Модульная группа - Modular group

В математике , то модульная группа является проективной специальной линейной группа PSL (2, Z ) из 2 × 2 матриц с целыми коэффициентами и определителем 1. Матрицы и - идентифицированы. Модульная группа действует на верхней половины комплексной плоскости с помощью дробно - линейных преобразований , и название «модульной группа» происходит от отношения к пространству модулей , а не из модульной арифметики .

Определение

Модульная группа Γ является группой из дробно - линейных преобразований в верхней половине комплексной плоскости , которые имеют вид

где a , b , c , d - целые числа, а ad - bc = 1 . Групповая операция - это композиция функций .

Эта группа преобразований изоморфна проективной специальной линейной группе PSL (2, Z ) , которая является фактором 2-мерной специальной линейной группы SL (2, Z ) по целым числам по ее центру { I , - I } . Другими словами, PSL (2, Z ) состоит из всех матриц

где a , b , c , d - целые числа, ad - bc = 1 , а пары матриц A и - A считаются идентичными. Групповая операция - это обычное умножение матриц .

Некоторые авторы определяют модульную группу как PSL (2, Z ) , а третьи определяют модульную группу как большую группу SL (2, Z ) .

Некоторые математические соотношения требуют рассмотрения группы матриц GL (2, Z ) с определителем плюс или минус один. ( SL (2, Z ) - подгруппа этой группы.) Аналогично PGL (2, Z ) - фактор-группа GL (2, Z ) / { I , - I } . 2 × 2 матрицей с единичным детерминантом является симплектической матрицей , и , таким образом , SL (2, Z ) = Sp (2, Z ) , то симплектическая группа из 2 × 2 матриц.

Поиск элементов

Чтобы найти явные элементы в SL (2, Z ) , есть трюк, заключающийся в том , чтобы взять два взаимно простых целых числа и поместить их в матрицу

и решая детерминантное уравнение

Обратите внимание на то определитель уравнения силу взаимно простым , так как в противном случае был бы фактор таким образом, что , следовательно

не будет целочисленных решений. Например, если тогда определяющее уравнение имеет вид

затем берет и дает , следовательно

это матрица. Затем, используя проекцию, эти матрицы определяют элементы в PSL (2, Z ) .

Теоретико-числовые свойства

Единичный определитель

означает, что дроби а/б, а/c, c/d, б/dвсе неприводимы, то есть не имеют общих множителей (конечно, при условии, что знаменатели не равны нулю). В более общем смысле, еслип/q неприводимая дробь, то

также неприводимо (опять же, если знаменатель отличен от нуля). Таким образом можно связать любую пару неприводимых дробей; то есть для любой парып/q а также р/s неприводимых дробей существуют элементы

такой, что

Элементы модульной группы обеспечивают симметрию на двумерной решетке . Пусть ω 1 и ω 2 - два комплексных числа, отношение которых не является действительным. Тогда набор точек

представляет собой решетку параллелограммов на плоскости. Другая пара векторов α 1 и α 2 будет генерировать точно такую ​​же решетку тогда и только тогда, когда

для некоторой матрицы из GL (2, Z ) . По этой причине двоякопериодические функции , такие как эллиптические функции , обладают симметрией модулярной группы.

Действие модульной группы на рациональные числа легче всего понять, представив квадратную сетку с точкой сетки ( p , q ), соответствующей дробип/q(см . фруктовый сад Евклида ). Несократимая дробь - это дробь, которая видна из начала координат; действие модульной группы на дробь никогда не переводит видимую (неприводимую) в скрытую (приводимую), и наоборот.

Обратите внимание, что любой член модульной группы взаимно однозначно отображает проективно расширенную вещественную прямую в себя и, кроме того, биективно отображает проективно расширенную рациональную линию (рациональные числа с бесконечностью) в себя, иррациональные числа в иррациональные, трансцендентные числа в трансцендентные числа, нереальные числа к нереальным числам, верхняя полуплоскость к верхней полуплоскости и так далее.

Если p n −1/q n −1 а также п п/q nдве последовательные дроби непрерывной дроби , то матрица

принадлежит GL (2, Z ) . В частности, если bc - ad = 1 для натуральных чисел a , b , c , d с a < b и c < d, тоа/б а также c/dбудут соседями в последовательности Фарея порядка max ( b , d ) . К важным частным случаям подходящих дробей относятся числа Фибоначчи и решения уравнения Пелла . В обоих случаях числа могут быть расположены так, чтобы образовать полугрупповое подмножество модульной группы.

Теоретико-групповые свойства

Презентация

Можно показать, что модульная группа порождается двумя преобразованиями

так что каждый элемент в модулярной группы могут быть представлены (в не единственным образом) композицией по степеням S и T . Геометрически S представляет собой инверсию в единичном круге с последующим отражением относительно мнимой оси, а T представляет собой единичный сдвиг вправо.

Генераторы S и T подчиняются соотношениям S 2 = 1 и ( ST ) 3 = 1 . Можно показать, что это полный набор отношений, поэтому модульная группа имеет представление :

Это представление описывает модульную группу как группу треугольников вращения D (2, 3, ∞) (бесконечность, поскольку на T нет отношения ), и, таким образом, она отображается на все группы треугольников (2, 3, n ) путем добавления отношения T n = 1 , что встречается, например, в конгруэнтной подгруппе Γ ( n ) .

Использование генераторов S и ST вместо S и Т , это показывает , что модульная группа изоморфна свободное произведение из циклических групп C 2 и C 3 :

Группа кос

Группа кос B 3 является универсальным центральным расширением модулярной группы.

Группа кос B 3 является универсальным центральным расширением модулярной группы, при этом они находятся в виде решеток внутри (топологической) универсальной накрывающей группы SL 2 ( R ) → PSL 2 ( R ) . Кроме того, модульная группа имеет тривиальный центр, и , следовательно , модульная группа изоморфна фактор - группы из B 3 по модулю ее центра ; что эквивалентно, в группу внутренних автоморфизмов из B 3 .

Группа кос B 3 , в свою очередь изоморфна группы узла из трилистника .

Коэффициенты

Факторы по подгруппам сравнения представляют значительный интерес.

Другими важными факторами являются группы треугольников (2, 3, n ) , которые геометрически соответствуют спуску к цилиндру, делению координаты x по модулю n , как T n = ( zz + n ) . (2, 3, 5) - группа симметрии икосаэдра , а треугольная группа ( 2, 3, 7) (и связанный с ней разбиение) - это покрытие для всех поверхностей Гурвица .

Представление в виде матричной группы

Группа может быть порождена двумя матрицами

поскольку

Проекция превращает эти матрицы в генераторы матрицы с отношениями, подобными представлению группы.

Связь с гиперболической геометрией

Модульная группа имеет важное значение , поскольку она образует подгруппу в группе изометрии в гиперболической плоскости . Если мы рассмотрим верхнюю полуплоскость модель H гиперболической геометрии плоскости, то группа всех сохраняющих ориентацию изометрий H состоит из всех преобразований Мёбиуса вида

где a , b , c , d - действительные числа . В терминах проективных координат группа PSL (2, R ) действует на верхней полуплоскости H по проективности:

Это действие верное . Так как PSL (2, Z ) является подгруппой PSL (2, R ) , модульная группа является подгруппой группы сохраняющих ориентацию изометрий H .

Тесселяция гиперболической плоскости

Типичная фундаментальная область действия Γ на верхней полуплоскости.

Модулярная группа Γ действует на H в качестве дискретной подгруппы в PSL (2, R ) , то есть, для каждого г в H можно найти окрестность г , который не содержит какой - либо другой элемент орбиты в г . Это также означает , что мы можем построить основные домены , которые (примерно) содержат ровно один представитель от орбиты каждого г в H . (Требуется осторожность на границе домена.)

Есть много способов построения фундаментальной области, но наиболее распространенным выбором является регион

ограниченный вертикальными линиями Re ( z ) =1/2и Re ( z ) = -1/2, и круг | z | = 1 . Эта область представляет собой гиперболический треугольник. Он имеет вершины в1/2+ я3/2и -1/2+ я3/2, где угол между его сторонами равен π/3, и третья бесконечно удаленная вершина, где угол между ее сторонами равен 0.

Преобразуя эту область по очереди каждым из элементов модульной группы, создается регулярная мозаика гиперболической плоскости конгруэнтными гиперболическими треугольниками, известная как треугольная мозаика бесконечного порядка V6.6.∞ . Обратите внимание, что каждый такой треугольник имеет одну вершину либо на бесконечности, либо на вещественной оси Im ( z ) = 0 . Этот тайлинг можно продолжить до круга Пуанкаре , где каждый гиперболический треугольник имеет одну вершину на границе диска. Замощение диска Пуанкаре естественным образом задается J -инвариантом , который инвариантен относительно модулярной группы и достигает каждого комплексного числа один раз в каждом треугольнике этих областей.

Эту мозаику можно немного улучшить, разделив каждую область на две половины (обычно окрашенные в черный и белый цвета), добавив карту с изменением ориентации; тогда цвета соответствуют ориентации домена. Добавление ( x , y ) ↦ (- x , y ) и взятие правой половины области R (где Re ( z ) ≥ 0 ) дает обычную мозаику. Эта мозаика впервые появляется в печати в ( Klein & 1878 / 79a ), где она приписывается Ричарду Дедекинду со ссылкой на ( Dedekind 1877 ).

Визуализация карты (2, 3, ∞) → (2, 3, 7) путем морфинга связанных мозаик.

Карта групп (2, 3, ∞) → (2, 3, n ) (от модульной группы к треугольной группе) может быть визуализирована в терминах этой мозаики (что дает мозаику на модульной кривой), как показано на видео. справа.

Паракомпактные равномерные мозаики в семействе [∞, 3]
Симметрия: [∞, 3], (* ∞32) [∞, 3] +
(∞32)
[1 + , ∞, 3]
(* ∞33)
[∞, 3 + ]
(3 * ∞)
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel узел h.pngCDel infin.pngCDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.png CDel узел h1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel узел h1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel infin.pngCDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.png
CDel узел h0.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
знак равно CDel labelinfin.pngCDel branch 11.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel узел h0.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
знак равно CDel labelinfin.pngCDel branch 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel узел h0.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
знак равно CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.png CDel узел h1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png знак равно
CDel labelinfin.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png или же CDel labelinfin.pngCDel branch 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel узел h1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png знак равно
CDel labelinfin.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png или же CDel labelinfin.pngCDel branch 01rd.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel узел h0.pngCDel infin.pngCDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.png
знак равно CDel labelinfin.pngCDel branch hh.pngCDel split2.pngCDel узел h.png
H2-I-3-dual.svg Плитка H2 23i-3.png H2 мозаика 23i-2.png H2 мозаика 23i-6.png Плитка H2 23i-4.png H2 мозаика 23i-5.png H2 мозаика 23i-7.png Равномерная черепица i32-snub.png Плитка H2 33i-1.png H2 snub 33ia.png
{∞, 3} т {∞, 3} г {∞, 3} т {3, ∞} {3, ∞} rr {∞, 3} tr {∞, 3} sr {∞, 3} h {∞, 3} h 2 {∞, 3} s {3, ∞}
Униформа двойников
CDel узел f1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel узел f1.pngCDel infin.pngCDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel infin.pngCDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel infin.pngCDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel узел f1.png CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel узел f1.png CDel узел f1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel узел f1.png CDel узел f1.pngCDel infin.pngCDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel узел f1.png CDel узел fh.pngCDel infin.pngCDel узел fh.pngCDel 3.pngCDel узел fh.png CDel узел fh.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel infin.pngCDel узел fh.pngCDel 3.pngCDel узел fh.png
Плитка H2 23i-4.png Ord-infin triakis triang til.png Ord3infin qreg ромбический til.png H2checkers 33i.png H2-I-3-dual.svg Дельтовидный триапейрогональный til.png H2checkers 23i.png Order-3-infinite floret pentagon tiling.png Альтернативный порядок-3 apeirogonal tiling.png
V∞ 3 V3.∞.∞ V (3.∞) 2 V6.6.∞ V3 V4.3.4.∞ V4.6.∞ V3.3.3.3.∞ V (3.∞) 3 V3.3.3.3.3.∞

Подгруппы конгруэнтности

Важные подгруппы модулярной группы Γ , называемые подгруппами конгруэнции , задаются путем наложения соотношений конгруэнтности на ассоциированные матрицы.

Существует естественный гомоморфизм SL (2, Z ) → SL (2, Z / N Z ) дает сокращение записи по модулю N . Это индуцирует гомоморфизм на модулярной группе PSL (2, Z ) → PSL (2, Z / N Z ) . Ядро этого гомоморфизма называется главной конгруэнцподгруппой уровня N , обозначается Γ ( N ) . У нас есть следующая короткая точная последовательность :

.

Будучи ядром гомоморфизма, Γ ( N ) является нормальной подгруппой модулярной группы Γ . Группа Γ ( N ) задается как множество всех модулярных преобразований

для которых ad ≡ ± 1 (mod N ) и bc ≡ 0 (mod N ) .

Легко показать, что след матрицы, представляющей элемент Γ ( N ), не может быть −1, 0 или 1, поэтому эти подгруппы являются группами без кручения . (Существуют и другие подгруппы без кручения.)

Основная конгруэнтная подгруппа уровня 2, Γ (2) , также называется модулярной группой Λ . Поскольку PSL (2, Z / 2 Z ) изоморфна S 3 , Λ является подгруппой индекса 6. Группа Λ состоит из всех модулярных преобразований, для которых a и d нечетны, а b и c четны.

Другим важным семейством конгруэнцподгрупп являются модулярной группой Γ 0 ( N ) определяется как множество всех модульных преобразований , для которых с ≡ 0 ( по модулю N ) , или , что эквивалентно, в качестве подгруппы , чьи матрицы становятся верхними треугольным при уменьшении по модулю N . Отметим, что Γ ( N ) является подгруппой Γ 0 ( N ) . Эти модульные кривые , связанные с этими группами являются аспектом чудовищного самогона - для простого числа р , модульные кривой нормализатора является родом нуль тогда и только тогда , когда р делит порядок из группы монстра , или , что эквивалентно, если р является суперсингулярен премьер .

Диадический моноид

Одним из важного подмножества модулярной группы является двоично - моноидом , который является моноидом всех строк вида ST к ST м ST п ... для положительных целых чисел к , т , п , ... . Это Моноид происходит естественным образом при изучении фрактальных кривых , и описывает самоподобия симметрия функции Кантора , Функции Минковской , и снежинка Коха , каждый из которых является частным случаем общих кривого де Рама . Моноид также имеет линейные представления более высокой размерности; например, представление N = 3 можно понять как описание самосимметрии кривой Бланманже .

Карты тора

Группа GL (2, Z ) - это линейные отображения, сохраняющие стандартную решетку Z 2 , а SL (2, Z ) - сохраняющие ориентацию отображения, сохраняющие эту решетку; Таким образом , они опускаются автогомеоморфизмы в торе (SL отображения на сохраняющую ориентацию карты), а на самом деле карту изоморфно к (расширенному) отображениям группы классов торы, а это означает , что каждый сам-гомеоморфизм тора изотопный к а карта этой формы. Алгебраические свойства матрицы как элемента GL (2, Z ) соответствуют динамике индуцированного отображения тора.

Группы Гекке

Модульная группа может быть обобщена на группы Гекке , названные в честь Эриха Гекке , и определены следующим образом.

Группа Гекке H q с q ≥ 3 - это дискретная группа, порожденная

где λ q = 2 cosπ/q. Для малых значений q ≥ 3 имеем:

Модульная группа Γ изоморфна H 3 , и они имеют свойство и применение - например, так же , как один имеют свободный продукт из циклических групп

в более общем смысле один имеет

что соответствует группе треугольников (2, q , ∞) . Аналогичным образом существует понятие главных конгруэнтных подгрупп, связанных с главными идеалами в Z [ λ ] .

История

Модульная группа и ее подгруппы были впервые подробно изучены Ричардом Дедекиндом и Феликсом Кляйном в рамках его программы Эрлангена в 1870-х годах. Однако тесно связанные эллиптические функции были изучены Джозефом Луи Лагранжем в 1785 году, а дальнейшие результаты по эллиптическим функциям были опубликованы Карлом Густавом Якобом Якоби и Нильсом Хенриком Абелем в 1827 году.

Смотрите также

Рекомендации