Преобразование Мебиуса - Möbius transformation

В геометрии и комплексного анализа , А преобразование Мёбиуса в комплексной плоскости является рациональной функцией вида

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {az + b} {cz + d}}}

одной комплексной переменной z ; здесь коэффициенты a , b , c , d - комплексные числа, для которых ad - bc ≠ 0.

Геометрически преобразование Мёбиуса может быть получено путем сначала выполнения стереографической проекции с плоскости на единичную двусферу , вращения и перемещения сферы в новое место и ориентацию в пространстве, а затем выполнения стереографической проекции (из нового положения сферы ) в самолет. Эти преобразования сохраняют углы, отображают каждую прямую линию на линию или круг и отображают каждый круг на линию или круг.

Преобразования Мебиуса являются проективные преобразования по комплексной проективной прямой . Они образуют группу, называемую группой Мёбиуса , которая является проективной линейной группой PGL (2, C ). Вместе со своими подгруппами он имеет множество приложений в математике и физике.

Преобразования Мёбиуса названы в честь Августа Фердинанда Мёбиуса ; они также по-разному называются омографиями , гомографическими преобразованиями , дробно-линейными преобразованиями , билинейными преобразованиями , дробно-линейными преобразованиями или спиновыми преобразованиями (теория относительности) .

Обзор

Преобразования Мёбиуса определены на расширенной комплексной плоскости (т. Е. Комплексной плоскости, дополненной бесконечно удаленной точкой ). ${\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbb {C}}} = \ mathbb {C} \ чашка \ {\ infty \}}$

Стереографическая проекция отождествляется со сферой, которую затем называют сферой Римана ; в качестве альтернативы может рассматриваться как сложная проективная линия . Преобразования Мёбиуса - это в точности биективные конформные отображения сферы Римана в себя, т. Е. Автоморфизмы сферы Римана как комплексного многообразия ; в качестве альтернативы, они являются автоморфизмами как алгебраического многообразия. Следовательно, множество всех преобразований Мёбиуса образует группу по композиции . Эта группа называется группой Мёбиуса и иногда обозначается . ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {C}}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {C}}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} ({\ widehat {\ mathbb {C}}})}$

Группа Мёбиуса является изоморфна группой сохраняющей ориентации изометрий из гиперболического 3-пространства и , следовательно , играет важную роль при изучении гиперболического 3-многообразия .

В физике , то единичная компонента из группы Лоренца действует на небесной сфере , таким же образом , что группа Мёбиуса действует на сфере Римана. Фактически, эти две группы изоморфны. Наблюдатель, который ускоряется до релятивистских скоростей, увидит, как структура созвездий, наблюдаемая вблизи Земли, непрерывно трансформируется в соответствии с бесконечно малыми преобразованиями Мебиуса. Это наблюдение часто берется за отправную точку теории твисторов .

Некоторые подгруппы группы Мёбиуса образуют группы автоморфизмов других односвязных римановых поверхностей ( комплексной плоскости и гиперболической плоскости ). Таким образом, преобразования Мёбиуса играют важную роль в теории римановых поверхностей . Фундаментальная группа каждой римановой поверхности является дискретной подгруппой группы Мёбиуса (см фуксову группы и группа клейновой ). Особенно важной дискретной подгруппой группы Мёбиуса является модулярная группа ; он занимает центральное место в теории многих фракталов , модульных форм , эллиптических кривых и уравнений Пеллиана .

В более общем смысле преобразования Мёбиуса можно определить в пространствах размерности n > 2 как биективные конформные сохраняющие ориентацию отображения n -сферы в n- сферу. Такое преобразование является наиболее общей формой конформного отображения области. Согласно теореме Лиувилля преобразование Мёбиуса может быть выражено как композиция переносов, сходств , ортогональных преобразований и инверсий.

Определение

Общий вид преобразования Мёбиуса дается формулой

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {az + b} {cz + d}}}

где a , b , c , d - любые комплексные числа, для которых

ad - bc \neq 0

. Если

ad = bc

, определенная выше рациональная функция является константой, поскольку

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {az + b} {cz + d}} = {\ frac {a (cz + d)} {c (cz + d)}} - {\ frac {ad- bc} {c (cz + d)}} = {\ frac {a} {c}}}

и поэтому не считается преобразованием Мёбиуса.

В случае $c \neq 0$ это определение распространяется на всю сферу Римана , определяя

{\ displaystyle f \ left ({\ frac {-d} {c}} \ right) = \ infty {\ text {and}} f (\ infty) = {\ frac {a} {c}}.}

Если $c = 0$ , определим

{\ Displaystyle е (\ infty) = \ infty.}

Таким образом, преобразование Мёбиуса всегда является биективной голоморфной функцией от сферы Римана к сфере Римана.

Множество всех преобразований Мёбиуса образует группу по композиции . Этой группе можно дать структуру комплексного многообразия таким образом, чтобы композиция и инверсия были голоморфными отображениями . Тогда группа Мёбиуса является комплексной группой Ли . Группа Мёбиуса обычно обозначается как группа автоморфизмов сферы Римана. ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} ({\ widehat {\ mathbb {C}}})}$

Фиксированные точки

Каждое неединичное преобразование Мёбиуса имеет две неподвижные точки на сфере Римана. Обратите внимание, что фиксированные точки здесь подсчитываются с кратностью ; параболические преобразования - это преобразования, в которых неподвижные точки совпадают. Одна или обе эти фиксированные точки могут быть бесконечно удаленными. ${\ displaystyle \ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}}$

Определение фиксированных точек

Неподвижные точки преобразования

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {az + b} {cz + d}}}

получаются решением уравнения неподвижной точки f ( γ ) = γ . При c ≠ 0 это имеет два корня, получаемых путем разложения этого уравнения на

{\ Displaystyle с \ гамма ^ {2} - (объявление) \ гамма -b = 0 \,}

и применяя квадратичную формулу . Корни

{\ displaystyle \ gamma _ {1,2} = {\ frac {(ad) \ pm {\ sqrt {\ left (ad \ right) ^ {2} + 4bc}}} {2c}} = {\ frac { (объявление) \ pm {\ sqrt {\ Delta}}} {2c}}}

с дискриминантом

{\ displaystyle \ Delta = (\ Operatorname {tr} {\ mathfrak {H}}) ^ {2} -4 \ det {\ mathfrak {H}} = (a + d) ^ {2} -4 (ad- до н.э).}

Параболические преобразования имеют совпадающие неподвижные точки из-за нулевого дискриминанта. Для c ненулевого и ненулевого дискриминанта преобразование является эллиптическим или гиперболическим.

Когда c = 0, квадратное уравнение вырождается в линейное уравнение, и преобразование является линейным. Это соответствует ситуации, когда одна из неподвижных точек - бесконечно удаленная точка. Когда a ≠ d вторая неподвижная точка конечна и задается формулой

{\ displaystyle \ gamma = - {\ frac {b} {ad}}.}

В этом случае преобразование будет простым преобразованием, состоящим из перемещений , вращений и растяжений :

{\ displaystyle z \ mapsto \ alpha z + \ beta.}

Если c = 0 и a = d , то обе неподвижные точки находятся на бесконечности, и преобразование Мёбиуса соответствует чистому переносу:

{\ displaystyle z \ mapsto z + \ beta.}

Топологическое доказательство

Топологически тот факт, что (неединичные) преобразования Мёбиуса фиксируют 2 точки (с кратностью), соответствует тому, что эйлерова характеристика сферы равна 2:

{\ displaystyle \ chi ({\ hat {\ mathbb {C}}}) = 2.}

Во-первых, проективная линейная группа PGL (2, K ) строго 3-транзитивна - для любых двух упорядоченных троек различных точек существует единственное отображение, которое переводит одну тройку в другую, как и для преобразований Мёбиуса, и тем же алгебраическое доказательство (по сути, подсчет размерностей , поскольку группа трехмерна). Таким образом, любая карта, фиксирующая не менее 3 точек, является тождественной.

Далее, отождествляя группу Мёбиуса с группой Мёбиуса, можно увидеть, что любая функция Мёбиуса гомотопна тождеству. В самом деле, любой член общей линейной группы может быть сведен к тождественному отображению методом исключения Гаусса-Жордана, это показывает, что проективная линейная группа также линейно связна, обеспечивая гомотопию тождественному отображению. Теорема Лефшеца – Хопфа утверждает, что сумма индексов (в данном контексте кратности) неподвижных точек отображения с конечным числом неподвижных точек равна числу Лефшеца отображения, которое в данном случае является следом тождественного отображения на группах гомологий, что является просто эйлеровой характеристикой. ${\ Displaystyle \ mathrm {PGL} (2, \ mathbb {C})}$

В отличие от этого, проективная линейная группа действительной проективной прямой PGL (2, R ) не должна фиксировать какие-либо точки - например, не имеет (реальных) неподвижных точек: в качестве комплексного преобразования она фиксирует ± i - в то время как отображение 2 x фиксирует две точки 0 и ∞. Это соответствует тому факту, что эйлерова характеристика круга (действительной проективной прямой) равна 0, и, таким образом, теорема Лефшеца о неподвижной точке говорит только, что она должна фиксировать не менее 0 точек, но, возможно, и больше. ${\ Displaystyle (1 + х) / (1-х)}$

Нормальная форма

Преобразования Мёбиуса также иногда записываются через их неподвижные точки в так называемой нормальной форме . Сначала мы рассмотрим непараболический случай, когда есть две различные неподвижные точки.

Непараболический случай :

Каждое непараболическое преобразование сопряжено с растяжением / вращением, т. Е. Преобразованию вида

{\ displaystyle z \ mapsto kz}

( k ∈ C ) с неподвижными точками в точках 0 и ∞. Чтобы увидеть это, определите карту

{\ Displaystyle г (z) = {\ гидроразрыва {z- \ gamma _ {1}} {z- \ gamma _ {2}}}}

который переводит точки ( γ ₁ , γ ₂ ) в (0, ∞). Здесь мы предполагаем, что γ ₁ и γ ₂ различны и конечны. Если один из них уже находится на бесконечности, то g можно изменить так, чтобы зафиксировать бесконечность и отправить другую точку на 0.

Если F имеет различные фиксированные точки ( γ ₁ , & gamma ; ₂ ) , то преобразование имеет неподвижные точки 0 и ∞ и, следовательно , является дилатация: . Тогда уравнение с неподвижной точкой для преобразования f можно записать ${\ displaystyle gfg ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle gfg ^ {- 1} (z) = kz}$

{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {е (г) - \ гамма _ {1}} {е (г) - \ гамма _ {2}}} = к {\ гидроразрыва {г- \ гамма _ {1}} {г - \ gamma _ {2}}}.}

Решение для f дает (в матричной форме):

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}} (k; \ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}) = {\ begin {pmatrix} \ gamma _ {1} -k \ gamma _ {2} & ( k-1) \ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \\ 1-k & k \ gamma _ {1} - \ gamma _ {2} \ end {pmatrix}}}

или, если одна из неподвижных точек находится на бесконечности:

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}} (k; \ gamma, \ infty) = {\ begin {pmatrix} k & (1-k) \ gamma \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}.}

Из приведенных выше выражений можно вычислить производные функции f в неподвижных точках:

{\ displaystyle f '(\ gamma _ {1}) = k}

а также

{\ displaystyle f '(\ gamma _ {2}) = 1 / k.}

Заметим , что, учитывая упорядочение фиксированных точек, можно выделить один из множителей ( K ) из F в качестве характеристической константы из F . Изменение порядка неподвижных точек на противоположное эквивалентно взятию обратного множителя в качестве характеристической константы:

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}} (k; \ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}) = {\ mathfrak {H}} (1 / k; \ gamma _ {2}, \ gamma _ {1}).}

Для локсодромных преобразований, когда | k | > 1, говорят, что γ ₁ - неподвижная точка отталкивания , а γ ₂ - неподвижная точка притяжения . Для | k | <1, роли меняются.

Параболический случай :

В параболическом случае имеется только одна неподвижная точка γ . Преобразование, переводящее эту точку в ∞, равно

{\ Displaystyle г (z) = {\ гидроразрыва {1} {z- \ gamma}}}

или тождество, если γ уже на бесконечности. Преобразование фиксирует бесконечность и, следовательно, является переводом:

{\ displaystyle gfg ^ {- 1}}

{\ Displaystyle gfg ^ {- 1} (г) = г + \ бета \ ,.}

Здесь β называется длиной трансляции . Тогда формула неподвижной точки для параболического преобразования имеет вид

{\ displaystyle {\ frac {1} {f (z) - \ gamma}} = {\ frac {1} {z- \ gamma}} + \ beta.}

Решение для f (в матричной форме) дает

{\ Displaystyle {\ mathfrak {H}} (\ beta; \ gamma) = {\ begin {pmatrix} 1+ \ gamma \ beta & - \ beta \ gamma ^ {2} \\\ beta & 1- \ gamma \ beta \ end {pmatrix}}}

или, если γ = ∞:

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}} (\ beta; \ infty) = {\ begin {pmatrix} 1 & \ beta \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

Обратите внимание , что β является не характерной константой F , которая всегда 1 для параболического преобразования. Из приведенных выше выражений можно вычислить:

{\ displaystyle f '(\ gamma) = 1.}

Полюса трансформации

Точка называется полюсом из ; это та точка, которая преобразуется в бесконечно удаленную точку . ${\ textstyle z _ {\ infty} = - {\ frac {d} {c}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$

Обратный полюс - это точка, в которую преобразуется бесконечно удаленная точка. Точка посередине между двумя полюсами всегда совпадает с точкой посередине между двумя фиксированными точками: ${\ textstyle Z _ {\ infty} = {\ frac {a} {c}}}$

{\ displaystyle \ gamma _ {1} + \ gamma _ {2} = z _ {\ infty} + Z _ {\ infty}.}

Эти четыре точки являются вершинами параллелограмма, который иногда называют характеристическим параллелограммом преобразования.

Преобразование может быть задано двумя фиксированными точками γ ₁ , γ ₂ и полюсом . ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$ ${\ displaystyle z _ {\ infty}}$

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}} = {\ begin {pmatrix} Z _ {\ infty} & - \ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \\ 1 & -z _ {\ infty} \ end {pmatrix} }, \; \; Z _ {\ infty} = \ gamma _ {1} + \ gamma _ {2} -z _ {\ infty}.}

Это позволяет нам вывести формулу для преобразования между k и заданным : ${\ displaystyle z _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}}$

{\ displaystyle z _ {\ infty} = {\ frac {k \ gamma _ {1} - \ gamma _ {2}} {1-k}}}

{\ displaystyle k = {\ frac {\ gamma _ {2} -z _ {\ infty}} {\ gamma _ {1} -z _ {\ infty}}} = {\ frac {Z _ {\ infty} - \ gamma _ {1}} {Z _ {\ infty} - \ gamma _ {2}}} = {\ frac {ac \ gamma _ {1}} {ac \ gamma _ {2}}},}

что сводится к

{\ displaystyle k = {\ frac {(a + d) + {\ sqrt {\ left (ad \ right) ^ {2} + 4bc}}} {(a + d) - {\ sqrt {\ left (ad \ right) ^ {2} + 4bc}}}}.}

Последнее выражение совпадает с одним из (взаимно обратных) отношений собственных значений матрицы ${\ textstyle {\ frac {\ lambda _ {1}} {\ lambda _ {2}}}}$

{\ Displaystyle {\ mathfrak {H}} = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}}}

представляющий преобразование (сравните обсуждение характеристической константы преобразования в предыдущем разделе). Его характеристический полином равен

{\ displaystyle \ det (\ lambda I_ {2} - {\ mathfrak {H}}) = \ lambda ^ {2} - \ operatorname {tr} {\ mathfrak {H}} \, \ lambda + \ det {\ mathfrak {H}} = \ lambda ^ {2} - (a + d) \ lambda + (ad-bc)}

имеющий корни

{\ displaystyle \ lambda _ {i} = {\ frac {(a + d) \ pm {\ sqrt {\ left (ad \ right) ^ {2} + 4bc}}} {2}} = {\ frac { (a + d) \ pm {\ sqrt {\ left (a + d \ right) ^ {2} -4 (ad-bc)}}} {2}} = c \ gamma _ {i} + d \, .}

Простые преобразования Мёбиуса и композиция

Преобразование Мебиуса может быть составлено в виде последовательности простых преобразований.

Следующие простые преобразования также являются преобразованиями Мёбиуса:

${\ Displaystyle f (z) = z + b \ quad (a = 1, c = 0, d = 1)}$ это перевод .
${\ displaystyle f (z) = az \ quad (b = 0, c = 0, d = 1)}$ представляет собой комбинацию ( гомотетии и вращения ). Если тогда это вращение, если тогда это гомотетия. ${\ Displaystyle | а | = 1}$ ${\ Displaystyle а \ в \ mathbb {R}}$
${\ displaystyle f (z) = 1 / z \ quad (a = 0, b = 1, c = 1, d = 0)}$ ( инверсия и отражение относительно действительной оси)

Составление простых преобразований

Если , пусть: ${\ displaystyle c \ neq 0}$

${\ displaystyle f_ {1} (z) = z + d / c \ quad}$ ( Перевод с г / с )
${\ displaystyle f_ {2} (z) = 1 / z \ quad}$ ( инверсия и отражение относительно действительной оси)
${\ displaystyle f_ {3} (z) = {\ frac {bc-ad} {c ^ {2}}} z \ quad}$ ( гомотетия и вращение )
${\ displaystyle f_ {4} (z) = z + a / c \ quad}$ (перевод а / с )

Тогда эти функции могут быть составлены , давая

{\ displaystyle f_ {4} \ circ f_ {3} \ circ f_ {2} \ circ f_ {1} (z) = f (z) = {\ frac {az + b} {cz + d}}.}

То есть,

{\ displaystyle {\ frac {az + b} {cz + d}} = {\ frac {a} {c}} + {\ frac {e} {z + {\ frac {d} {c}}}}, }

с участием

{\ displaystyle e = {\ frac {bc-ad} {c ^ {2}}}.}

Это разложение делает очевидными многие свойства преобразования Мёбиуса.

Элементарные свойства

Преобразование Мёбиуса эквивалентно последовательности более простых преобразований. Композиция делает очевидными многие свойства преобразования Мёбиуса.

Формула обратного преобразования

Существование обратного преобразования Мёбиуса и его явная формула легко выводятся из композиции обратных функций более простых преобразований. То есть определите функции g ₁ , g ₂ , g ₃ , g _{4 так} , чтобы каждый g _i был обратным к f _i . Тогда композиция

{\ displaystyle g_ {1} \ circ g_ {2} \ circ g_ {3} \ circ g_ {4} (z) = f ^ {- 1} (z) = {\ frac {dz-b} {- cz + а}}}

дает формулу для обратного.

Сохранение углов и обобщенных окружностей

Из этого разложения мы видим, что преобразования Мёбиуса переносят все нетривиальные свойства обращения окружности . Например, сохранение углов сводится к доказательству того, что инверсия окружности сохраняет углы, поскольку другие типы преобразований - это растяжение и изометрии (перенос, отражение, вращение), которые тривиально сохраняют углы.

Кроме того, преобразования Мёбиуса отображают обобщенные окружности в обобщенные окружности, поскольку инверсия окружностей обладает этим свойством. Обобщенный круг - это либо круг, либо линия, последняя рассматривается как круг, проходящий через бесконечно удаленную точку. Обратите внимание, что преобразование Мёбиуса не обязательно отображает круги в окружности и линии в линии: оно может смешивать и то, и другое. Даже если он сопоставляет круг с другим кругом, он не обязательно сопоставляет центр первого круга с центром второго круга.

Сохранение перекрестного отношения

Кросс-отношения инвариантны относительно преобразований Мёбиуса. То есть, если преобразование Мёбиуса отображает четыре различные точки в четыре различные точки соответственно, то ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, z_ {4}}$ ${\ displaystyle w_ {1}, w_ {2}, w_ {3}, w_ {4}}$

{\ displaystyle {\ frac {(z_ {1} -z_ {3}) (z_ {2} -z_ {4})} {(z_ {2} -z_ {3}) (z_ {1} -z_ { 4})}} = {\ frac {(w_ {1} -w_ {3}) (w_ {2} -w_ {4})} {(w_ {2} -w_ {3}) (w_ {1} -w_ {4})}}.}

Если одна из точек является бесконечно удаленной точкой, тогда необходимо определить перекрестное отношение, взяв соответствующий предел; например, перекрестное отношение равно ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, z_ {4}}$ ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, \ infty}$

{\ displaystyle {\ frac {(z_ {1} -z_ {3})} {(z_ {2} -z_ {3})}}.}.

Поперечное отношение четырех разных точек реально тогда и только тогда, когда через них проходит линия или круг. Это еще один способ показать, что преобразования Мёбиуса сохраняют обобщенные окружности.

Конъюгация

Две точки г ₁ и г ₂ являются сопряженными по отношению к обобщенной окружности С , если, учитывая обобщенный круг D , проходящая через г ₁ и г ₂ и резки C в двух точках и б , ( г ₁ , г ₂ ; через , б ) находятся в гармоническом поперечном отношении (т. е. их поперечное отношение равно -1). Это свойство не зависит от выбора окружности D . Это свойство также иногда называют симметричным относительно линии или окружности.

Две точки z , z ^∗ сопряжены относительно прямой, если они симметричны относительно прямой. Две точки сопряжены относительно окружности, если они меняются местами инверсией относительно этой окружности.

Точка z ^∗, сопряженная с z, когда L - прямая, определяемая вектором на основе e ^iθ в точке z _0, может быть явно задана как

{\ displaystyle z ^ {*} = e ^ {2i \ theta} {\ overline {z-z_ {0}}} + z_ {0}.}

Точка z ^∗, сопряженная с z, когда C - окружность радиуса r с центром z _0, может быть явно задана как

{\ displaystyle z ^ {*} = {\ frac {r ^ {2}} {\ overline {z-z_ {0}}}} + z_ {0}}

Поскольку преобразования Мёбиуса сохраняют обобщенные окружности и кросс-отношения, они сохраняют также сопряжение.

Представления проективных матриц

Естественное действие PGL (2, C ) на комплексной проективной прямой CP ¹ - это в точности естественное действие группы Мёбиуса на сфере Римана, где проективная прямая CP ¹ и сфера Римана отождествляются следующим образом:

{\ displaystyle [z_ {1}: z_ {2}] \ \ Thicksim [z_ {1} / z_ {2}, \ 1].}

Здесь [ z ₁ : z ₂ ] - однородные координаты на CP ¹ ; точка [1: 0] соответствует точке ∞ сферы Римана. Используя однородные координаты, можно упростить многие конкретные вычисления, включающие преобразования Мёбиуса, поскольку не требуется различать регистр, связанный с ∞.

С каждой обратимой комплексной матрицей 2 × 2

{\ Displaystyle {\ mathfrak {H}} = {\ begin {pmatrix} a & c \\ b & d \ end {pmatrix}}}

мы можем сопоставить преобразование Мёбиуса

{\ displaystyle [z, \ 1] {\ begin {pmatrix} a & c \\ b & d \ end {pmatrix}} \ = \ [az + b, \ cz + d] \ = \ left [{\ frac {az + b} {cz + d}}, \ 1 \ right] \ = \ f (z).}

Условие ad - bc ≠ 0 эквивалентно условию, что определитель указанной выше матрицы отличен от нуля, т.е. что матрица обратима.

Несложно проверить, что тогда произведение двух матриц будет ассоциировано с композицией двух соответствующих преобразований Мёбиуса. Другими словами, карта

{\ displaystyle \ pi \ двоеточие \ OperatorName {GL} (2, \ mathbb {C}) \ to \ operatorname {Aut} ({\ widehat {\ mathbb {C}}})}

из общей линейной группы GL (2, C ) в группу Мёбиуса, которая переводит матрицу в преобразование f , является групповым гомоморфизмом .

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}

Обратите внимание, что любая матрица, полученная умножением на комплексный скаляр λ, определяет то же преобразование, поэтому преобразование Мёбиуса определяет свою матрицу только с

точностью до скалярных кратных. Другими словами: ядро из

П

состоит из всех скалярных кратных единичной матрицы I , и первой теоремы изоморфизма в теории групп состояний , что фактор - группа GL (2, C ) / (( C \ {0}) I ) является изоморфна группе Мёбиуса. Эта фактор-группа известна как проективная линейная группа и обычно обозначается PGL (2, C ).

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}

{\ displaystyle \ operatorname {Aut} ({\ widehat {\ mathbb {C}}}) \ cong \ operatorname {PGL} (2, \ mathbb {C}).}

Такое же отождествление PGL (2, K ) с группой дробно-линейных преобразований и с группой проективных линейных автоморфизмов проективной прямой выполняется над любым полем K , что представляет алгебраический интерес, особенно для конечных полей, хотя в случае комплексные числа представляют наибольший геометрический интерес.

Если ограничиваться матрицами детерминантной единицы, отображение

π

ограничивается сюръективным отображением специальной линейной группы SL (2, C ) в группу Мёбиуса; в ограниченном случае ядро образовано плюс и минус единицей, и фактор-группа SL (2, C ) / {± I }, обозначаемая PSL (2, C ), поэтому также изоморфна группе Мёбиуса:

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}

{\ displaystyle \ operatorname {Aut} ({\ widehat {\ mathbb {C}}}) \ cong \ operatorname {PSL} (2, \ mathbb {C}).}

Отсюда мы видим, что группа Мёбиуса является 3-мерной комплексной группой Ли (или 6-мерной действительной группой Ли). Это полупрост не- компактная группа Ли.

Обратите внимание, что есть ровно две матрицы с единичным определителем, которые можно использовать для представления любого данного преобразования Мёбиуса. То есть SL (2, C ) - это двойное покрытие PSL (2, C ). Поскольку SL (2, C ) односвязен, он является универсальным покрытием группы Мёбиуса. Следовательно, фундаментальной группой группы Мёбиуса является Z ₂ .

Задание преобразования по трем точкам

Для набора из трех различных точек z ₁ , z ₂ , z ₃ на сфере Римана и второго набора различных точек w ₁ , w ₂ , w ₃ существует ровно одно преобразование Мёбиуса f ( z ) с f ( z _i ) = w _i для i = 1,2,3. (Другими словами: действие группы Мёбиуса на сфере Римана строго 3-транзитивно .) Есть несколько способов определить f ( z ) из заданных наборов точек.

Отображение сначала на 0, 1, ∞

Легко проверить, что преобразование Мёбиуса

{\ displaystyle f_ {1} (z) = {\ frac {(z-z_ {1}) (z_ {2} -z_ {3})} {(z-z_ {3}) (z_ {2} - z_ {1})}}}

с матрицей

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}} _ {1} = {\ begin {pmatrix} z_ {2} -z_ {3} & - z_ {1} (z_ {2} -z_ {3}) \\ z_ {2} -z_ {1} & - z_ {3} (z_ {2} -z_ {1}) \ end {pmatrix}}}

отображает z ₁ , z ₂ , z ₃ в 0, 1, ∞ соответственно. Если один из z _i равен ∞, то правильная формула для получается из приведенной выше, сначала разделив все элементы на z _i, а затем взяв предел z _i → ∞.

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}} _ {1}}

Если аналогично определено для отображения

w ₁ , w ₂ , w ₃ в 0, 1, ∞, то матрица, которая отображает z _1,2,3 в w _1,2,3, становится

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}} _ {2}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}} = {\ mathfrak {H}} _ {2} ^ {- 1} {\ mathfrak {H}} _ {1}.}

Стабилизатор {0, 1, ∞} (как неупорядоченного множества) - это подгруппа, известная как ангармоническая группа .

Явная детерминантная формула

Уравнение

{\ displaystyle w = {\ frac {az + b} {cz + d}}}

эквивалентно уравнению стандартной гиперболы

{\ displaystyle cwz-az + dw-b = 0}

в плоскости ( z , w ). Таким образом, задача построения преобразования Мебиуса, отображающего тройку в другую тройку, эквивалентна нахождению коэффициентов a , b , c , d гиперболы, проходящей через точки . Явное уравнение можно найти, оценив определитель

{\ Displaystyle {\ mathfrak {H}} (г)}

{\ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}, z_ {3})}

{\ displaystyle (w_ {1}, w_ {2}, w_ {3})}

{\ displaystyle (z_ {i}, w_ {i})}

{\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} zw & z & w & 1 \\ z_ {1} w_ {1} & z_ {1} & w_ {1} & 1 \\ z_ {2} w_ {2} & z_ {2} & w_ {2} & 1 \\ z_ {3} w_ {3} & z_ {3} & w_ {3} & 1 \ end {pmatrix}} \,}

с помощью разложения Лапласа по первой строке. Это приводит к детерминантным формулам

{\ displaystyle a = \ det {\ begin {pmatrix} z_ {1} w_ {1} & w_ {1} & 1 \\ z_ {2} w_ {2} & w_ {2} & 1 \\ z_ {3} w_ {3 } & w_ {3} & 1 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle b = \ det {\ begin {pmatrix} z_ {1} w_ {1} & z_ {1} & w_ {1} \\ z_ {2} w_ {2} & z_ {2} & w_ {2} \\ z_ {3} w_ {3} & z_ {3} & w_ {3} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle c = \ det {\ begin {pmatrix} z_ {1} & w_ {1} & 1 \\ z_ {2} & w_ {2} & 1 \\ z_ {3} & w_ {3} & 1 \ end {pmatrix}} }

{\ displaystyle d = \ det {\ begin {pmatrix} z_ {1} w_ {1} & z_ {1} & 1 \\ z_ {2} w_ {2} & z_ {2} & 1 \\ z_ {3} w_ {3 } & z_ {3} & 1 \ end {pmatrix}}}

для коэффициентов a, b, c, d представляющей матрицы . Построенная матрица имеет определитель, равный которому не обращается в нуль, если z _i соотв. w _i попарно различны, поэтому преобразование Мёбиуса корректно. Если одна из точек z _i или w _i равна ∞, то сначала мы делим все четыре определителя на эту переменную, а затем принимаем предел, когда переменная приближается к ∞.

{\ Displaystyle {\ mathfrak {H}} = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}

{\ displaystyle (z_ {1} -z_ {2}) (z_ {1} -z_ {3}) (z_ {2} -z_ {3}) (w_ {1} -w_ {2}) (w_ { 1} -w_ {3}) (w_ {2} -w_ {3})}

Подгруппы группы Мебиуса

Если мы потребуем, чтобы коэффициенты a , b , c , d преобразования Мёбиуса были действительными числами с ad - bc = 1 , мы получим подгруппу группы Мёбиуса, обозначенную как PSL (2, R ) . Это группа тех преобразований Мёбиуса, которые отображают верхнюю полуплоскость H = x + i y : y > 0 в себя, и равна группе всех биголоморфных (или, что эквивалентно: биективных , конформных и сохраняющих ориентацию) отображений Н → Н . Если введена собственная метрика , верхняя полуплоскость становится моделью гиперболической плоскости H ² , моделью полуплоскости Пуанкаре , а PSL (2, R ) - группой всех сохраняющих ориентацию изометрий H ² в этой модели. модель.

Подгруппа всех преобразований Мёбиуса, отображающих открытый диск D = z : | z | <1 себе состоит из всех преобразований вида

{\ displaystyle f (z) = e ^ {i \ phi} {\ frac {z + b} {{\ bar {b}} z + 1}}}

при ∈ R , b ∈ C и | б | <1. Это равно группе всех биголоморфна (или , что эквивалентно: биективен, угол сохранения и сохраняющий ориентацию) отображает D → D . При введении подходящей метрики открытый диск превращается в другую модель гиперболической плоскости, модель диска Пуанкаре , и эта группа является группой всех сохраняющих ориентацию изометрий H ² в этой модели.

{\ displaystyle \ phi}

Поскольку обе указанные выше подгруппы служат группами изометрий H ² , они изоморфны. Конкретный изоморфизм задается сопряжением с преобразованием

{\ Displaystyle е (г) = {\ гидроразрыва {г + я} {из + 1}}}

который биективно отображает открытый единичный диск в верхнюю полуплоскость.

В качестве альтернативы рассмотрим открытый диск радиуса r с центром в точке r i . Модель диска Пуанкаре в этом диске становится идентичной модели верхней полуплоскости, когда r приближается к ∞.

Максимальная компактная подгруппа группы Мёбиуса дается формулой (

Тота 2002 )

{\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {0}: = \ left \ {z \ mapsto {\ frac {uz - {\ bar {v}}} {vz + {\ bar {u}}}}: | u | ^ {2} + | v | ^ {2} = 1 \ right \},}

и соответствует при изоморфизме к проективной специальной унитарной группы БП (2, С ) , которая изоморфна специальной ортогональной группы SO (3) вращений в трех измерениях, и могут быть интерпретированы как вращений сферы Римана. Каждая конечная подгруппа сопряжена в эту максимальную компактную группу, и поэтому они точно соответствуют группам полиэдров, точечным группам в трех измерениях .

{\ Displaystyle {\ mathcal {M}} \ cong \ operatorname {PSL} (2, \ mathbb {C})}

Икосаэдрические группы преобразований Мебиуса были использованы Феликсом Кляйном для получения аналитического решения уравнения пятой степени в ( Klein 1888 ); современная экспозиция представлена в ( Tóth 2002 ).

Если мы потребуем, чтобы коэффициенты a , b , c , d преобразования Мёбиуса были целыми числами с ad - bc = 1, мы получим модулярную группу PSL (2, Z ), дискретную подгруппу в PSL (2, R ), важную в изучение решеток на комплексной плоскости, эллиптических функций и эллиптических кривых . Дискретные подгруппы в PSL (2, R ) известны как фуксовы группы ; они важны при изучении римановых поверхностей .

Классификация

Показано гиперболическое преобразование. Прообразы единичного круга - это круги Аполлония с отношением расстояний c / a и фокусами в точках - b / a и - d / c .

Для тех же фокусов - b / a и - d / c красные кружки соответствуют лучам, проходящим через начало координат.

В следующем обсуждении мы всегда будем предполагать, что представляющая матрица нормализована так, что . ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$ ${\ Displaystyle \ Det {\ mathfrak {H}} = ad-bc = 1}$

Нетождественные преобразования Мебиуса обычно подразделяются на четыре типа: параболические , эллиптические , гиперболические и локсодромные , причем гиперболические преобразования являются подклассом локсодромных. Классификация имеет как алгебраическое, так и геометрическое значение. Геометрически разные типы приводят к различным преобразованиям комплексной плоскости, как показано на рисунках ниже.

Эти четыре типа можно различить, посмотрев на след . Отметим, что след инвариантен относительно

сопряжения , т. Е.

{\ displaystyle \ operatorname {tr} {\ mathfrak {H}} = a + d}

{\ displaystyle \ operatorname {tr} \, {\ mathfrak {GHG}} ^ {- 1} = \ operatorname {tr} \, {\ mathfrak {H}},}

и поэтому каждый член класса сопряженности будет иметь один и тот же след. Каждое преобразование Мёбиуса может быть записано так, чтобы его представляющая матрица имела определитель один (путем умножения элементов на подходящий скаляр). Два преобразования Мёбиуса (оба не равны тождественному преобразованию) с сопряжены тогда и только тогда, когда

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}, {\ mathfrak {H}} '}

{\ Displaystyle \ Det {\ mathfrak {H}} = \ Det {\ mathfrak {H}} '= 1}

{\ displaystyle \ operatorname {tr} ^ {2} {\ mathfrak {H}} = \ operatorname {tr} ^ {2} {\ mathfrak {H}} '.}

Параболические преобразования

Неединичное преобразование Мёбиуса, определяемое матрицей с определителем единица, называется

параболическим, если

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}

{\ displaystyle \ operatorname {tr} ^ {2} {\ mathfrak {H}} = (a + d) ^ {2} = 4}

(так что след равен плюсу или минусу 2; любое из них может иметь место для данного преобразования, поскольку определяется только с точностью до знака). Фактически, один из вариантов для имеет тот же характеристический многочлен X ² −2 X +1, что и единичная матрица, и поэтому является унипотентным . Преобразование Мёбиуса является параболическим тогда и только тогда, когда оно имеет ровно одну фиксированную точку в расширенной комплексной плоскости , что происходит тогда и только тогда, когда оно может быть определено матрицей, сопряженной с

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}

{\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbb {C}}} = \ mathbb {C} \ чашка \ {\ infty \}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

который описывает перевод в комплексной плоскости.

Множество всех параболических преобразований Мёбиуса с заданной фиксированной точкой в вместе с единицей образует подгруппу, изоморфную группе матриц ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {C}}}}$

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ mid b \ in \ mathbb {C} \ right \};}

это пример из унипотентного радикала из подгруппы Борель (групп Мёбиуса, или SL (2, C ) для матрицы группы; понятие определяются для любой редуктивной группы Ли ).

Характеристическая константа

Все непараболические преобразования имеют две неподвижные точки и определяются матрицей, сопряженной с

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ lambda & 0 \\ 0 & \ lambda ^ {- 1} \ end {pmatrix}}}

с комплексным числом λ, не равным 0, 1 или -1, что соответствует растяжению / повороту посредством умножения на комплексное число k = λ ² , называемого характеристической константой или множителем преобразования.

Эллиптические преобразования

Диаграмма Смита , используется инженеров - электриков для анализа линий передачи , представляет собой визуальное изображение эллиптического Мёбиуса преобразования Г = (г-1) / (г + 1). Каждая точка на диаграмме Смита одновременно представляет как значение z (внизу слева), так и соответствующее значение Γ (внизу справа) для | Γ | <1.

Преобразование называется эллиптическим, если оно может быть представлено матрицей , след которой вещественен с ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$

{\ displaystyle 0 \ leq \ operatorname {tr} ^ {2} {\ mathfrak {H}} <4.}

Преобразование эллиптическое тогда и только тогда, когда | λ | = 1 и λ ≠ ± 1. При письме эллиптическое преобразование сопряжено с ${\ Displaystyle \ лямбда = е ^ {я \ альфа}}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha \\\ sin \ alpha & \ cos \ alpha \ end {pmatrix}}}

с α вещественным.

Обратите внимание, что для любого с характеристической константой k характеристическая константа равна k ⁿ . Таким образом, все преобразования Мёбиуса конечного порядка являются эллиптическими преобразованиями, а именно такими, в которых λ является корнем из единицы или, что то же самое, где α является рациональным кратным $π$ . Простейшая возможность дробного кратного среднего α = $π$ / 2, который также является единственным случаем , также обозначается как ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {tr} {\ mathfrak {H}} = 0}$ круговое преобразование ; геометрически это соответствует повороту на 180 ° вокруг двух фиксированных точек. Этот класс представлен в матричной форме как:

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}.}

Есть 3 представителя фиксирующих {0, 1, ∞}, которые являются три транспозиции в группе симметрии этих точек 3: который фиксирует 1 и свопы 0 с ∞ (вращение на 180 ° вокруг точки 1 и -1), , который фиксирует ∞ и меняет местами 0 на 1 (поворот на 180 ° вокруг точек 1/2 и ∞ ), и который фиксирует 0 и меняет местами 1 на ∞ (поворот на 180 ° вокруг точек 0 и 2).

{\ displaystyle 1 / z,}

{\ displaystyle 1-z}

{\ Displaystyle Z / (Z-1)}

Гиперболические преобразования

Преобразование называется гиперболическим, если оно может быть представлено матрицей , след которой

вещественен с

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}

{\ displaystyle \ operatorname {tr} ^ {2} {\ mathfrak {H}}> 4.}

Преобразование гиперболично тогда и только тогда, когда λ вещественно и λ ± 1.

Локсодромные преобразования

Преобразование называется локсодромным, если его нет в [0,4]. Преобразование локсодромно тогда и только тогда, когда . ${\ Displaystyle \ OperatorName {tr} ^ {2} {\ mathfrak {H}}}$ ${\ displaystyle | \ lambda | \ neq 1}$

Исторически навигация по локсодрому или румбу означает путь с постоянным пеленгом ; Результирующий путь представляет собой логарифмическую спираль , похожую по форме на преобразования комплексной плоскости, которые выполняет локсодромное преобразование Мёбиуса. См. Геометрические фигуры ниже.

Основная классификация

Трансформация	Квадрат следа	Множители	Представитель класса
Круговой	σ = 0	к = -1	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \ end {pmatrix}}}$	z ↦ - z
Эллиптический	0 ≤ σ <4	\| k \| = 1 ${\ Displaystyle к = е ^ {\ пм я \ тета} \ neq 1}$	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} e ^ {i \ theta / 2} & 0 \\ 0 & e ^ {- i \ theta / 2} \ end {pmatrix}}}$	г ↦ е ^{я θ} г
Параболический	σ = 4	k = 1	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$	г ↦ г + а
Гиперболический	4 <σ <∞	${\ Displaystyle к \ ин \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ Displaystyle к = е ^ {\ пм \ тета} \ neq 1}$	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} e ^ {\ theta / 2} & 0 \\ 0 & e ^ {- \ theta / 2} \ end {pmatrix}}}$	z ↦ e ^θ z
Локсодромный	σ ∈ C \ [0,4]	${\ Displaystyle \| к \| \ neq 1}$ ${\ Displaystyle к = \ лямбда ^ {2}, \ лямбда ^ {- 2}}$	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ lambda & 0 \\ 0 & \ lambda ^ {- 1} \ end {pmatrix}}}$	z ↦ kz

Реальный случай и примечание по терминологии

По действительным числам (если коэффициенты должны быть действительными) нет негиперболических локсодромных преобразований, а классификация делится на эллиптические, параболические и гиперболические, как и для вещественных коник . Терминология объясняется тем, что половина абсолютного значения трассы | tr | / 2 рассматривается как эксцентриситет преобразования - деление на 2 корректирует размер, поэтому идентичность имеет эксцентриситет 1 (tr / n иногда используется как альтернатива для трассы по этой причине), а абсолютное значение корректирует только то, что трасса определяется с коэффициентом ± 1 из-за работы в PSL. В качестве альтернативы можно использовать половину квадрата кривой в качестве прокси для квадрата эксцентриситета, как это было сделано выше; эти классификации (но не точные значения эксцентриситета, поскольку квадраты и абсолютные значения различны) согласуются для реальных трасс, но не для сложных трасс. Та же терминология используется для классификации элементов SL (2, R ) (2-кратное покрытие), и аналогичные классификации используются в других местах. Локсодромные превращения - это по существу сложное явление и соответствуют сложным эксцентриситетам.

Геометрическая интерпретация характеристической постоянной

На следующем рисунке изображены (после стереографического преобразования сферы в плоскость) две неподвижные точки преобразования Мёбиуса в непараболическом случае:

Характеристическая константа может быть выражена через ее логарифм :

{\ displaystyle e ^ {\ rho + \ alpha i} = k.}

При таком выражении действительное число ρ становится фактором расширения. Он показывает, насколько отталкивающей является фиксированная точка γ ₁ и насколько притягивающей является γ ₂ . Действительное число α является коэффициентом вращения, показывающим, до какой степени преобразование поворачивает плоскость против часовой стрелки вокруг γ ₁ и по часовой стрелке вокруг γ ₂ .

Эллиптические преобразования

Если р = 0, то неподвижные точки не являются ни притягивающими, ни отталкивающими, а безразличными, и преобразование называется эллиптическим . Эти преобразования имеют тенденцию перемещать все точки по кругу вокруг двух фиксированных точек. Если одна из неподвижных точек находится на бесконечности, это эквивалентно аффинному вращению вокруг точки.

Если мы возьмем однопараметрическую подгруппу, порожденную любым эллиптическим преобразованием Мёбиуса, мы получим непрерывное преобразование, такое, что каждое преобразование в подгруппе фиксирует одни и те

же две точки. Все остальные точки проходят по семейству окружностей, вложенных между двумя неподвижными точками на сфере Римана. В общем, две неподвижные точки могут быть любыми двумя разными точками.

Это имеет важное физическое толкование. Представьте себе, что какой-то наблюдатель вращается с постоянной угловой скоростью вокруг некоторой оси. Тогда мы можем принять две фиксированные точки за северный и южный полюса небесной сферы. Внешний вид ночного неба теперь непрерывно трансформируется точно так же, как описывается однопараметрической подгруппой эллиптических преобразований, разделяющих фиксированные точки 0, ∞, и с числом α, соответствующим постоянной угловой скорости нашего наблюдателя.

Вот несколько рисунков, иллюстрирующих влияние эллиптического преобразования Мёбиуса на сферу Римана (после стереографической проекции на плоскость):

Эти изображения иллюстрируют эффект одного преобразования Мёбиуса. Однопараметрическая подгруппа, которую он генерирует, непрерывно перемещает точки вдоль семейства дуг окружности, предложенных изображениями.

Гиперболические преобразования

Если α равно нулю (или кратно 2 $π$ ), то преобразование называется гиперболическим . Эти преобразования имеют тенденцию перемещать точки по круговым траекториям от одной фиксированной точки к другой.

Если мы возьмем однопараметрическую подгруппу, порожденную любым гиперболическим преобразованием Мёбиуса, мы получим непрерывное преобразование, такое, что каждое преобразование в подгруппе фиксирует одни и те

же две точки. Все остальные точки идут по некоторому семейству дуг окружностей вдали от первого неподвижной точки и в стороне второго неподвижной точки. В общем, две неподвижные точки могут быть любыми двумя разными точками на сфере Римана.

Это тоже имеет важное физическое толкование. Представьте, что наблюдатель ускоряется (с постоянной величиной ускорения) в направлении северного полюса своей небесной сферы. Затем внешний вид ночного неба преобразуется точно так же, как описывается однопараметрической подгруппой гиперболических преобразований, разделяющих фиксированные точки 0, ∞, с действительным числом ρ, соответствующим величине его вектора ускорения. Кажется, что звезды движутся по долготе от Южного полюса к Северному полюсу. (Долготы выглядят как дуги окружности при стереографической проекции от сферы на плоскость.)

Вот несколько рисунков, иллюстрирующих влияние гиперболического преобразования Мёбиуса на сферу Римана (после стереографической проекции на плоскость):

Эти изображения напоминают силовые линии положительного и отрицательного электрического заряда, расположенные в фиксированных точках, потому что круговые линии потока образуют постоянный угол между двумя фиксированными точками.

Локсодромные превращения

Если и ρ, и α отличны от нуля, то преобразование называется локсодромным . Эти преобразования имеют тенденцию перемещать все точки на S-образных траекториях от одной фиксированной точки к другой.

Слово « локсодромия » происходит от греческого: «λοξος (лохос), косой + δρόμος (дромос), курс ». При плавании с постоянным пеленгом - если вы сохраните курс (скажем) на северо-восток, вы в конечном итоге обойдете северный полюс по логарифмической спирали . В проекции меркатора такой курс представляет собой прямую линию, поскольку северный и южный полюса уходят в бесконечность. Угол, который образует локсодрома относительно линий долготы (т. Е. Ее наклон, «плотность» спирали), является аргументом k . Конечно, преобразования Мебиуса могут иметь две фиксированные точки где угодно, а не только на северном и южном полюсах. Но любое локсодромное преобразование будет сопряжено с преобразованием, которое перемещает все точки вдоль таких локсодромов.

Если мы возьмем однопараметрическую подгруппу, порожденную любым локсодромным преобразованием Мёбиуса, мы получим непрерывное преобразование, такое, что каждое преобразование в подгруппе фиксирует одни и те

же две точки. Все остальные точки текут вдоль некоторого семейства кривых, подальше от первого неподвижной точки и в стороне второго неподвижной точки. В отличие от гиперболического случая, эти кривые являются не дугами окружности, а некоторыми кривыми, которые при стереографической проекции из сферы на плоскость выглядят как спиральные кривые, которые бесконечно часто вращаются против часовой стрелки вокруг одной фиксированной точки и бесконечно часто вращаются по часовой стрелке вокруг другой фиксированной точки. В общем, две неподвижные точки могут быть любыми двумя разными точками на сфере Римана.

Вы, вероятно, можете догадаться о физической интерпретации в случае, когда две фиксированные точки равны 0, ∞: наблюдатель, который одновременно вращается (с постоянной угловой скоростью) вокруг некоторой оси и движется вдоль одной оси, увидит появление ночного неба. преобразовываются в соответствии с однопараметрической подгруппой локсодромных преобразований с фиксированными точками 0, ∞ и с ρ, α, определяемыми соответственно величиной фактических линейной и угловой скоростей.

Стереографическая проекция

Эти изображения показывают преобразования Мёбиуса, стереографически проецируемые на сферу Римана . В частности, обратите внимание, что при проецировании на сферу частный случай неподвижной точки на бесконечности ничем не отличается от наличия неподвижных точек в произвольном месте.

Одна неподвижная точка на бесконечности
Эллиптический	Гиперболический	Локсодромный
Точки крепления диаметрально противоположные
Эллиптический	Гиперболический	Локсодромный
Неподвижные точки в произвольном месте
Эллиптический	Гиперболический	Локсодромный

Итерация преобразования

Если преобразование имеет неподвижные точки γ

₁ , γ ₂ и характеристическую константу k , то будет иметь .

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {H}} '= {\ mathfrak {H}} ^ {n}}

{\ displaystyle \ gamma _ {1} '= \ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}' = \ gamma _ {2}, k '= k ^ {n}}

Это можно использовать для итерации преобразования или для его анимации, разбив его на шаги.

На этих изображениях показаны три точки (красная, синяя и черная), которые непрерывно повторяются при преобразованиях с различными характеристическими константами.

И эти изображения демонстрируют, что происходит, когда вы преобразуете круг с помощью гиперболических, эллиптических и локсодромных преобразований. Обратите внимание, что на эллиптических и локсодромных изображениях значение α равно 1/10.

Высшие измерения

В более высоких измерениях, A преобразование Мёбиуса является гомеоморфизмом из , то

одна точки компактификация из , которая является конечной композицией инверсий в сферах и отражений в гиперплоскостях . Теорема Лиувилля в конформной геометрии утверждает, что в размерности не менее трех все конформные преобразования являются преобразованиями Мёбиуса. Каждое преобразование Мёбиуса можно представить в виде

{\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R} ^ {n}}}}

{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}

{\ Displaystyle е (х) = Ь + {\ гидроразрыва {\ альфа А (ха)} {| ха | ^ {\ varepsilon}}}}

где , , является

ортогональной матрицей , а равно 0 или 2. Группы преобразований Мёбиуса также называют группой Мёбиуса .

{\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}

{\ displaystyle A}

{\ displaystyle \ varepsilon}

Сохраняющие ориентацию преобразования Мёбиуса образуют связную компоненту тождества в группе Мёбиуса. В размерности n = 2 сохраняющие ориентацию преобразования Мёбиуса в точности соответствуют описанным здесь отображениям сферы Римана. Обращающие ориентацию получаются из них комплексным сопряжением.

Область преобразований Мёбиуса, т. Е. Гомеоморфна

n -мерной сфере . Канонический изоморфизм между этими двумя пространствами - это преобразование Кэли , которое само является преобразованием Мёбиуса . Это отождествление означает, что преобразования Мебиуса также можно рассматривать как конформные изоморфизмы . П -сфера вместе с действием группы Мёбиуса, является геометрической структурой (в смысле Клейн программы Erlangen ) под названием Мёбиусова геометрия .

{\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R} ^ {n}}}}

{\ Displaystyle S ^ {п}}

{\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {R} ^ {п + 1}}}}

{\ Displaystyle S ^ {п}}

Приложения

Преобразование Лоренца

Изоморфизм группы Мебиуса с группой Лоренца был отмечен несколькими авторами: на основе предыдущей работы Феликса Клейна (1893, 1897) по автоморфным функциям, связанным с гиперболической геометрией и геометрией Мебиуса, Густав Херглотц (1909) показал, что гиперболические движения (т. Е. изометрические автоморфизмы из более гиперболического пространства ) , преобразующие единичную сферу в себя соответствуют преобразованиям Лоренца, с помощью которых Герглотца смог классифицировать однопараметрические преобразования Лоренца в локсодромических, эллиптического, гиперболического и параболических групп. Среди других авторов - Эмиль Артин (1957), HSM Coxeter (1965) и Роджер Пенроуз , Вольфганг Риндлер (1984), Тристан Нидхэм (1997) и WM Olivia (2002).

Пространство Минковского состоит из четырехмерного вещественного координатного пространства R ^4, состоящего из пространства упорядоченных четверок ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) действительных чисел вместе с квадратичной формой

{\ displaystyle Q (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ { 2} -x_ {3} ^ {2}.}

Заимствуя терминологию из специальной теории относительности , точки с $Q > 0$ считаются времениподобными ; кроме того, если $x 0 > 0$ , то точка называется указывающей в будущее . Точки с $Q <0$ называются пространственноподобными . Нуль - конус S состоит из тех точек , где $Q = 0$ ; будущий нулевой конус N ⁺ те точки на нулевом конусе с $й 0 > 0$ . Затем небесная сфера отождествляется с набором лучей в N ⁺ , начальная точка которого является началом координат R ⁴ . Набор линейных преобразований на R ⁴ с положительным определителем, сохраняющий квадратичную форму Q и сохраняющий направление времени, образуют ограниченную группу Лоренца SO ⁺ (1,3).

В связи с геометрией небесной сферы группа преобразований SO ⁺ (1,3) отождествляется с группой PSL (2, C ) преобразований Мёбиуса сферы. Каждому $(x 0, x 1, x 2, x 3) \in R 4$ сопоставим эрмитову матрицу

{\ displaystyle X = {\ begin {bmatrix} x_ {0} + x_ {1} & x_ {2} + ix_ {3} \\ x_ {2} -ix_ {3} & x_ {0} -x_ {1} \ конец {bmatrix}}.}

Определитель матрицы X равен $Q (х 0, х 1, х 2, х 3)$ . Специальная линейная группа действует на пространстве таких матриц через

{\ Displaystyle X \ mapsto AXA ^ {*}}

( 1 )

для каждого A ∈ SL (2, C ), и это действие SL (2, C ) сохраняет определитель X, поскольку $det A = 1$ . Поскольку определитель X отождествлен с квадратичной формой Q , SL (2, C ) действует преобразованиями Лоренца. По соображениям размерности SL (2, C ) покрывает окрестность единицы SO (1,3). Поскольку SL (2, C ) связен, он покрывает всю ограниченную группу Лоренца SO ⁺ (1,3). Кроме того, поскольку ядром действия ( 1 ) является подгруппа {± I }, переход к фактор-группе дает изоморфизм групп

{\ displaystyle \ operatorname {PSL} (2, \ mathbb {C}) \ cong \ operatorname {SO} ^ {+} (1,3).}

( 2 )

Сосредоточив теперь внимание на случае, когда ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) равно нулю, матрица X имеет нулевой определитель и, следовательно, распадается как внешнее произведение комплексного двухвектора ξ с его комплексно сопряженным:

{\ Displaystyle X = \ xi {\ bar {\ xi}} ^ {T} = \ xi \ xi ^ {*}.}

( 3 )

На двухкомпонентный вектор ξ действует SL (2, C ) способом, совместимым с ( 1 ). Теперь ясно, что ядро представления SL (2, C ) на эрмитовых матрицах есть {± I }.

Действие PSL (2, C ) на небесную сферу также можно описать геометрически с помощью стереографической проекции . Рассмотрим сначала гиперплоскость в R ^4, заданную как x ₀ = 1. Небесную сферу можно отождествить со сферой S ⁺ пересечения гиперплоскости с будущим нулевым конусом N ⁺ . Стереографическая проекция северного полюса (1,0,0,1) этой сферы на плоскость x ₃ = 0 принимает точку с координатами (1, x ₁ , x ₂ , x ₃ ) с

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 1}

к точке

{\ displaystyle \ left (1, {\ frac {x_ {1}} {1-x_ {3}}}, {\ frac {x_ {2}} {1-x_ {3}}}, 0 \ right)) .}

Вводя комплексную координату

{\ displaystyle \ zeta = {\ frac {x_ {1} + ix_ {2}} {1-x_ {3}}},}

обратная стереографическая проекция дает следующую формулу для точки ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) на S ⁺ :

{\ displaystyle {\ begin {align} x_ {1} & = {\ frac {\ zeta + {\ bar {\ zeta}}} {\ zeta {\ bar {\ zeta}} + 1}} \\ x_ { 2} & = {\ frac {\ zeta - {\ bar {\ zeta}}} {i (\ zeta {\ bar {\ zeta}} + 1)}} \\ x_ {3} & = {\ frac { \ zeta {\ bar {\ zeta}} - 1} {\ zeta {\ bar {\ zeta}} + 1}}. \ end {выравнивается}}}

( 4 )

Действие SO ⁺ (1,3) на точки N ⁺ не сохраняет гиперплоскость S ⁺ , но действие на точки в S ⁺ с последующим изменением масштаба так, чтобы результат снова был в S ^+, дает действие SO ⁺ ( 1,3) на сфере, переходящей в действие на комплексную переменную ζ. Фактически, это действие осуществляется посредством дробно-линейных преобразований, хотя это нелегко увидеть из этого представления небесной сферы. Наоборот, для любого дробно-линейного преобразования ζ переменная переходит в единственное преобразование Лоренца на N ⁺ , возможно, после подходящего (однозначно определенного) изменения масштаба.

Более инвариантное описание стереографической проекции, которое позволяет более четко видеть действие, состоит в том, чтобы рассматривать переменную ζ = z : w как отношение пары однородных координат для комплексной проективной прямой CP ¹ . Стереографическая проекция переходит к преобразованию от C ² - {0} к N ^+, которое однородно степени два по отношению к действительным масштабам.

{\ displaystyle (z, w) \ mapsto (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = (z {\ bar {z}} + w {\ bar {w}}) , z {\ bar {z}} - w {\ bar {w}}, z {\ bar {w}} + w {\ bar {z}}, i ^ {- 1} (z {\ bar {w }} - w {\ bar {z}}))}

( 5 )

что согласуется с ( 4 ) при ограничении масштабами, в которых компоненты (

5 ) являются в точности теми, которые получены из внешнего продукта.

{\ displaystyle z {\ bar {z}} + w {\ bar {w}} = 1.}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {0} + x_ {1} & x_ {2} + ix_ {3} \\ x_ {2} -ix_ {3} & x_ {0} -x_ {1} \ end { bmatrix}} = 2 {\ begin {bmatrix} z ​​\\ w \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} {\ bar {z}} & {\ bar {w}} \ end {bmatrix}}.}

Таким образом, действие ограниченной группы Лоренца SO ⁺ (1,3) согласуется с действием группы Мёбиуса PSL (2, C ). Это мотивирует следующее определение. В размерности n ≥ 2 группа Мёбиуса Möb ( n ) - это группа всех сохраняющих ориентацию конформных изометрий круглой сферы S ⁿ самой себе. Реализуя конформную сферу как пространство указывающих в будущее лучей нулевого конуса в пространстве Минковского R ^{1, n + 1} , существует изоморфизм Möb ( n ) с ограниченной группой Лоренца SO ⁺ (1, n +1 ) преобразований Лоренца с положительным определителем, сохраняющих направление времени.

Вместо этого Кокстер начал с эквивалентной квадратичной формы ${\ Displaystyle Q (x_ {1}, \ x_ {2}, \ x_ {3} \ x_ {4}) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2}.}$

Он отождествил группу Лоренца с преобразованиями, для которых { x : Q ( x ) = -1} стабильно . Затем он интерпретировал x как однородные координаты, а { x : Q ( x ) = 0}, нулевой конус , как абсолют Кэли для гиперболического пространства точек { x : Q ( x ) <0}. Затем Кокстер ввел переменные

{\ displaystyle \ xi = {\ frac {x_ {1}} {x_ {4}}}, \ \ eta = {\ frac {x_ {2}} {x_ {4}}}, \ \ zeta = {\ гидроразрыв {x_ {3}} {x_ {4}}}}

так что лоренц-инвариантная квадрика соответствует сфере. Кокстер отмечает, что

Феликс Клейн также писал об этом соответствии, применяя стереографическую проекцию из (0, 0, 1) на комплексную плоскость. Кокстер использовал тот факт, что круги инверсивной плоскости представляют плоскости гиперболическое пространство, а общая гомография - это продукт инверсий в двух или четырех кругах, соответствующий общему гиперболическому смещению, которое является продуктом инверсий в двух или четырех плоскостях.

{\ displaystyle \ xi ^ {2} + \ eta ^ {2} + \ zeta ^ {2} = 1.}

{\ textstyle z = {\ frac {\ xi + i \ eta} {1- \ zeta}}.}

Гиперболическое пространство

Как видно выше, группа Мебиуса PSL (2, C ) действует на пространстве Минковского как группа тех изометрий, которые сохраняют начало координат, ориентацию пространства и направление времени. Ограничиваясь точками, где Q = 1 в положительном световом конусе, которые образуют модель гиперболического 3-пространства H ³ , мы видим, что группа Мёбиуса действует на H ³ как группа сохраняющих ориентацию изометрий. Фактически группа Мёбиуса равна группе сохраняющих ориентацию изометрий гиперболического 3-пространства.

Если мы используем модель шара Пуанкаре , отождествляя единичный шар в R ³ с H ³ , то мы можем думать о сфере Римана как о «конформной границе» H ³ . Всякая сохраняющая ориентацию изометрия H ³ порождает преобразование Мёбиуса на сфере Римана и наоборот; это самое первое наблюдение, ведущее к гипотезам о соответствии AdS / CFT в физике.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Специфический

Общий

Арнольд, Дуглас Н .; Рогнесс, Джонатан (2008), «Обнаруженные преобразования Мебиуса» (PDF) , Уведомления AMS , 55 (10): 1226–1231
Бирдон, Алан Ф. (1995), Геометрия дискретных групп , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90788-8
Холл, Г.С. (2004), Симметрии и структура кривизны в общей теории относительности , Сингапур: World Scientific, ISBN 978-981-02-1051-9 (См. Главу 6 для классификации с точностью до сопряженности подалгебр Ли алгебры Ли группы Лоренца.)
Каток, Светлана (1992), Fuchsian Groups , Чикаго: University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-42583-2 См. Главу 2 .
Кляйн, Феликс (1888), Лекции по икосаэдру и решению уравнений пятой степени (Dover ed.), ISBN 978-0-486-49528-6.
Кнопп, Конрад (1952), Элементы теории функций , Нью-Йорк: Довер, ISBN 978-0-486-60154-0 (См. Главы 3–5 этой классической книги, где вы найдете прекрасное введение в сферу Римана, стереографическую проекцию и преобразования Мёбиуса.)
Мамфорд, Дэвид ; Сериал, Кэролайн; Райт, Дэвид (2002), Жемчуг Индры: видение Феликса Кляйна , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35253-6 (Предназначено для нематематиков, дает отличное изложение теории и результатов, богато иллюстрированное диаграммами.)
Нидхэм, Тристан (1997), визуальный комплексный анализ , Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853446-4 (См. Главу 3 с прекрасно иллюстрированным введением в преобразования Мёбиуса, включая их классификацию с точностью до сопряжения.)
Пенроуз, Роджер ; Риндлер, Вольфганг (1984), Спиноры и пространство-время, Том 1: Двухспиновое исчисление и релятивистские поля , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-24527-2
Швердтфегер, Ганс (1979), Геометрия комплексных чисел , Дувр, ISBN 978-0-486-63830-0 (См. Главу 2 для ознакомления с преобразованиями Мёбиуса.)
Тот, Габор (2002), Конечные группы Мебиуса, минимальные погружения сфер и модули

дальнейшее чтение

Лоусон, М.В. (1998). «Обратный моноид Мёбиуса» . Журнал алгебры . 200 (2): 428. DOI : 10,1006 / jabr.1997.7242 .

внешние ссылки

СМИ, связанные с преобразованием Мёбиуса на Викискладе?
"Квазиконформное отображение" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Галерея конформных карт
Вайсштейн, Эрик В. "Дробное линейное преобразование" . MathWorld .

Languages

In other projects

Преобразование Мебиуса - Möbius transformation

Обзор

Определение

Фиксированные точки

Определение фиксированных точек

Топологическое доказательство

Нормальная форма

Полюса трансформации

Простые преобразования Мёбиуса и композиция

Составление простых преобразований

Элементарные свойства

Формула обратного преобразования

Сохранение углов и обобщенных окружностей

Сохранение перекрестного отношения

Конъюгация

Представления проективных матриц

Задание преобразования по трем точкам

Отображение сначала на 0, 1, ∞

Явная детерминантная формула

Подгруппы группы Мебиуса

Классификация

Параболические преобразования

Характеристическая константа

Эллиптические преобразования

Гиперболические преобразования

Локсодромные преобразования

Основная классификация

Реальный случай и примечание по терминологии

Геометрическая интерпретация характеристической постоянной

Эллиптические преобразования

Гиперболические преобразования

Локсодромные превращения

Стереографическая проекция

Итерация преобразования

Высшие измерения

Приложения

Преобразование Лоренца

Гиперболическое пространство

Смотрите также

Примечания

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки