Эпиморфизм - Epimorphism

В теории категорий , эпиморфизм (также называемый эпос морфизм или, в просторечии, эпи ) представляет собой морфизм F  : X → Y , которое правой сократимая в том смысле , что для всех объектов Z и все морфизмы г ₁ , г ₂ : Y → Z ,

${\ displaystyle g_ {1} \ circ f = g_ {2} \ circ f \ подразумевает g_ {1} = g_ {2}.}$

Эпиморфизмы являются категориальными аналогами онтологических или сюръективных функций (а в категории множеств понятие в точности соответствует сюръективным функциям), но они могут не совпадать точно во всех контекстах; например, включение - это кольцевой эпиморфизм. Двойной эпимор является мономорфизмом (т.е. эпиморфизм в категории С мономорфен в двойственной категории C ^оп ). ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Q}}$

Многие авторы по абстрактной алгебре и универсальной алгебре определяют эпиморфизм просто как онто- или сюръективный гомоморфизм . Каждый эпиморфизм в этом алгебраическом смысле является эпиморфизмом в смысле теории категорий, но обратное верно не для всех категорий. В этой статье термин «эпиморфизм» будет использоваться в приведенном выше смысле теории категорий. Подробнее об этом см. § Терминология ниже.

Примеры

Каждый морфизм в конкретной категории , основная функция которого сюръективна, является эпиморфизмом. Для многих конкретных категорий интересов верно и обратное. Например, в следующих категориях эпиморфизмы - это в точности те морфизмы, которые сюръективны на базовых множествах:

• Набор : наборы и функции. Чтобы доказать, что каждый эпиморфизм f : X → Y в Set сюръективен, мы составим его как характеристической функцией g ₁ : Y → {0,1} изображения f ( X ), так и отображением g ₂ : Y → {0 , 1}, что является константой 1.
• Rel : множества с бинарными отношениями и функциями, сохраняющими отношения. Здесь мы можем использовать то же доказательство, что и для Set , снабдив {0,1} полным отношением {0,1} × {0,1}.
• Pos : частично упорядоченные множества и монотонные функции . Если f  : ( X , ≤) → ( Y , ≤) не сюръективно, выберите y ₀ в Y \ f ( X ) и пусть g ₁  : Y → {0,1} будет характеристической функцией { y | y ₀ ≤ y } и g ₂  : Y → {0,1} характеристическая функция { y | у ₀ < у }. Эти отображения монотонны, если {0,1} задан стандартный порядок 0 <1.
• Grp : группы и гомоморфизмы групп . Результат о том, что каждый эпиморфизм в Grp сюръективен, принадлежит Отто Шрайеру (он фактически доказал больше, показывая, что каждая подгруппа является уравнителем, используя свободное произведение с одной объединенной подгруппой); элементарное доказательство можно найти в (Linderholm 1970).
• FinGrp : конечные группы и гомоморфизмы групп. Также благодаря Шрайеру; доказательство, данное в (Linderholm 1970), также устанавливает этот случай.
• Ab : абелевы группы и гомоморфизмы групп.
• K -Vect : векторные пространства над полем K и K -линейные преобразования .
• Mod - R : правые модули над кольцом R и гомоморфизмы модулей . Это обобщает два предыдущих примера; чтобы доказать, что каждый эпиморфизм f : X → Y в Mod - R сюръективен, мы составим его как с каноническим фактор-отображением g ₁ : Y → Y / f ( X ), так и с нулевым отображением g ₂ : Y → Y / f ( Х ).
• Вверху : топологические пространства и непрерывные функции . Чтобы доказать, что каждый эпиморфизм в Top сюръективен, мы действуем точно так же, как в Set , задавая {0,1} недискретную топологию , которая гарантирует непрерывность всех рассматриваемых отображений.
• HComp : компактные хаусдорфовы пространства и непрерывные функции. Если f : X → Y не сюръективно, пусть y  ∈  Y  -  fX . Поскольку fX замкнуто, по лемме Урысона существует непрерывная функция g ₁ : Y → [0,1] такая, что g ₁ равен 0 на fX и 1 на y . Составим f как с g _{1, так} и с нулевой функцией g ₂ : Y → [0,1].

Однако есть также много конкретных категорий интересов, в которых эпиморфизмы не могут быть сюръективными. Вот несколько примеров:

• В категории моноидов , ПНО , то отображение включения N → Z не является сюръективен эпиморфизмом. Чтобы убедиться в этом, предположу , что г ₁ и г ₂ две различных карт от Z до некоторых моноидных М . Тогда для некоторого п в Z , г ₁ ( п ) ≠ г ₂ ( п ), так г ₁ ( -n ) ≠ г ₂ (- п ). Либо n, либо - n находится в N , поэтому ограничения g ₁ и g ₂ на N неравны.
• В категории алгебр над коммутативным кольцом R возьмем R [ N ] → R [ Z ], где R [ G ] - групповое кольцо группы G, а морфизм индуцирован включением N → Z, как в предыдущем примере. . Это следует из наблюдения, что 1 порождает алгебру R [ Z ] (обратите внимание, что единица в R [ Z ] задается 0 из Z ), а обратный элементу, представленному n в Z, является просто элемент, представленный - п . Таким образом , любой гомоморфизм из R [ Z ] однозначно определяется своим значением на элементе , представленного 1 из Z .
• В категории колец , кольцо , отображение вложения Z → Q является несюръективным эпиморфизмом; чтобы убедиться в этом, заметим, что любой гомоморфизм колец на Q полностью определяется его действием на Z , как и в предыдущем примере. Аналогичное рассуждение показывает, что естественный гомоморфизм колец любого коммутативного кольца R в любую его локализацию является эпиморфизмом.
• В категории коммутативных колец , А конечно порожденный гомоморфизм колец F  : R → S является эпиморфизмом тогда и только тогда , когда для всех простых идеалов P из R , идеал Q , порожденный ф ( Р ) либо S или является простым, и если Q не является S , индуцированное отображение Frac ( R / P ) → Frac ( S / Q ) является изоморфизмом ( EGA IV 17.2.6).
• В категории хаусдорфовых пространств Haus эпиморфизмы - это в точности непрерывные функции с плотными образами. Например, отображение включения Q → R является несюръективным эпиморфизмом.

Сказанное выше отличается от случая мономорфизмов, где чаще всего верно, что мономорфизмы - это в точности те, чьи основные функции инъективны .

Что касается примеров эпиморфизмов в неконкретных категориях:

• Если моноид или кольцо рассматриваются как категория с одним объектом (композиция морфизмов, заданных умножением), то эпиморфизмы - это в точности сокращаемые справа элементы.
• Если ориентированный граф рассматривается как категория (объекты - это вершины, морфизмы - это пути, композиция морфизмов - это конкатенация путей), то каждый морфизм является эпиморфизмом.

Характеристики

Каждый изоморфизм является эпиморфизмом; действительно, нужен только правосторонний обратный: если существует морфизм j  : Y → X такой, что fj = id _Y , то f : X → Y легко видеть эпиморфизм. Отображение с таким правосторонним обратным называется расщепленным эпи . В топосе отображение, которое одновременно является моническим морфизмом и эпиморфизмом, является изоморфизмом.

Композиция двух эпиморфизмов снова является эпиморфизмом. Если композиция fg двух морфизмов является эпиморфизмом, то f должна быть эпиморфизмом.

Как показывают некоторые из приведенных выше примеров, свойство быть эпиморфизмом определяется не только морфизмом, но и категорией контекста. Если D является подкатегорией из C , то каждый морфизм D , который является эпиморфизмом , когда рассматривать как морфизм в С также является эпиморфизмом в D . Однако обратное не обязательно; меньшая категория может (и часто будет) иметь больше эпиморфизмов.

Что же касается большинства понятий в теории категорий, эпиморфизмы сохраняются при эквивалентностях категорий : учитывая эквивалентность F  : C → D , морфизм е эпиморфен в категории C тогда и только тогда , когда F ( е ) является эпиморфизм D . Двойственность между двумя категориями превращается эпиморфизмы Into мономорфизмов, и наоборот.

Определение эпиморфизма можно переформулировать так, чтобы утверждать, что f  : X → Y является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда индуцированные отображения

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Hom} (Y, Z) & \ rightarrow & \ operatorname {Hom} (X, Z) \\ g & \ mapsto & gf \ end {matrix}}}$

являются инъективны для каждого выбора Z . Это, в свою очередь, эквивалентно индуцированному естественному преобразованию

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Hom} (Y, -) & \ rightarrow & \ operatorname {Hom} (X, -) \ end {matrix}}}$

будучи мономорфизмом в категории функторов Set ^C .

Каждый коуравнитель является эпиморфизмом, следствием требования уникальности в определении соуравнителей. Отсюда, в частности, следует, что каждое коядро является эпиморфизмом. Обратное, а именно, что каждый эпиморфизм является соуравнителем, не верно для всех категорий.

Во многих категориях можно записать любой морфизм как композицию эпиморфизма, за которым следует мономорфизм. Например, учитывая гомоморфизм группы f  : G → H , мы можем определить группу K = im ( f ), а затем записать f как композицию сюръективного гомоморфизма G → K , определенного как f , с последующим инъективным гомоморфизмом K → H, который отправляет каждый элемент самому себе. Такая факторизация произвольного морфизма в эпиморфизм с последующим мономорфизмом может быть проведена во всех абелевых категориях, а также во всех конкретных категориях, упомянутых выше в § Примеры (хотя и не во всех конкретных категориях).

Связанные понятия

Среди других полезных понятий - регулярный эпиморфизм , экстремальный эпиморфизм , непосредственный эпиморфизм , сильный эпиморфизм и расщепленный эпиморфизм .

• Эпиморфизм называется регулярным, если он является уравнителем некоторой пары параллельных морфизмов.
• Эпиморфизм называется экстремальным, если в каждом представлении , где - мономорфизм , морфизм автоматически является изоморфизмом . ${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ Displaystyle \ varepsilon = \ mu \ circ \ varphi}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu}$
• Эпиморфизм называется непосредственным, если в каждом представлении , где - мономорфизм и является эпиморфизмом, морфизм автоматически является изоморфизмом . ${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ Displaystyle \ varepsilon = \ mu \ circ \ varepsilon '}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ varepsilon '}$${\ displaystyle \ mu}$
• 
  Эпиморфизм называется сильным, если для любого мономорфизма и любых морфизмов и таких , что существует такой морфизм , что и . ${\ displaystyle \ varepsilon: от A \ до B}$ ${\ displaystyle \ mu: C \ to D}$${\ displaystyle \ alpha: от A \ до C}$${\ displaystyle \ beta: B \ to D}$${\ Displaystyle \ beta \ circ \ varepsilon = \ mu \ circ \ alpha}$${\ displaystyle \ delta: B \ to C}$${\ displaystyle \ delta \ circ \ varepsilon = \ alpha}$${\ displaystyle \ mu \ circ \ delta = \ beta}$
• Эпиморфизм называется расщепляемым, если существует такой морфизм , что (в этом случае называется правосторонним обратным для ). ${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ varepsilon \ circ \ mu = 1}$${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$

В теории колец также есть понятие гомологического эпиморфизма . Морфизм колец f : A → B является гомологическим эпиморфизмом, если он является эпиморфизмом и индуцирует полный и точный функтор на производных категориях : D ( f ): D ( B ) → D ( A ).

Морфизм, который одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом, называется биморфизмом . Каждый изоморфизм является биморфизмом, но обратное, вообще говоря, неверно. Например, отображение из полуоткрытого интервала [0,1) к единичной окружности S ¹ (мысли о том, как подпространство в комплексной плоскости ) , который посылает й ехр (2πi х ) (см формулы Эйлера ) непрерывно и биективен, но не гомеоморфизм, поскольку обратное отображение не непрерывно в 1, поэтому это пример биморфизма, который не является изоморфизмом в категории Top . Другой пример - вложение Q  → R в категорию Haus ; как отмечалось выше, это биморфизм, но он не биективен и, следовательно, не является изоморфизмом. Аналогично, в категории колец отображение Z  → Q является биморфизмом, но не изоморфизмом.

Эпиморфизмы используются для определения абстрактных факторобъектов в общих категориях: два эпиморфизма f ₁  : X → Y ₁ и f ₂  : X → Y ₂ называются эквивалентными, если существует изоморфизм j  : Y ₁ → Y ₂ с j   f ₁ = f ₂ . Это отношение эквивалентности , и классы эквивалентности определяется как фактор - объекты X .

Терминология

Сопутствующие термины эпиморфизм и мономорфизм были впервые введены Бурбаки . Бурбаки использует эпиморфизм как сокращение для сюръективной функции . Ранние теоретики категорий полагали, что эпиморфизмы были правильным аналогом сюръекций в произвольной категории, подобно тому, как мономорфизмы почти точные аналоги инъекций. К сожалению, это неверно; сильные или регулярные эпиморфизмы гораздо ближе к сюръекциям, чем обычные эпиморфизмы. Сондерс Мак Лейн попытался провести различие между эпиморфизмами , которые представляли собой карты в конкретной категории, чьи базовые карты множеств были сюръективными, и эпическими морфизмами , которые являются эпиморфизмами в современном смысле. Однако это различие так и не прижилось.

Распространенная ошибка - полагать, что эпиморфизмы либо идентичны сюръекциям, либо представляют собой лучшую концепцию. К сожалению, это случается редко; эпиморфизмы могут быть очень загадочными и иметь неожиданное поведение. Например, очень сложно классифицировать все эпиморфизмы колец. В общем, эпиморфизмы - это их собственное уникальное понятие, связанное с сюръекциями, но принципиально иное.

Смотрите также

• Список тем по теории категорий
• Мономорфизм

Заметки

Рекомендации

• Адамек, Иржи; Герлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Вили и сыновья. ISBN   0-471-60922-6 .
• Бергман, Джордж (2015). Приглашение к общей алгебре и универсальным конструкциям . Springer. ISBN   978-3-319-11478-1 .
• Борсё, Фрэнсис (1994). Справочник по категориальной алгебре. Том 1: Основная теория категорий . Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0521061193 .
• Цаленко М.С. Шульгейфер, EG (1974). Основы теории категорий . Наука. ISBN   5-02-014427-4 .
• "Эпиморфизм" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Ловер, Ф. Уильям; Роузбру, Роберт (2015). Наборы для математики . Пресса Кембриджского университета. ISBN   0-521-80444-2 .
• Линдерхольм, Карл (1970). «Групповой эпиморфизм сюръективен» . Американский математический ежемесячник . 77 : 176–177. DOI : 10.1080 / 00029890.1970.11992448 .

Внешние ссылки

• эпиморфизм в nLab
• Сильный эпиморфизм в nLab