Инъективная функция - Injective function

В математике , инъективны функции (также известный как инъекции , или один-к-одному функции ) является функцией F , которая отображает различные элементы различных элементов; то есть из f ( x ₁ ) = f ( x ₂ ) следует x ₁ = x ₂ . Другими словами, каждый элемент функции в области значений является изображение из не более одного элемента своей области . Термин « функция один-к-одному» не следует путать с взаимно-однозначным соответствием, которое относится к биективным функциям , которые являются такими функциями, что каждый элемент в кодомене является изображением ровно одного элемента в домене.

Гомоморфизм между алгебраическими структурами является функцией , которая совместима с операциями структур. Для всех распространенных алгебраических структур и, в частности, для векторных пространств , инъективный гомоморфизм также называется мономорфизмом . Однако в более общем контексте теории категорий определение мономорфизма отличается от определения инъективного гомоморфизма. Таким образом, это теорема, что они эквивалентны для алгебраических структур; см. Гомоморфизм § Мономорфизм для более подробной информации.

Не инъективную функцию иногда называют «многие к одному». ${\ displaystyle f}$

Определение

Позвольте быть функцией, областью определения которой является множество . Функция называется инъективной при условии, что для всех и в if then ; то есть означает Эквивалентно, если тогда${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle X,}$${\ Displaystyle е (а) = е (Ь),}$${\ displaystyle a = b}$${\ Displaystyle е (а) = е (Ь)}$${\ displaystyle a = b.}$${\ displaystyle a \ neq b,}$${\ Displaystyle f (a) \ neq f (b).}$

Символично,

$${\ displaystyle \ forall a, b \ in X, \; \; f (a) = f (b) \ Rightarrow a = b,}$$

$${\ displaystyle \ forall a, b \ in X, \; \; a \ neq b \ Rightarrow f (a) \ neq f (b).}$$

Примеры

Инъективные функции. Диаграммная интерпретация в декартовой плоскости , определяемая отображением, где область функции , диапазон функций и обозначает изображение каждого в сопоставлении ровно с одним уникальным в . Обведенные части осей представляют наборы областей и диапазонов - в соответствии со стандартом. диаграммы выше.${\ displaystyle f: от X \ до Y,}$${\ Displaystyle у = е (х),}$ ${\ Displaystyle X =}$${\ displaystyle Y =}$ ${\ displaystyle \ operatorname {im} (f)}$${\ displaystyle f.}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle Y.}$

• Для любого множества и любого подмножества отображение включения (который посылает любой элемент к себе) является инъекцией. В частности, функция идентичности всегда инъективна (и фактически биективна).${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle S \ substeq X,}$ ${\ displaystyle S \ to X}$${\ displaystyle s \ in S}$ ${\ displaystyle X \ to X}$
• Если область определения функции - это пустое множество , то функция - это пустая функция , которая является инъективной.
• Если в области определения функции есть один элемент (то есть это одноэлементный набор ), то функция всегда является инъективной.
• Функция, определяемая с помощью, является инъективной.${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f (x) = 2x + 1}$
• Функция, определяемая с помощью , не является инъективной, потому что (например), однако, если она переопределена так, что ее доменом являются неотрицательные действительные числа [0, + ∞), то она является инъективной.${\ displaystyle g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle г (х) = х ^ {2}}$${\ displaystyle g (1) = 1 = g (-1).}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g}$
• Экспоненциальная функция определяется инъективна (но не сюръективно, поскольку никакой реальной ценности не сопоставляется с отрицательным числом).${\ displaystyle \ exp: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ ехр (х) = е ^ {х}}$
• Натуральный логарифм функция определяется инъективна.${\ displaystyle \ ln: (0, \ infty) \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle х \ mapsto \ ln x}$
• Функция, определяемая с помощью , не является инъективной, поскольку, например,${\ displaystyle g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle г (х) = х ^ {п} -x}$${\ displaystyle g (0) = g (1) = 0.}$

В более общем смысле, когда и являются действительными линиями, тогда инъективная функция - это функция , график которой никогда не пересекается какой-либо горизонтальной линией более одного раза. Этот принцип называется тестом горизонтальной линии . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R},}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

Не инъективная функция. Здесь и являются подмножествами и являются подмножествами : для двух регионов, где функция не является инъективной, потому что более одного элемента домена могут отображаться в один элемент диапазона. То есть, возможно более одного в к карте в одном ин${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X_ {2}}$${\ displaystyle X, Y_ {1}}$${\ displaystyle Y_ {2}}$${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle Y.}$

Делаем функции инъективными. Предыдущая функция может быть сокращена до одной или нескольких инъективных функций (скажем) и показана сплошными кривыми (части исходной кривой с длинными штрихами больше не отображаются). Обратите внимание, что правило не изменилось - только домен и диапазон. и являются подмножествами и являются подмножествами : для двух регионов, где начальная функция может быть сделана инъективной, так что один элемент домена может отображаться в один элемент диапазона. То есть только один в сопоставлении с одним в${\ displaystyle f: X \ to Y}$${\ displaystyle f: X_ {1} \ to Y_ {1}}$${\ displaystyle f: X_ {2} \ to Y_ {2},}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X_ {2}}$${\ displaystyle X, Y_ {1}}$${\ displaystyle Y_ {2}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle Y.}$

Инъекции можно отменить

Функции с обратными слева всегда являются инъекциями. То есть задано, если существует такая функция , что для каждого${\ displaystyle f: от X \ до Y,}$${\ displaystyle g: Y \ to X}$${\ displaystyle x \ in X,}$

${\ Displaystyle г (е (х)) = х}$( может быть отменено ), тогда является инъективным. В этом случае, называется ретракцией из Наоборот, называется раздел из${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g.}$

И наоборот, каждая инъекция с непустым доменом имеет левую инверсию, которая может быть определена путем фиксации элемента в домене так, чтобы он равнялся уникальному прообразу under, если он существует, и в противном случае. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g,}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle г (х) = 1}$

Левый обратный не обязательно является обратным из потому , что композиция в другом порядке, могут отличаться от идентичности на Другими словами, инъективная функция может быть «отменено» посредством левого обратного, но не обязательно обратим , который требует, чтобы функция биективна. ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f,}$${\ displaystyle f \ circ g,}$${\ displaystyle Y.}$

Инъекции могут быть обратимыми

Фактически, чтобы превратить инъективную функцию в биективную (следовательно, обратимую) функцию, достаточно заменить ее codomain ее фактическим диапазоном. То есть let such that for all ; тогда биективен. В самом деле, может быть разложен , как , где есть функция включения из в${\ displaystyle f: X \ to Y}$${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle J = f (X).}$${\ displaystyle g: X \ to J}$${\ Displaystyle г (х) = е (х)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ operatorname {In} _ {J, Y} \ circ g,}$${\ displaystyle \ operatorname {In} _ {J, Y}}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle Y.}$

В более общем смысле инъективные частичные функции называются частичными биекциями .

Прочие свойства

• Если и оба инъективны, то инъективны.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f \ circ g}$

Композиция двух инъективных функций инъективна.

• Если инъективно, то инъективно (но не обязательно).${\ displaystyle g \ circ f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$
• ${\ displaystyle f: X \ to Y}$инъективен тогда и только тогда, когда для любых функций всякий раз, когда то. Другими словами, инъективные функции - это в точности мономорфизмы в категории « Множество множеств».${\ displaystyle g,}$ ${\ displaystyle h: от W \ до X}$${\ Displaystyle е \ сирк г = е \ сирк ч,}$${\ displaystyle g = h.}$
• Если инъективно и является подмножеством из затем Таким образом, может быть восстановлено из его образа${\ displaystyle f: X \ to Y}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X,}$${\ Displaystyle е ^ {- 1} (е (А)) = А.}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle f (A).}$
• Если инъективна и и оба подмножества , то${\ displaystyle f: X \ to Y}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X,}$${\ Displaystyle f (A \ cap B) = f (A) \ cap f (B).}$
• Каждая функция может быть разложена в течение подходящей инъекции и сюръекции Это разложение единственно с точностью до изоморфизма , и можно рассматривать как функцию включения диапазона в качестве подмножества области значений из${\ displaystyle h: от W \ до Y}$${\ displaystyle h = f \ circ g}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle h (W)}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle h.}$
• Если - инъективная функция, то имеет по крайней мере столько же элементов, сколько в смысле количественных чисел . В частности, если, кроме того, есть инъекция от до then и имеют одинаковый количественный номер. (Это известно как теорема Кантора – Бернштейна – Шредера .)${\ displaystyle f: X \ to Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$
• Если оба и имеют конечное с тем же числом элементов, то инъективен тогда и только тогда , когда сюръективно (в этом случае биективен).${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f: X \ to Y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$
• Инъективная функция, являющаяся гомоморфизмом двух алгебраических структур, является вложением .
• В отличие от сюръективности, которая представляет собой отношение между графиком функции и ее областью, инъективность является свойством только графика функции; то есть, является ли функция инъективной, можно решить, только рассматривая график (а не область значений)${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f.}$

Доказательство инъективности функций

Доказательство того, что функция инъективна, зависит от того, как функция представлена ​​и какие свойства она имеет. Для функций, которые задаются некоторой формулой, есть основная идея. Мы используем определение инъективности, а именно, что если то${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle е (х) = е (у),}$${\ displaystyle x = y.}$

Вот пример:

$${\ displaystyle f (x) = 2x + 3}$$

Доказательство: Пусть Пусть Так вытекает откуда следует Таким образом, как следует из определения, инъективна. ${\ displaystyle f: от X \ до Y.}$${\ Displaystyle f (x) = f (y).}$${\ displaystyle 2x + 3 = 2y + 3}$${\ displaystyle 2x = 2y,}$${\ displaystyle x = y.}$${\ displaystyle f}$

Есть несколько других методов доказательства инъективности функции. Например, в исчислении, если является дифференцируемой функцией, определенной на некотором интервале, тогда достаточно показать, что производная всегда положительна или всегда отрицательна на этом интервале. В линейной алгебре, если - линейное преобразование, достаточно показать, что ядро ​​матрицы содержит только нулевой вектор. Если это функция с конечным доменом, достаточно просмотреть список изображений каждого элемента домена и убедиться, что ни одно изображение не встречается дважды в списке. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

Графический подход к действительнозначной функции действительной переменной - это проверка горизонтальной линии . Если каждая горизонтальная линия пересекает кривую не более чем в одной точке, то она инъективна или взаимно однозначна. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f}$

Смотрите также

• Биекция, инъекция и сюръекция  - Свойства математических функций
• Инъективное метрическое пространство  - Тип метрического пространства
• Монотонная функция
• Однолистная функция

Примечания

использованная литература

• Бартл, Роберт Г. (1976), Элементы реального анализа (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05464-1, п. 17 сл .
• Халмос, Пол Р. (1974), Теория наивных множеств , Нью-Йорк: Спрингер, ISBN 978-0-387-90092-6, п. 38 сл .

внешние ссылки

• Самые ранние случаи использования некоторых слов математики: статья о инъекции, сюръекции и взаимоисключении имеет историю инъекции и связанных с ней терминов.
• Khan Academy - Сюръективные (на) и инъективные (взаимно однозначные) функции: Введение в сюръективные и инъективные функции