Экспоненциальное поле - Exponential field

В математике , экспоненциальное поле является полем , которое имеет дополнительную операцию по ее элементам , которая проходит обычную идею потенцирования .

Определение

Поле - это алгебраическая структура, состоящая из набора элементов F , двух бинарных операций , сложения (+), такого что F образует абелеву группу с единицей 0 _F и умножением (·), такое что F, исключая 0 _F, образует абелеву группу при умножении с единицей 1 _F и таком, что умножение дистрибутивно по сложению, то есть для любых элементов a , b , c в F выполняется a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c ) . Если существует также функция E, которая отображает F в F , и такая, что для любых a и b в F выполняется

${\ displaystyle {\ begin {align} & E (a + b) = E (a) \ cdot E (b), \\ & E ​​(0_ {F}) = 1_ {F} \ end {align}}}$

то Р называется экспоненциальным полем, а функция Е называется экспоненциальной функция на F . Таким образом, экспоненциальная функция на поле является гомоморфизмом между аддитивной группой F и ее мультипликативной группой.

Тривиальная экспоненциальная функция

На любом поле существует тривиальная экспоненциальная функция, а именно карта, которая отправляет каждый элемент в единичный элемент поля при умножении. Таким образом, каждое поле тривиально также является экспоненциальным полем, поэтому случаи, представляющие интерес для математиков, возникают, когда экспоненциальная функция нетривиальна.

Иногда требуется, чтобы экспоненциальные поля имели нулевую характеристику, поскольку единственная экспоненциальная функция на поле с ненулевой характеристикой является тривиальной. Чтобы увидеть это первое замечание, для любого элемента x в поле с характеристикой p  > 0,

${\ Displaystyle 1 = E (0) = E (\ underbrace {x + x + \ ldots + x} _ {p {\ text {of these}}}) = E (x) E (x) \ cdots E (x ) = E (x) ^ {p}.}$

Таким образом, принимая во внимание эндоморфизм Фробениуса ,

${\ Displaystyle (E (x) -1) ^ {p} = E (x) ^ {p} -1 ^ {p} = E (x) ^ {p} -1 = 0. \,}$

Итак, E ( x ) = 1 для каждого x .

Примеры

• Поле действительных чисел R или ( R , +, ·, 0, 1), как его можно записать, чтобы подчеркнуть, что мы рассматриваем его исключительно как поле со сложением, умножением и специальными константами ноль и единица, имеет бесконечно много экспоненциальные функции. Одной из таких функций является обычная экспоненциальная функция , то есть E ( x ) = e ^x , поскольку мы имеем e ^{x + y} = e ^x e ^y и e ⁰ = 1 , как требуется. Рассмотрение упорядоченного поля R, снабженного этой функцией, дает упорядоченное вещественное экспоненциальное поле, обозначенное R _exp = ( R , +, ·, <, 0, 1, exp) .
• Любое действительное число a > 0 дает экспоненциальную функцию на R , где отображение E ( x ) = a ^x удовлетворяет требуемым свойствам.
• Аналогично действительному экспоненциальному полю существует комплексное экспоненциальное поле, C _exp = ( C , +, ·, 0, 1, exp) .
• Борис Зильбер построил экспоненциальное поле K _exp, которое, что принципиально важно, удовлетворяет эквивалентной формулировке гипотезы Шенуэля с экспоненциальной функцией поля. Предполагается, что это экспоненциальное поле на самом деле представляет собой C _exp , и доказательство этого факта, таким образом, подтвердило бы гипотезу Шануэля.

Экспоненциальные кольца

Основное множество F может не требоваться , чтобы быть полем , но вместо этого разрешено быть просто кольцо , R , и одновременно экспоненциальная функция ослабляется быть гомоморфизмом аддитивной группы в R мультипликативной группы единиц в R . Полученный объект называется экспоненциальным кольцом .

Примером экспоненциального кольца с нетривиальной экспоненциальной функцией является кольцо целых чисел Z, снабженное функцией E, которая принимает значение +1 при четных целых числах и −1 при нечетных целых числах, т. Е. Функция Эта экспоненциальная функция, и тривиальная функция , - единственные две функции на Z, которые удовлетворяют условиям. ${\ Displaystyle п \ mapsto (-1) ^ {n}.}$

Открытые проблемы

Экспоненциальные поля - это хорошо изученные объекты в теории моделей , иногда обеспечивающие связь между ними и теорией чисел, как в случае работы Зильбера по гипотезе Шануэля . Это было доказано в 1990 - х годах , что R _ехр является моделью полной , результат известен как теорема Уилки в . Этот результат в сочетании с теоремой Хованского о пфаффовых функциях доказывает, что R _exp также является o-минимальным . С другой стороны, известно, что C _exp не является полной моделью. Вопрос о разрешимости до сих пор не решен. Альфред Тарский поставил вопрос о разрешимости R _exp и, следовательно, теперь он известен как проблема экспоненциальной функции Тарского . Известно, что если истинная версия гипотезы Шануэля верна, то R _exp разрешима.

Смотрите также

• Упорядоченное экспоненциальное поле

Заметки