Групповой изоморфизм - Group isomorphism

В абстрактной алгебре , А изоморфизм групп является функцией между двумя группами , что ставит в соответствие один к одному между элементами групп таким образом , что уважает данные операции группы. Если существует изоморфизм между двумя группами, то группы называются изоморфными . С точки зрения теории групп изоморфные группы обладают одинаковыми свойствами и не нуждаются в различении.

Определение и обозначения

Учитывая две группы и изоморфизм групп из к является взаимно однозначным гомоморфизмом из к прописанному, это означает , что группа изоморфизм биективной функции такая , что для всех и в то считает , что

Две группы и изоморфны, если существует изоморфизм от одной к другой. Это написано:

Часто можно использовать более короткие и простые обозначения. Когда соответствующие групповые операции недвусмысленны, они опускаются и пишется:

Иногда можно даже просто написать = Возможно ли такое обозначение без путаницы или двусмысленности, зависит от контекста. Например, знак равенства не очень подходит, если обе группы являются подгруппами одной и той же группы. См. Также примеры.

И наоборот, учитывая группу, набор и биекцию, мы можем создать группу , определив

Если = и тогда биекция является автоморфизмом ( qv ).

Наглядно теории групп просматривать две изоморфные группы следующим образом : Для каждого элемента группы существует элемент из таких , что «ведет себя таким же образом» , как (работает с другими элементами группы таким же образом , как ). Например, если порождает, то так и делает. Это подразумевает, в частности, что и находятся в взаимно однозначном соответствии. Таким образом, определение изоморфизма вполне естественно.

Изоморфизм групп может быть эквивалентно определен как обратимый морфизм в категории групп , где обратимое здесь означает двустороннее обратное.

Примеры

В этом разделе перечислены некоторые известные примеры изоморфных групп.

Некоторые группы можно доказать изоморфизмом, опираясь на выбранную аксиому , но доказательство не указывает, как построить конкретный изоморфизм. Примеры:

  • Группа изоморфна группе всех комплексных чисел с добавлением.
  • Группа ненулевых комплексных чисел с операцией умножения изоморфна группе, упомянутой выше.

Характеристики

Ядро изоморфизма от до всегда {е G } , где е G является единицей группы

Если и изоморфны, то есть абелева тогда и только тогда , когда абелева.

Если есть изоморфизм на то для любого порядок из равен порядку

Если и изоморфны, то есть локально конечная группа тогда и только тогда , когда локально конечно.

Количество различных групп (с точностью до изоморфизма) порядка задается последовательностью A000001 в OEIS . Первые несколько чисел - 0, 1, 1, 1 и 2, означающие, что 4 - это самый низкий порядок с более чем одной группой.

Циклические группы

Все циклические группы заданного порядка изоморфны где означает сложение по модулю

Пусть - циклическая группа и порядок - тогда группа, порожденная. Мы покажем, что

Определять

так что, очевидно, биективен. потом
что доказывает, что

Последствия

Из определения следует, что любой изоморфизм отобразит единичный элемент в единичный элемент

что он будет отображать обратное на обратное,
и в более общем плане , й сила к - й степеней,
и что обратное отображение также является изоморфизмом групп.

Отношение «быть изоморфным» удовлетворяет всем аксиомам отношения эквивалентности . Если это изоморфизм между двумя группами, и тогда все, что верно в отношении этого, относится только к структуре группы, может быть переведено с помощью в истинное то же самое утверждение и наоборот.

Автоморфизмы

Изоморфизм группы в себя называется

автоморфизмом этой группы. Таким образом, это биекция такая, что

Автоморфизм всегда отображает тождество на себя. Образ при автоморфизме класса сопряженности всегда является классом сопряженности (тем же или другим). Изображение элемента имеет тот же порядок, что и этот элемент.

Композиция двух автоморфизмов снова автоморфизм, и с этой операцией множество всех автоморфизмов группы обозначается формами самой группы,

автоморфизм группы из

Для всех абелевых групп существует по крайней мере автоморфизм, заменяющий элементы группы их обратными. Однако в группах, где все элементы равны своим обратным, это тривиальный автоморфизм, например, в четырехгруппе Клейна . Для этой группы все перестановки трех неединичных элементов являются автоморфизмами, поэтому группа автоморфизмов изоморфна и

В случае простого числа один неидентификационный элемент может быть заменен любым другим с соответствующими изменениями в других элементах. Группа автоморфизмов изоморфна. Например, умножение всех элементов из на 3 по модулю 7 является автоморфизмом порядка 6 в группе автоморфизмов, потому что пока более низкие степени не дают 1. Таким образом, этот автоморфизм порождает. Есть еще один автоморфизм с это свойство: умножение всех элементов на 5 по модулю 7. Следовательно, эти два соответствуют элементам 1 и 5 в том же порядке или наоборот.

Группа автоморфизмов изоморфна, потому что только каждый из двух элементов 1 и 5 порождает, поэтому, помимо идентичности, мы можем только их поменять местами.

Группа автоморфизмов имеет порядок 168, что можно найти следующим образом. Все 7 неединичных элементов играют одну и ту же роль, поэтому мы можем выбрать, кто играет роль. Любой из оставшихся 6 может быть выбран, чтобы играть роль (0,1,0). Это определяет, что соответствует For, мы можем выбрать из 4, что определяет остальные. Таким образом, у нас есть автоморфизмы. Они соответствуют точкам

плоскости Фано , из которых 7 точек соответствуют 7 неединичным элементам. Линии, соединяющие три точки, соответствуют групповой операции: на одной линии означает и См. Также общую линейную группу над конечными полями .

Для абелевых групп все автоморфизмы, кроме тривиального, называются внешними автоморфизмами .

Неабелевы группы имеют нетривиальную группу внутренних автоморфизмов и, возможно, также внешние автоморфизмы.

Смотрите также

  • Биекция  - функция, которая соответствует одному и тому же (математика)

Рекомендации

  • Герштейн, И. Н., разделы алгебры , Wiley; 2-е издание (20 июня 1975 г.), ISBN  0-471-01090-1 .