Преддитивная категория - Preadditive category

В математике , особенно в теории категорий , предаддитивная категория - это другое название Ab-категории , т. Е. Категории, которая обогащена над категорией абелевых групп , Ab . То есть Ab-категория C - это такая категория , что каждое гом-множество Hom ( A , B ) в C имеет структуру абелевой группы, а композиция морфизмов билинейна в том смысле, что композиция морфизмов распределяется по групповая операция. В формулах:

и
где + - групповая операция.

Некоторые авторы использовали термин аддитивная категория для предаддитивных категорий, но здесь мы следим за текущей тенденцией резервирования этого слова для некоторых специальных предаддитивных категорий (см. § Особые случаи ниже).

Примеры

Наиболее очевидным примером предаддитивной категории является сама категория Ab . Точнее, Ab - замкнутая моноидальная категория . Обратите внимание, что здесь решающее значение имеет коммутативность ; это гарантирует, что сумма двух гомоморфизмов групп снова будет гомоморфизмом. Напротив, категория всех групп не закрыта. См. Категорию Medial .

Другие распространенные примеры:

  • Категория (левых) модулей над кольцом R , в частности:
  • Алгебра матриц над кольцом, рассматриваемая как категория, как описано в статье Аддитивная категория .
  • Любое кольцо, рассматриваемое как категория только с одним объектом, является предаддитивной категорией. Здесь композиция морфизмов - это просто умножение колец, а единственное гом-множество - это основная абелева группа.

Это даст вам представление о том, о чем думать; Дополнительные примеры см. по ссылкам в § Особые случаи ниже.

Элементарные свойства

Поскольку каждые Хомы-множество Хом ( , B ) является абелевой группой, она имеет нулевой элемент 0. Это нулевой морфизм из A в B . Поскольку композиция морфизмов билинейна, композиция нулевого морфизма и любого другого морфизма (с обеих сторон) должна быть другим нулевым морфизмом. Если вы думаете о композиции как о аналоге умножения, то это говорит о том, что умножение на ноль всегда приводит к нулю, что является знакомой интуицией. Продолжая эту аналогию, тот факт, что композиция в общем случае является билинейной, становится дистрибутивностью умножения над сложением.

Сосредоточившись на одном объекте A в предаддитивной категории, эти факты говорят, что гом-множество эндоморфизмов Hom ( A , A ) является кольцом , если мы определяем умножение в кольце как композицию. Это кольцо является кольцом эндоморфизмов из A . И наоборот, каждое кольцо (с единицей ) является кольцом эндоморфизмов некоторого объекта в некоторой предаддитивной категории. В самом деле, для кольца R мы можем определить предаддитивную категорию R, чтобы иметь единственный объект A , пусть Hom ( A , A ) будет R , а композиция - это умножение колец. Поскольку R - абелева группа, а умножение в кольце билинейно (дистрибутивно), это делает R предаддитивной категорией. Теоретики категорий часто думают о кольце R и категории R как о двух разных представлениях одного и того же, так что особенно извращенный теоретик категорий может определить кольцо как предаддитивную категорию с ровно одним объектом (точно так же, как моноид может можно рассматривать как категорию с одним объектом - и если забыть об аддитивной структуре кольца, мы получим моноид).

Таким образом, предаддитивные категории можно рассматривать как обобщение колец. Многие концепции теории колец, такие как идеалы , радикалы Джекобсона и фактор-кольца, могут быть напрямую обобщены на этот случай. Пытаясь записать эти обобщения, следует думать о морфизмах в предаддитивной категории как о «элементах» «обобщенного кольца».

Аддитивные функторы

Если C и D является предаддитивной категорией, то функтор FC  →  D является аддитивным , если он тоже обогащен по категории Ab . То есть, F аддитивна тогда и только тогда , учитывая любые объекты A и B в C , в функции F : Hom ( A , B ) → Hom ( F ( A ), Р ( Б )) представляет собой гомоморфизм групп . Большинство изученных функторов между предаддитивными категориями являются аддитивными.

В качестве простого примера, если кольца R и S представлены предаддитивными категориями одного объекта R и S , то гомоморфизм колец из R в S представлен аддитивным функтором из R в S , и наоборот.

Если C и D являются категориями, а D предаддитивна, то категория функторов D C также является предаддитивной, потому что естественные преобразования могут быть добавлены естественным образом. Если C также предаддитивен, то категория Add ( C , D ) аддитивных функторов и все естественные преобразования между ними также являются предаддитивными.

Последний пример приводит к генерализации модулей над кольцами: Если C является предаддитивная категория, то Mod ( C ): = Add ( С , Ab ) называется категория модулей над C . Когда C является предаддитивной категорией одного объекта, соответствующей кольцу R , это сводится к обычной категории (левых) R -модулей . Опять же, практически все концепции из теории модулей могут быть обобщены в этом контексте.

R -линейные категории

В более общем смысле, можно рассматривать категорию C, обогащенную моноидальной категорией модулей над коммутативным кольцом R , называемую R -линейной категорией . Другими словами, каждое hom-множество Hom ( A , B ) в C имеет структуру R -модуля, а композиция морфизмов R -билинейна.

При рассмотрении функторов между двумя R- линейными категориями часто ограничиваются теми, которые являются R- линейными, т.е. теми, которые индуцируют R- линейные отображения на каждом hom-множестве.

Побочные продукты

Любое конечное произведение в предаддитивной категории также должно быть копроизведением , и наоборот. Фактически, конечные произведения и копроизведения в предаддитивных категориях можно охарактеризовать следующим условием двупродукции :

Объект B является двойным произведением объектов A 1 , ..., A n тогда и только тогда, когда существуют морфизмы проекции p jB  →  A j и морфизмы с вложением i jA j  →  B , такие что ( i 1р 1 ) + ··· + ( я пр п ) тождественный морфизм B , р Jя J является тождественный морфизм из A J и р Jя к является нулевой морфизм из а к к а J , когда J и K являются различны .

Это двойное произведение часто записывается как A 1  ⊕ ··· ⊕  A n , заимствуя обозначение прямой суммы . Это связано с тем, что двойное произведение в хорошо известных предаддитивных категориях, таких как Ab, является прямой суммой. Однако, хотя бесконечные прямые суммы имеют смысл в некоторых категориях, таких как Ab , бесконечные двупроизведения не имеют смысла.

Условие двойного произведения в случае n  = 0 резко упрощается; B является нулевым биопроизведением тогда и только тогда, когда тождественный морфизм B является морфизмом нуля из B в себя, или, что то же самое, если гом-множество Hom ( B , B ) является тривиальным кольцом . Обратите внимание: поскольку нулевой бипродукт будет как конечным (нулевой продукт), так и начальным ( нулевой вторичный продукт ), он фактически будет нулевым объектом . Действительно, термин «нулевой объект» возник при изучении предаддитивных категорий, таких как Ab , где нулевой объект - это нулевая группа .

Предаддитивная категория, в которой существует каждое двойное произведение (включая нулевой объект), называется аддитивной . Дополнительные сведения о побочных продуктах, которые в основном полезны в контексте дополнительных категорий, можно найти по этой теме.

Ядра и коядра

Поскольку гом-множества в предаддитивной категории имеют нулевые морфизмы, понятие ядра и коядра имеет смысл. То есть, если F :   →  B есть морфизм в предаддитивных категориях, то ядро е является эквалайзером из е и нулевой морфизм из A в B , в то время как Коядро е является coequaliser из F и этот нулевой морфизм . В отличие от продуктов и копродуктов, ядро ​​и коядро f обычно не равны в предаддитивной категории.

Специализируясь на предаддитивных категориях абелевых групп или модулей над кольцом, это понятие ядра совпадает с обычным понятием ядра гомоморфизма, если отождествить обычное ядро K группы fA  →  B с его вложением K  →  A . Однако в общей предаддитивной категории могут существовать морфизмы без ядер и / или коядров.

Существует удобная связь между ядром и коядром и структурой абелевой группы на hom-множествах. Учитывая параллельные морфизмы f и g , уравнитель f и g является просто ядром g  -  f , если любой из них существует, и аналогичный факт верен для соуравнителей. Альтернативный термин «разностное ядро» для двоичных эквалайзеров происходит от этого факта.

Предаддитивная категория , в которой существуют все biproducts, ядро и коядро называется предварительно абелево . Дополнительные факты о ядрах и коядрах в предаддитивных категориях, которые в основном полезны в контексте преабелевых категорий, могут быть найдены по этой теме.

Особые случаи

Большинство этих частных случаев предаддитивных категорий уже упоминалось выше, но они собраны здесь для справки.

Наиболее часто изучаемые предаддитивные категории фактически являются абелевыми категориями; например, Ab - абелева категория.

Ссылки

  • Николае Попеску ; 1973; Абелевы категории с приложениями к кольцам и модулям ; Academic Press, Inc .; из печати
  • Чарльз Вейбель ; 1994; Введение в гомологические алгебры ; Cambridge Univ. Нажмите