг в друга. Точное определение зависит от понятия гомотопии петель, которое объясняется в первую очередь. ${\ displaystyle x_ {0}}$

Гомотопия петель

Учитывая топологическое пространство X , цикл, основанный на${\ displaystyle x_ {0}}$ , определяется как непрерывная функция (также известная как непрерывное отображение )

${\ Displaystyle \ гамма \ двоеточие [0,1] \ до X}$

таким образом, что начальная и конечная точки равны . ${\ displaystyle \ gamma (0)}$${\ displaystyle \ gamma (1)}$${\ displaystyle x_ {0}}$

Гомотопическая непрерывная интерполяция между двумя петлями. Точнее, гомотопия между двумя петлями (основанными на одной и той же точке ) - это непрерывное отображение ${\ displaystyle \ gamma, \ gamma '\ двоеточие [0,1] \ к X}$${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ Displaystyle ч \ двоеточие [0,1] \ раз [0,1] \ до X,}$

такой, что

• ${\ displaystyle h (0, t) = x_ {0}}$тем не менее , начальная точка гомотопии - для всех t (что часто считается параметром времени).${\ Displaystyle т \ в [0,1],}$${\ displaystyle x_ {0}}$
• ${\ displaystyle h (1, t) = x_ {0}}$для всего этого аналогичным образом конечная точка остается в точке для всех t .${\ Displaystyle т \ в [0,1],}$${\ displaystyle x_ {0}}$
• ${\ Displaystyle час (г, 0) = \ гамма (г), час (г, 1) = \ гамма '(г)}$для всех .${\ Displaystyle г \ в [0,1]}$

Если такая Гомотопический ч существует, и , как говорят, гомотопными . Отношение " гомотопно " является отношением эквивалентности, так что можно рассматривать множество классов эквивалентности : ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma '}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma '}$

${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0}): = \ {{\ text {all loops}} \ gamma {\ text {based at}} x_ {0} \} / {\ text { гомотопия}}}$.

Это множество (с описанной ниже групповой структурой) называется фундаментальной группой топологического пространства X в базовой точке . Цель рассмотрения классов эквивалентности циклов до гомотопии, в отличии от множества всех петель (так называемый цикл пространства из X ) является то , что последним, в то же время полезно для различных целей, является довольно большим и громоздким объектом . Напротив, указанное выше соотношение во многих случаях более управляемо и вычислимо. ${\ displaystyle x_ {0}}$

Структура группы

Согласно приведенному выше определению, это просто набор. Он становится группой (и поэтому заслуживает названия фундаментальная группа ) с помощью конкатенации циклов. Точнее, для двух петель их продукт определяется как петля ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$${\ displaystyle \ gamma _ {0}, \ gamma _ {1}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma _ {0} \ cdot \ gamma _ {1} \ двоеточие [0,1] & \ to X \\ (\ gamma _ {0} \ cdot \ gamma _ {1 }) (t) & = {\ begin {cases} \ gamma _ {0} (2t) & 0 \ leq t \ leq {\ tfrac {1} {2}} \\\ gamma _ {1} (2t-1 ) & {\ tfrac {1} {2}} \ leq t \ leq 1. \ end {case}} \ end {align}}}$

Таким образом, цикл сначала следует за циклом с «удвоенной скоростью», а затем следует с «удвоенной скоростью». ${\ displaystyle \ gamma _ {0} \ cdot \ gamma _ {1}}$${\ displaystyle \ gamma _ {0}}$${\ displaystyle \ gamma _ {1}}$

Произведение двух гомотопических классов петель и определяется как . Можно показать, что этот продукт не зависит от выбора представителей и, следовательно, дает четко определенную операцию на множестве . Эта операция превращается в групповую. Его нейтральный элемент - постоянный контур, который остается неизменным все время t . Обратной петлей (гомотопический класс a) цикла является тот же цикл, но пройденный в противоположном направлении. Более формально ${\ displaystyle [\ gamma _ {0}]}$${\ displaystyle [\ gamma _ {1}]}$${\ displaystyle [\ gamma _ {0} \ cdot \ gamma _ {1}]}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ Displaystyle \ гамма ^ {- 1} (т): = \ гамма (1-т)}$.

Учитывая три базовых цикла, произведение ${\ displaystyle \ gamma _ {0}, \ gamma _ {1}, \ gamma _ {2},}$

${\ displaystyle (\ gamma _ {0} \ cdot \ gamma _ {1}) \ cdot \ gamma _ {2}}$

является объединение этих петель, пересекая и затем с четырехкратным скоростью, а затем с удвоенной скоростью. По сравнению, ${\ displaystyle \ gamma _ {0}}$${\ displaystyle \ gamma _ {1}}$${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$

${\ displaystyle \ gamma _ {0} \ cdot (\ gamma _ {1} \ cdot \ gamma _ {2})}$

проходит те же пути (в том же порядке), но с удвоенной скоростью и с четырехкратной скоростью. Таким образом, из-за разных скоростей эти два пути не идентичны. Ассоциативность аксиома ${\ displaystyle \ gamma _ {0}}$${\ displaystyle \ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}}$

${\ displaystyle [\ gamma _ {0}] \ cdot \ left ([\ gamma _ {1}] \ cdot [\ gamma _ {2}] \ right) = \ left ([\ gamma _ {0}] \ cdot [\ gamma _ {1}] \ right) \ cdot [\ gamma _ {2}]}$

поэтому решающим образом зависит от того, что пути рассматриваются с точностью до гомотопии. В самом деле, оба указанных выше композитных материала гомотопны, например, петле, которая пересекает все три петли с тройной скоростью. Таким образом, набор базируемых петель до гомотопии, снабженный описанной выше операцией, действительно превращается в группу. ${\ displaystyle \ gamma _ {0}, \ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$

Зависимость от базовой точки

Хотя фундаментальная группа в целом зависит от выбора базовой точки, то получается, что, до изоморфизма ( на самом деле, даже до внутреннего изоморфизма), этот выбор не имеет никакого значения до тех пор , как пространство X является линейно связным . Поэтому для пространств, связанных путями, многие авторы пишут вместо . ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$

Конкретные примеры

В этом разделе перечислены некоторые основные примеры фундаментальных групп. Начнем с того , в евклидовом пространстве ( ) или любой выпуклое подмножество из есть только один гомотопический класс петель, и , следовательно , фундаментальная группа является единичная группа с одним элементом. В более общем плане любая звездная область и, в более общем плане, любое стягиваемое пространство имеет тривиальную фундаментальную группу. Таким образом, фундаментальная группа не различает такие пространства. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$

2-сфера

Линейно-связное пространство, фундаментальная группа которого тривиальна, называется односвязным . Например, 2-сфера, изображенная справа, а также все многомерные сферы односвязны. Рисунок иллюстрирует гомотопию, сужающую один конкретный цикл до постоянного цикла. Эта идея может быть адаптирована для всех петель таким образом, что существует точка , которая не в образе Однако, поскольку существуют циклы , такие , что (построенный по кривой Пеано , к примеру), полное доказательство требует более тщательного анализа с помощью инструментов из алгебраическая топология, такая как теорема Зейферта – ван Кампена или теорема клеточной аппроксимации . ${\ displaystyle S ^ {2} = \ left \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ mid x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1 \ right \}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle (х, у, г) \ в S ^ {2}}$${\ displaystyle \ gamma.}$${\ Displaystyle \ гамма ([0,1]) = S ^ {2}}$

Круг

Круг (также известный как 1-сферы)

${\ displaystyle S ^ {1} = \ left \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ mid x ^ {2} + y ^ {2} = 1 \ right \}}$

не просто связано. Вместо этого каждый гомотопический класс состоит из всех петель, которые наматываются по кругу заданное количество раз (которое может быть положительным или отрицательным, в зависимости от направления намотки). Произведение петли, которая наматывается m раз, и другой петли, которая наматывается около n раз, - это петля, которая наматывается несколько раз. Таким образом, фундаментальная группа круга изоморфна к аддитивной группе целых чисел . Этот факт можно использовать для доказательства теорем Брауэра о неподвижной точке и Борсука – Улама в размерности 2. ${\ displaystyle m + n}$${\ Displaystyle (\ mathbb {Z}, +),}$

Цифра восемь

Основная группа восьмерки - это свободная группа из двух букв. Идея доказать это заключается в следующем: выбрав в качестве базовой точки точку, где встречаются два круга (отмечены черными точками на рисунке справа), любой цикл можно разложить на ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle \ gamma = a ^ {n_ {1}} b ^ {m_ {1}} \ cdots a ^ {n_ {k}} b ^ {m_ {k}}}$

где a и b - две петли, обвивающие каждую половину фигуры, как показано, а показатели степени являются целыми числами. В отличие от основной группы восьмерки не абелева : два способа составления a и b не гомотопны друг другу: ${\ displaystyle n_ {1}, \ dots, n_ {k}, m_ {1}, \ dots, m_ {k}}$${\ displaystyle \ pi _ {1} \ left (S ^ {1} \ right),}$

${\ displaystyle [a] \ cdot [b] \ neq [b] \ cdot [a].}$

В более общем смысле, фундаментальная группа букета из r кругов - это свободная группа из r букв.

Фундаментальная группа суммы клина двух пространств с линейной связностью X и Y может быть вычислена как свободное произведение отдельных фундаментальных групп:

${\ displaystyle \ pi _ {1} (X \ vee Y) \ cong \ pi _ {1} (X) * \ pi _ {1} (Y).}$

Это обобщает вышеприведенные наблюдения, поскольку восьмерка представляет собой сумму клиньев двух окружностей.

Фундаментальная группа плоскости, проколотой в n точках , также является свободной группой с n образующими. Я -й генератор класс цикла , который идет вокруг я -й прокол , не обходя любые другие проколы.

Графики

Фундаментальная группа может быть определена и для дискретных структур. В частности, рассмотрим связный граф G = ( V , E ) , с обозначенной вершиной V ₀ в V . Циклы в G - это циклы, которые начинаются и заканчиваются в v ₀ . Пусть T будет остов из G . Каждая простая петля в G содержит ровно одно ребро в E \ T ; каждый цикл в G представляет собой конкатенацию таких простых циклов. Таким образом, фундаментальная группа графа является свободной группой , в которой число образующих именно число ребер в E \ T . Это число равно | E | - | V | +1 .

Например, предположим, что G имеет 16 вершин, расположенных в 4 ряда по 4 вершины в каждом, с ребрами, соединяющими вершины, смежные по горизонтали или вертикали. Тогда в G всего 24 ребра, а количество ребер в каждом остовном дереве равно 16 - 1 = 15 , поэтому фундаментальная группа G - это свободная группа с 9 образующими. Обратите внимание, что G имеет 9 «дырок», аналогично букету из 9 кругов, который имеет ту же фундаментальную группу.

Группы узлов

Группы узлов по определению являются фундаментальной группой дополнения узла K, вложенного в.Например, группа узлов узла-трилистника известна как группа кос, которая дает еще один пример неабелевой фундаментальной группы. Презентации Виртингер явно описывают группы узлов в терминах образующих и соотношений на основе диаграммы узла. Следовательно, группы узлов имеют некоторое использование в теории узлов для различения узлов: еслине изоморфна какой-либо другой группе узловдругого узла K ' , то K не может быть преобразовано вТаким образом, узел трилистник не может быть непрерывно преобразован в круг ( также известный как безузел ), поскольку последний имеет группу узлов. Однако есть узлы, которые не деформируются друг в друга, но имеют изоморфные группы узлов. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}.}$ ${\ displaystyle B_ {3},}$${\ displaystyle \ pi _ {1} \ left (\ mathbb {R} ^ {3} \ setminus K \ right)}$${\ displaystyle \ pi _ {1} \ left (\ mathbb {R} ^ {3} \ setminus K '\ right)}$${\ displaystyle K '.}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Ориентированные поверхности

Фундаментальная группа ориентируемой поверхности рода n может быть вычислена в терминах образующих и соотношений как

${\ displaystyle \ left \ langle A_ {1}, B_ {1}, \ ldots, A_ {n}, B_ {n} \ left | A_ {1} B_ {1} A_ {1} ^ {- 1} B_ {1} ^ {- 1} \ cdots A_ {n} B_ {n} A_ {n} ^ {- 1} B_ {n} ^ {- 1} \ right. \ Right \ rangle.}$

Это включает тор , как случай рода 1, фундаментальная группа которого

${\ Displaystyle \ left \ langle A_ {1}, B_ {1} \ left | A_ {1} B_ {1} A_ {1} ^ {- 1} B_ {1} ^ {- 1} \ right. \ right \ rangle \ cong \ mathbb {Z} ^ {2}.}$

Топологические группы

Фундаментальная группа топологической группы X (относительно базовой точки, являющейся нейтральным элементом) всегда коммутативна. В частности, фундаментальная группа группы Ли коммутативна. Фактически, групповая структура на X наделяется другой групповой структурой: учитывая две петли и в X , другой цикл может быть определен с помощью группового умножения в X : ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma '}$${\ displaystyle \ gamma \ star \ gamma '}$

${\ displaystyle \ left (\ gamma \ star \ gamma '\ right) (x) = \ gamma (x) \ cdot \ gamma' (x).}$

Эта бинарная операция на множестве всех циклов априори не зависит от описанной выше. Однако аргумент Экмана – Хилтона показывает, что он действительно согласуется с приведенной выше конкатенацией петель и, более того, что результирующая структура группы является абелевой. ${\ displaystyle \ star}$

Проверка доказательства показывает, что, в более общем смысле, абелево для любого H-пространства X , т. Е. Умножение не обязательно должно иметь обратный, и оно не обязательно должно быть ассоциативным. Например, это показывает , что фундаментальная группа пространства петель другого топологического пространства Y , абелева. Связанные идеи приводят к вычислению Хайнцем Хопфом когомологий группы Ли . ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$ ${\ Displaystyle X = \ Omega (Y),}$

Функциональность

If - непрерывное отображение, и с then каждый цикл в X с базовой точкой может быть составлен с помощью f, чтобы получить цикл в Y с базовой точкой. Эта операция совместима с отношением гомотопической эквивалентности и с композицией циклов. Результирующий гомоморфизм групп , называемый индуцированным гомоморфизмом , записывается как или, чаще, ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$${\ displaystyle x_ {0} \ in X}$${\ displaystyle y_ {0} \ in Y}$${\ displaystyle f (x_ {0}) = y_ {0},}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle y_ {0}.}$${\ Displaystyle \ пи (е)}$

${\ displaystyle f _ {*} \ двоеточие \ pi _ {1} (X, x_ {0}) \ to \ pi _ {1} (Y, y_ {0}).}$

Это отображение непрерывных отображений в гомоморфизмы групп совместимо с композицией отображений и тождественных морфизмов. Говоря языком теории категорий , образование, ассоциирующее топологическому пространству его фундаментальную группу, поэтому является функтором

${\ displaystyle {\ begin {align} \ pi _ {1} \ двоеточие \ mathbf {Top} _ {*} & \ to \ mathbf {Grp} \\ (X, x_ {0}) & \ mapsto \ pi _ {1} (X, x_ {0}) \ конец {выровнено}}}$

из категории топологических пространств вместе с базовой точкой в категорию групп . Оказывается, этот функтор не различает отображения, гомотопные относительно базовой точки: если f , g  : X → Y - непрерывные отображения с f ( x ₀ ) = g ( x ₀ ) = y ₀ , а f и g гомотопны относительно { x ₀ }, то f _∗ = g _∗ . Как следствие, два гомотопически эквивалентных линейно связных пространства имеют изоморфные фундаментальные группы:

${\ displaystyle X \ simeq Y \ Rightarrow \ pi _ {1} (X, x_ {0}) \ cong \ pi _ {1} (Y, y_ {0}).}$

Например, включение круга в проколотую плоскость

${\ Displaystyle S ^ {1} \ subset \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus \ {0 \}}$

является гомотопической эквивалентностью и, следовательно, дает изоморфизм их фундаментальных групп.

Функтор фундаментальной группы переводит продукты в продукты, а совместные продукты - в продукты . То есть, если X и Y соединены по пути, то

${\ displaystyle \ pi _ {1} (X \ times Y, (x_ {0}, y_ {0})) \ cong \ pi _ {1} (X, x_ {0}) \ times \ pi _ {1 } (Г, г_ {0}).}$

Абстрактные результаты

Как упоминалось выше, вычисление фундаментальной группы даже относительно простых топологических пространств, как правило, не совсем тривиально, но требует некоторых методов алгебраической топологии.

Отношение к первой группе гомологии

Абелианизация фундаментальной группы может быть идентифицирована с первой группой гомологии пространства.

Частный случай теоремы Гуревича утверждает, что первая сингулярная группа гомологий является, говоря простым языком, ближайшим приближением к фундаментальной группе с помощью абелевой группы. Более подробно, сопоставление гомотопического класса каждой петли с гомологическим классом петли дает групповой гомоморфизм${\ displaystyle H_ {1} (X)}$

${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X) \ к H_ {1} (X)}$

от фундаментальной группы топологического пространства X до его первой сингулярной группы гомологий Этот гомоморфизм, вообще говоря, не является изоморфизмом, поскольку фундаментальная группа может быть неабелевой, но группа гомологий, по определению, всегда абелева. Это различие, однако, единственное: если X линейно связно, этот гомоморфизм сюръективен, а его ядром является коммутаторная подгруппа фундаментальной группы, так что это изоморфно абелианизации фундаментальной группы. ${\ displaystyle H_ {1} (X).}$${\ displaystyle H_ {1} (X)}$

Склейка топологических пространств

Обобщая приведенное выше утверждение, для семейства пространств линейной связности фундаментальная группа является свободным произведением фундаментальных групп пространства. Этот факт является частным случаем теоремы Зейферта – ван Кампена , которая позволяет вычислять, в более общем смысле, фундаментальные группы пространств. пространства, склеенные из других пространств. Например, 2-сфера может быть получена путем склеивания двух копий слегка перекрывающихся полусфер вдоль окрестности экватора . В этом случае теорема тривиальна, поскольку две полусферы стягиваемы и, следовательно, имеют тривиальную фундаментальную группу. Фундаментальные группы поверхностей, как упоминалось выше, также могут быть вычислены с помощью этой теоремы. ${\ displaystyle X_ {i},}$${\ textstyle \ pi _ {1} \ left (\ bigvee _ {я \ in I} X_ {i} \ right)}$${\ displaystyle X_ {i}.}$${\ Displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle \ pi _ {1} \ left (S ^ {2} \ right)}$

Говоря языком теории категорий, теорему можно кратко сформулировать, сказав, что функтор фундаментальной группы переводит выталкивания (в категории топологических пространств) вдоль включений в выталкивания (в категории групп).

Покрытия

Учитывая топологическое пространство B , A непрерывного отображения

${\ displaystyle f: E \ to B}$

называется покрытием или Е называются охватывающее пространством от B , если каждая точка Ь в B допускает открытую окрестность U такие , что существует гомеоморфизм между прообразом из U и несвязного объединением копия U (индексируются некоторым множество I ) ,

${\ displaystyle \ varphi: \ bigsqcup _ {я \ in I} U \ to f ^ {- 1} (U)}$

таким образом, что это стандартная карта проекции${\ displaystyle \ pi \ circ \ varphi}$${\ displaystyle \ bigsqcup _ {я \ in I} от U \ до U.}$

Универсальное покрытие

Покрытие называется универсальным, если E , помимо предыдущего условия, односвязно. Она универсальна в том смысле , что все другие покрытия могут быть построены с помощью соответствующей идентификации точек в Е . Зная универсальное покрытие

${\ displaystyle p: {\ widetilde {X}} \ to X}$

топологического пространства X помогает понять его фундаментальную группу несколькими способами: во-первых, отождествляется с группой преобразований колоды , т. е. с группой гомеоморфизмов , коммутирующих с отображением в X , т. е. Другое отношение к фундаментальной группе состоит в том, что можно отождествить с волокном. Например, карта ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$ ${\ displaystyle \ varphi: {\ widetilde {X}} \ to {\ widetilde {X}}}$${\ displaystyle p \ circ \ varphi = p.}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x)}$${\ displaystyle p ^ {- 1} (х).}$

${\ displaystyle p: \ mathbb {R} \ to S ^ {1}, t \ mapsto \ exp (2 \ pi it)}$

(или, что то же самое, ) - универсальное покрытие. Преобразования колоды - это карты для этого соответствует идентификации, в частности, это доказывает приведенное выше утверждение.${\ displaystyle \ pi: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} / \ mathbb {Z}, \ t \ mapsto [t]}$${\ Displaystyle т \ mapsto т + п}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}.}$${\ Displaystyle p ^ {- 1} (1) = \ mathbb {Z},}$${\ displaystyle \ pi _ {1} \ left (S ^ {1} \ right) \ cong \ mathbb {Z}.}$

Любое путь связное, локально линейно связное и локально односвязное топологическое пространство X допускает универсальное покрытие. Абстрактное построение происходит аналогично фундаментальной группе, взяв пары ( x , γ), где x - точка в X, а γ - гомотопический класс путей от x ₀ до x . Переход от топологического пространства к его универсальному покрытию может быть использован в понимании геометрии X . Например, Униформизация теорема показывает , что любая односвязная риманова поверхность является (изоморфной) либо или верхней полуплоскость . Общие римановы поверхности тогда возникают как факторы групповых действий на этих трех поверхностях. ${\ displaystyle S ^ {2},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C},}$

Фактор из действия а ( дискретной ) группы G на односвязное пространство Y имеет фундаментальную группу

${\ Displaystyle \ pi _ {1} (Y / G) \ cong G.}$

Например, вещественное n- мерное реальное проективное пространство получается как фактор n- мерной сферы по антиподальному действию группы, отправляющей в As , односвязно для n ≥ 2, оно является универсальным покрытием в этих случаях , откуда при n ≥ 2. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ mathrm {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle S ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2}$${\ Displaystyle х \ в S ^ {п}}$${\ displaystyle -x.}$${\ Displaystyle S ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ mathrm {P} ^ {n}}$${\ displaystyle \ pi _ {1} \ left (\ mathbb {R} \ mathrm {P} ^ {n} \ right) \ cong \ mathbb {Z} / 2}$

Группы Ли

Пусть G связная односвязная компактная группа Ли , например, специальная унитарная группа SU ( п ), и пусть Γ конечная подгруппа G . Тогда однородное пространство X  =  G / Γ имеет фундаментальную группу Г, которая действует правого умножение на универсальной накрывающей G . Среди множества вариантов этой конструкции одним из наиболее важных являются локально симметричные пространства X  = Γ \ G / K , где

• G - некомпактная односвязная связная группа Ли (часто полупростая ),
• K - максимальная компактная подгруппа группы G
• Γ является дискретной счетным кручения подгруппы G .

В этом случае фундаментальной группой является Γ, а универсальное накрывающее пространство G / K действительно стягиваемо (согласно разложению Картана для групп Ли ).

В качестве примера взять G  = SL (2, R ), K  = SO (2) и Γ любой кручения конгруэнцподгруппа из модулярной группы SL (2, Z ).

Из явной реализации, также следует , что универсальное накрытие пространство связно топологическая группа H снова путь связана топологическая группа G . Более того, накрывающее отображение является непрерывным открытым гомоморфизмом группы G на H с ядром Γ, замкнутой дискретной нормальной подгруппой группы G :

${\ displaystyle 1 \ to \ Gamma \ to G \ to H \ to 1.}$

Так как G является связной группой с непрерывным действием сопряжением на дискретной группы Г, он должен действовать тривиально, так что Γ должна быть подгруппой центра из G . В частности, π ₁ ( H ) = Γ абелева группа ; это также можно легко увидеть, не используя закрытые пространства. Группа G называется универсальной накрывающей группы из  Н .

Как предполагает универсальная накрывающая группа, существует аналогия между фундаментальной группой топологической группы и центром группы; это разработано в Решетке покрывающих групп .

Волокна

Фибрации предоставляют очень мощное средство для вычисления гомотопических групп. Расслоение f на так называемое тотальное пространство и базовое пространство B обладает, в частности, тем свойством, что все его слоигомотопически эквивалентны и поэтому не могут быть выделены с помощью фундаментальных групп (и высших гомотопических групп) при условии, что B - путь -связаны. Следовательно, пространство E можно рассматривать как " скрученное произведение" базового пространства B и слоя . Большое значение расслоений для вычисления гомотопических групп проистекает из длинной точной последовательности${\ displaystyle f ^ {- 1} (б)}$ ${\ Displaystyle F = f ^ {- 1} (б).}$

${\ displaystyle \ dots \ to \ pi _ {2} (B) \ to \ pi _ {1} (F) \ to \ pi _ {1} (E) \ to \ pi _ {1} (B) \ в \ pi _ {0} (F) \ в \ pi _ {0} (E)}$

при условии, что B соединен по пути. Термин является второй гомотопической группой из B , которая определяется как множество гомотопических классов отображений к B , в прямой аналогии с определением${\ Displaystyle \ pi _ {2} (В)}$${\ Displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle \ pi _ {1}.}$

Если E оказывается линейно связным и односвязным, эта последовательность сводится к изоморфизму

${\ Displaystyle \ pi _ {1} (B) \ cong \ pi _ {0} (F)}$

что обобщает отмеченный выше факт об универсальном накрытии (что равносильно случаю, когда слой F также дискретен). Если вместо этого F оказывается связным и односвязным, он сводится к изоморфизму

${\ displaystyle \ pi _ {1} (E) \ cong \ pi _ {1} (B).}$

Более того, последовательность может быть продолжена слева с высшими гомотопическими группами трех пространств, что дает некоторый доступ к вычислению таких групп в том же духе. ${\ displaystyle \ pi _ {n}}$

Классические группы Ли

Такие последовательности волокна может быть использована для индукции вычислить фундаментальные группы компактных классических групп Ли , такие как специальная унитарная группа с Этой группой действует транзитивно на единичную сфере внутри стабилизатора точки в области изоморфен него , то можно показать , что этот дает последовательность волокон ${\ Displaystyle \ mathrm {SU} (п),}$${\ displaystyle n \ geq 2.}$${\ displaystyle S ^ {2n-1}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} = \ mathbb {R} ^ {2n}.}$${\ displaystyle \ mathrm {SU} (n-1).}$

${\ displaystyle \ mathrm {SU} (n-1) \ to \ mathrm {SU} (n) \ to S ^ {2n-1}.}$

Поскольку сфера имеет размерность не менее 3, отсюда следует ${\ Displaystyle п \ geq 2,}$${\ displaystyle S ^ {2n-1}}$

${\ displaystyle \ pi _ {1} \ left (S ^ {2n-1} \ right) \ cong \ pi _ {2} \ left (S ^ {2n-1} \ right) = 1.}$

Тогда длинная точная последовательность показывает изоморфизм

${\ displaystyle \ pi _ {1} (\ mathrm {SU} (n)) \ cong \ pi _ {1} (\ mathrm {SU} (n-1)).}$

Поскольку это единственная точка, это тривиально, это показывает, что это односвязно для всех${\ Displaystyle \ mathrm {SU} (1)}$${\ Displaystyle \ pi _ {1} (\ mathrm {SU} (1))}$${\ Displaystyle \ mathrm {SU} (п)}$${\ displaystyle n.}$

Фундаментальная группа некомпактных групп Ли сводится к компактному случаю, поскольку такая группа гомотопна своей максимальной компактной подгруппе. Эти методы дают следующие результаты:

Компактная классическая группа Ли G	Некомпактная группа Ли	${\ displaystyle \ pi _ {1}}$
особая унитарная группа ${\ Displaystyle \ mathrm {SU} (п)}$	${\ Displaystyle \ mathrm {SL} (п, \ mathbb {C})}$	1
унитарная группа ${\ Displaystyle \ mathrm {U} (п)}$	${\ Displaystyle \ mathrm {GL} (п, \ mathbb {C}), \ mathrm {Sp} (п, \ mathbb {R})}$	${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
специальная ортогональная группа ${\ Displaystyle \ mathrm {SO} (п)}$	${\ Displaystyle \ mathrm {SO} (п, \ mathbb {C})}$	${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2}$для и для${\ Displaystyle п \ geq 3}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle n = 2}$
компактная симплектическая группа ${\ Displaystyle \ mathrm {Sp} (п)}$	${\ Displaystyle \ mathrm {Sp} (п, \ mathbb {C})}$	1

Второй метод вычисления фундаментальных групп применим ко всем связным компактным группам Ли и использует аппарат максимального тора и связанной с ним корневой системы . В частности, пусть максимальный тор в связной компактной группы Ли , и пусть алгебра Ли The экспоненциального отображения${\ displaystyle T}$${\ displaystyle K,}$${\ displaystyle {\ mathfrak {t}}}$${\ displaystyle T.}$

${\ displaystyle \ exp: {\ mathfrak {t}} \ to T}$

является расслоением, поэтому его ядро отождествляется с картой ${\ displaystyle \ Gamma \ subset {\ mathfrak {t}}}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (T).}$

${\ displaystyle \ pi _ {1} (T) \ to \ pi _ {1} (K)}$

можно показать, что он сюръективен с ядром, задаваемым множеством I целочисленных линейных комбинаций сопутствующих корней . Это приводит к вычислению

${\ displaystyle \ pi _ {1} (K) \ cong \ Gamma / I.}$

Этот метод показывает, например, что любая связная компактная группа Ли, для которой ассоциированная корневая система имеет тип${\ displaystyle G_ {2}}$ , односвязна. Таким образом, существует (с точностью до изоморфизма) только одна связная компактная группа Ли, имеющая алгебру Ли типа ; эта группа односвязна и имеет тривиальный центр. ${\ displaystyle G_ {2}}$

Группа ребер-путей симплициального комплекса

Когда топологическое пространство гомеоморфно симплициальному комплексу , его фундаментальная группа может быть явно описана в терминах образующих и отношений .

Если Х представляет собой связное симплициальный комплекс , краевой путь в X определяется как цепь вершин , соединенных ребрами в X . Две краевых дорожек называются ребра эквивалентны , если один может быть получено из другого путем последовательного переключения между кромкой и двумя противоположными краями треугольника в X . Если v - фиксированная вершина в X , реберная петля в v - это реберный путь, начинающийся и заканчивающийся в v . Группа рёбер-путей E ( X ,  v ) определяется как набор классов рёберной эквивалентности рёбер-петель в точке v , с произведением и инверсией, определяемыми конкатенацией и обращением рёбер-петель.

Группа ребер-путей естественно изоморфна π ₁ (| X |,  v ), фундаментальной группе геометрической реализации | X | из X . Поскольку он зависит только от 2-скелета X ² элемента X (то есть вершин, ребер и треугольников X ), группы π ₁ (| X |, v ) и π ₁ (| X ² |,  v ) изоморфны.

Группа ребер-путей может быть явно описана в терминах генераторов и отношений . Если Т является максимальным связующим деревом в 1-скелете из X , то Е ( х ,  v ) канонический изоморфен группе с образующими (ориентированными краевыми траекториями X , не входящие в Т ) и соотношений (кромочный-эквивалентностей соответствующие треугольникам в X ). Аналогичный результат имеет место , если Т заменяется любым односвязны -в частности стягиваемого -subcomplex из X . Это часто дает практический способ вычисления фундаментальных групп и может использоваться, чтобы показать, что каждая конечно представленная группа возникает как фундаментальная группа конечного симплициального комплекса. Это также один из классических методов, используемых для топологических поверхностей , которые классифицируются по их фундаментальным группам.

Универсальный накрывающий конечного подключенного симплициального комплекс X также можно описать непосредственно как Симплициальный комплекс с использованием краевых-пути. Его вершины - это пары ( w , γ), где w - вершина X, а γ - класс эквивалентности ребер путей из v в w . В K -simplices , содержащие ( ш , у) естественно соответствуют к -simplices , содержащий ш . Каждая новая вершина у из к симплексу дает преимущество в и , следовательно, конкатенация нового пути γ _U от V к ц . Точки ( w , γ) и ( u , γ _u ) являются вершинами «перенесенного» симплекса в универсальном накрывающем пространстве. Группа края путь действует естественным путем конкатенации, сохраняя симплициальную структуру, и фактор - пространство просто Х .

Хорошо известно, что этот метод можно использовать и для вычисления фундаментальной группы произвольного топологического пространства. Несомненно, это было известно Эдуарду Чеху и Жану Лере и явным образом появилось в виде замечания в статье Андре Вейля ; различные другие авторы, такие как Лоренцо Калаби, Ву Вэнь-цзюнь и Нодар Берикашвили, также опубликовали доказательства. В простейшем случае компакта X с конечным открытым покрытием, в котором все непустые конечные пересечения открытых множеств в покрытии стягиваются, фундаментальная группа может быть отождествлена ​​с группой рёберных путей симплициального комплекса, соответствующего нерв покрова .

Реализуемость

• Каждая группа может быть реализована как фундаментальная группа связного CW-комплекса размерности 2 (или выше). Однако, как отмечалось выше, только свободные группы могут встречаться в качестве фундаментальных групп одномерных CW-комплексов (то есть графов).
• Каждая конечно представленная группа может быть реализована как фундаментальная группа компактного связного гладкого многообразия размерности 4 (или выше). Но существуют строгие ограничения на то, какие группы встречаются как фундаментальные группы многообразий малой размерности. Например, никакая свободная абелева группа ранга 4 или выше не может быть реализована как фундаментальная группа многообразия размерности 3 или меньше. Можно доказать, что каждая группа может быть реализована как фундаментальная группа компактного хаусдорфова пространства тогда и только тогда, когда не существует измеримого кардинала .

Связанные понятия

Высшие гомотопические группы

Грубо говоря, фундаментальная группа обнаруживает одномерную дырочную структуру пространства, но не дырки в более высоких измерениях, таких как 2-сфера. Такие «многомерные отверстия» могут быть обнаружены с помощью высших гомотопических групп , которые определены состоять из гомотопических классов (Basepoint сохраняющих) отображает от до X . Например, из теоремы Гуревича следует, что n -я гомотопическая группа n -сферы (для всех ) ${\ Displaystyle \ pi _ {п} (Х)}$${\ Displaystyle S ^ {п}}$${\ Displaystyle п \ geq 1}$

${\ displaystyle \ pi _ {n} (S ^ {n}) = \ mathbb {Z}.}$

Как упоминалось выше при вычислении классических групп Ли, высшие гомотопические группы могут быть применимы даже для вычисления фундаментальных групп. ${\ displaystyle \ pi _ {1}}$

Пространство петли

Множество базируемых петель (как есть, т. Е. Не рассматриваемых до гомотопии) в точечном пространстве X , наделенном компактной открытой топологией , известно как пространство петель , обозначаемое . Фундаментальная группа X находится в биекции с множеством компоненты пути его пространства цикла: ${\ displaystyle \ Omega X.}$

${\ displaystyle \ pi _ {1} (X) \ cong \ pi _ {0} (\ Omega X).}$

Фундаментальный группоид

Фундаментальный группоид представляет собой варианты фундаментальной группы, которая полезна в тех ситуациях , когда выбор базовой точки нежелателен. Она определяется первым рассматривает категорию из путей в т.е. непрерывных функций ${\ displaystyle x_ {0} \ in X}$${\ displaystyle X,}$

${\ Displaystyle \ гамма \ двоеточие [0, г] \ к X}$,

где r - произвольное неотрицательное действительное число. Поскольку длина r в этом подходе является переменной, такие пути могут быть объединены как есть (т. Е. Не до гомотопии) и, следовательно, дать категорию. Два таких пути с одинаковыми конечными точками и длиной r соответственно. r ' считаются эквивалентными, если существуют такие действительные числа , что и являются гомотопными относительно своих конечных точек, где${\ displaystyle \ gamma, \ gamma '}$${\ displaystyle u, v \ geqslant 0}$${\ Displaystyle г + и = г '+ v}$${\ displaystyle \ gamma _ {u}, \ gamma '_ {v} \ двоеточие [0, r + u] \ to X}$${\ displaystyle \ gamma _ {u} (t) = {\ begin {case} \ gamma (t), & t \ in [0, r] \\\ гамма (r), & t \ in [r, r + u ]. \ end {case}}}$

Категория путей до этого отношения эквивалентности обозначается. Каждый морфизм в является изоморфизмом , причем обратный путь задается тем же путем, пройденным в противоположном направлении. Такая категория называется группоидом . Он воспроизводит фундаментальную группу, поскольку ${\ Displaystyle \ Pi (X).}$${\ Displaystyle \ Pi (X)}$

${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0}) = \ mathrm {Hom} _ {\ Pi (X)} (x_ {0}, x_ {0})}$.

В более общем плане можно рассматривать фундаментальный группоид на множестве A базовых точек, выбранных в соответствии с геометрией ситуации; например, в случае круга, который может быть представлен как объединение двух связанных открытых множеств, пересечение которых имеет два компонента, можно выбрать одну базовую точку в каждом компоненте. Теорема ван Кампена допускает версию для фундаментальных группоидов, которая дает, например, другой способ вычисления фундаментальной группы (oid)${\ displaystyle S ^ {1}.}$

Локальные системы

Вообще говоря, представления могут служить для демонстрации свойств группы посредством ее действий с другими математическими объектами, часто с векторными пространствами . Представления фундаментальной группы имеют очень геометрическое значение: любая локальная система (т. Е. Пучок на X, обладающий тем свойством, что локально в достаточно малой окрестности U любой точки на X ограничение F является постоянным пучком вида ) приводит к так называемому представлению монодромии , представлению фундаментальной группы на n -мерном векторном пространстве. Наоборот, любое такое представление на линейно связном пространстве X возникает таким образом. Эта эквивалентность категорий между представлениями и локальными системами используется, например, при изучении дифференциальных уравнений , таких как уравнения Книжника – Замолодчикова . ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} | _ {U} = \ mathbb {Q} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$

Эталь фундаментальная группа

В алгебраической геометрии так называемая этальная фундаментальная группа используется в качестве замены фундаментальной группы. Поскольку Зарисскому на качестве алгебраического многообразия или схемы X является гораздо грубее , чем, скажем, топология открытых подмножеств в это больше не имеет смысла рассматривать непрерывные отображения с интервалом в X . Вместо этого, подход , разработанный Гротендиком состоит в построении с учетом всех конечных Этальные покрытий из X . Они служат алгебро-геометрическим аналогом накрытий с конечными слоями. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$${\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {\ text {et}}}$

Это дает теорию, применимую в ситуации, когда нет никакой большой общности классической топологической интуиции, например, для многообразий, определенных над конечным полем . Кроме того, этальной фундаментальной группой поля является его (абсолютная) группа Галуа . С другой стороны, для гладких многообразий X над комплексными числами этальная фундаментальная группа сохраняет большую часть информации, присущей классической фундаментальной группе: первая является проконечным пополнением второй.

Фундаментальная группа алгебраических групп

Фундаментальная группа корневой системы определяется аналогично вычислению для групп Ли. Это позволяет определить и использовать фундаментальную группу полупростой линейной алгебраической группы G , которая является полезным базовым инструментом при классификации линейных алгебраических групп.

Фундаментальная группа симплициальных множеств

Отношение гомотопии между 1-симплексами симплициального множества X является отношением эквивалентности, если X является комплексом Кана, но не обязательно так в общем случае. Таким образом, комплекс Кана можно определить как множество гомотопических классов 1-симплексов. Фундаментальная группа произвольного симплициального множество X определена как гомотопическая группа ее топологической реализации , т.е. топологического пространства , полученного склеивания топологических симплексов , как это предписано симплициальное множество структура X . ${\ displaystyle \ pi _ {1}}$${\ displaystyle | X |,}$

Смотрите также

• Орбифолд фундаментальная группа

Примечания

использованная литература

• Адамс, Джон Франк (1978), Бесконечные пространства петель , Анналы математических исследований, 90 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08207-3, Руководство по ремонту  0505692
• Браун, Рональд (2006), Топология и группоиды, Booksurge, ISBN 1-4196-2722-8
• Удар, Дэниел (2013), Группы Ли , Тексты для выпускников по математике, 225 (2-е изд.), Springer, DOI : 10.1007 / 978-1-4614-8024-2 , ISBN 978-1-4614-8023-5
• Кроуэлл, Ричард Х .; Фокс, Ральф (1963), Введение в теорию узлов , Springer
• Эль-Зейн, Фуад; Suciu, Александр I .; Тосун, Мерал; Улудах, Мухаммед; Юзвинский, Сергей (2010), Устройства, локальные системы и особенности: Летняя школа CIMPA, Университет Галатасарай, Стамбул, 2007 , ISBN 978-3-0346-0208-2
• Форстер, Отто (1981), Лекции о римановых поверхностях , ISBN 0-387-90617-7
• Фултон, Уильям (1995), Алгебраическая топология: первый курс , Springer, ISBN 9780387943275
• Гёрсс, Пол Г .; Джардин, Джон Ф. (1999), Симплициальная теория гомотопий , Прогресс в математике, 174 , Базель, Бостон, Берлин: Биркхойзер, ISBN 978-3-7643-6064-1
• Гротендик, Александр ; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 ) , Париж: Société Mathématique de Francei, + 327. см. Exp. V, IX, X., arXiv : math.AG/0206203 , ISBN 978-2-85629-141-2
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Хэтчер, Аллен (2002), алгебраическая топология , Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0
• Питер Хилтон и Шон Уайли , Теория гомологии , Cambridge University Press (1967) [предупреждение: эти авторы используют контргомологии для когомологий ]
• Хамфрис, Джеймс Э. (2004), Линейные алгебраические группы , Тексты для выпускников по математике, Springer, ISBN 9780387901084
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , ISBN 0-387-90052-7
• Маундер, CRF (январь 1996 г.), алгебраическая топология , Dover Publications , ISBN 0-486-69131-4
• Мэсси, Уильям С. (1991), Базовый курс алгебраической топологии , Springer, ISBN 038797430X
• Мэй, Дж. Питер (1999), Краткий курс алгебраической топологии , ISBN 9780226511832
• Дин Монтгомери и Лео Зиппин, группы топологической трансформации , Interscience Publishers (1955)
• Мункрес, Джеймс Р. (2000), топология , Prentice Hall , ISBN 0-13-181629-2
• Ротман, Джозеф (1998-07-22), Введение в алгебраическую топологию , Springer-Verlag , ISBN 0-387-96678-1
• Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия, краткий словарь , Берлин / Бостон: Вальтер Де Грюйтер, ISBN 978-3-11-031622-3
• Зейферт, Герберт ; Трелфолл, Уильям (1980), Учебник топологии , переведенный Хайлем, Вольфгангом, Academic Press , ISBN 0-12-634850-2
• Певица Исадор. М .; Торп, Дж. А. (1976-12-10), Конспект лекций по элементарной топологии и геометрии , ISBN 0-387-90202-3
• Спаниер, Эдвин Х. (1989), Алгебраическая топология , Springer, ISBN 0-387-94426-5
• Стром, Джеффри (2011), Современная классическая теория гомотопий , AMS, ISBN 9780821852866

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Фундаментальная группа» . MathWorld .
• Дилан Г.Л. Аллегретти, Симплициальные множества и теорема ван Кампена : обсуждение фундаментального группоида топологического пространства и фундаментального группоида симплициального множества
• Анимация для представления фундаментальной группы Николя Делану
• Наборы базовых точек и фундаментальные группоиды: обсуждение mathoverflow
• Группоиды в математике