Теоремы об изоморфизме - Isomorphism theorems

В математике , особенно в абстрактной алгебре , теоремы об изоморфизме (также известные как теоремы Нётер об изоморфизме ) представляют собой теоремы, которые описывают отношения между частными , гомоморфизмами и подобъектами . Существуют версии теорем для групп , колец , векторных пространств , модулей , алгебр Ли и различных других алгебраических структур . В универсальной алгебре теоремы об изоморфизме могут быть обобщены на контекст алгебр и конгруэнций .

История

Теоремы об изоморфизмах были сформулированы в некоторой общности для гомоморфизмов модулей Эмми Нётер в ее статье Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern , которая была опубликована в 1927 году в Mathematische Annalen . Менее общие версии этих теорем можно найти в работе Ричарда Дедекинда и предыдущих статьях Нётер.

Три года спустя, Б. Л. ван дер Вардена опубликовал свою влиятельную Moderne алгебры первого абстрактной алгебры учебник , который взял группу - кольца - поля подходить к этому вопросу. Ван дер Варден использовал лекции Нётер по теории групп и Эмиля Артина по алгебре, а также семинар по идеалам, проведенный Артином, Вильгельмом Блашке , Отто Шрайером и самим ван дер Варденом по идеалам в качестве основных источников. Три теоремы об изоморфизме, называемые теоремой о гомоморфизме , и два закона изоморфизма в применении к группам, появляются явно.

Группы

Сначала приведем теоремы об изоморфизме групп .

Обратите внимание на номера и имена

Ниже мы представляем четыре теоремы, обозначенные A, B, C и D. Они часто нумеруются как «Первая теорема об изоморфизме», «Вторая ...» и так далее; однако единого мнения о нумерации нет. Здесь мы приводим некоторые примеры теорем об изоморфизме групп из литературы. Отметим, что у этих теорем есть аналоги для колец и модулей.

Сравнение названий теорем об изоморфизме групп

	Автор	Теорема А	Теорема B	Теорема C
Никакой "третьей" теоремы	Якобсон	Основная теорема гомоморфизмов	(вторая теорема об изоморфизме)	« часто называют первой теоремой об изоморфизме »
	ван дер Варден, Дурбин	Основная теорема гомоморфизмов	первая теорема об изоморфизме	вторая теорема об изоморфизме
	Кнапп	(без имени)	Вторая теорема об изоморфизме	Первая теорема об изоморфизме
	Гриль	Теорема гомоморфизма	Вторая теорема об изоморфизме	Первая теорема об изоморфизме
Три пронумерованные теоремы	(Другое соглашение, упомянутое в Grillet)	Первая теорема об изоморфизме	Третья теорема об изоморфизме	Вторая теорема об изоморфизме
	Ротман	Первая теорема об изоморфизме	Вторая теорема об изоморфизме	Третья теорема об изоморфизме
	Fraleigh	(без имени)	Вторая теорема об изоморфизме	Третья теорема об изоморфизме
	Даммит и Фут	Первая теорема об изоморфизме	Вторая теорема или теорема об изоморфизме Даймонда	Третья теорема об изоморфизме
Без нумерации	Milne	Теорема гомоморфизма	Теорема об изоморфизме	Теорема о соответствии
	Скотт	Теорема гомоморфизма	Теорема об изоморфизме	Теорема первокурсника

Реже включать теорему D, обычно известную как « решеточная теорема » или «теорема соответствия», в одну из теорем об изоморфизме, но когда они это делают, это последняя.

Формулировка теорем

Теорема А (группы)

Пусть G и H - группы, и пусть f :  G  →  H - гомоморфизм . Потом:

1. Ядро из F является нормальной подгруппой в G ,
2. Изображения из F является подгруппой из H , и
3. Образ F является изоморфной к фактор - группа G  / кег ( ф ).

В частности, если F является сюръективным , то Н изоморфна G  / кег ( ф ).

Теорема B (группы)

Позвольте быть группой. Позвольте быть подгруппой , и пусть быть нормальной подгруппой . Тогда имеет место следующее: ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle G}$

1. Продукт является подгруппой ,${\ displaystyle SN}$${\ displaystyle G}$
2. Пересечения является нормальной подгруппой , и${\ Displaystyle S \ cap N}$${\ displaystyle S}$
3. Фактор-группы и изоморфны.${\ Displaystyle (SN) / N}$${\ Displaystyle S / (S \ cap N)}$

Технически, это не является необходимым для быть нормальной подгруппой, пока является подгруппой нормализатора из в . В этом случае пересечение не является нормальной подгруппой группы . ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle S \ cap N}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle S}$

Эту теорему иногда называют «теоремой об изоморфизме», «теоремой алмаза» или «теоремой параллелограмма».

Применение второй теоремы об изоморфизме определяет проективные линейные группы : например, группа на комплексной проективной прямой начинается с установки , группа обратимых комплексных матриц 2 × 2, подгруппа матриц определителя 1 и нормальная подгруппа скалярных матрицы , мы имеем , где - единичная матрица, и . Тогда вторая теорема об изоморфизме утверждает, что: ${\ Displaystyle G = GL_ {2} (\ mathbb {C})}$${\ Displaystyle S = SL_ {2} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times} \! I = \ left \ {{\ bigl (} {\ begin {smallmatrix} a & 0 \\ 0 & a \ end {smallmatrix}} {\ bigr)}: a \ в \ mathbb {C} ^ {\ times} \ right \}}$${\ Displaystyle S \ cap N = \ {\ pm I \}}$${\ displaystyle I}$${\ Displaystyle SN = GL_ {2} (\ mathbb {C})}$

${\ displaystyle PGL_ {2} (\ mathbb {C}): = GL_ {2} (\ mathbb {C}) / (\ mathbb {C} ^ {\ times} \! I) \ cong SL_ {2} ( \ mathbb {C}) / \ {\ pm I \} =: PSL_ {2} (\ mathbb {C})}$

Теорема C (группы)

Позвольте быть группа, и нормальная подгруппа . потом ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle G}$

1. Если является подгруппой таких что , то имеет подгруппу, изоморфную .${\ displaystyle K}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle N \ substeq K \ substeq G}$${\ Displaystyle G / N}$${\ displaystyle K / N}$
2. Каждая подгруппа имеет вид для некоторой подгруппы из таких , что .${\ Displaystyle G / N}$${\ displaystyle K / N}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle N \ substeq K \ substeq G}$
3. Если является нормальной подгруппой, такой что , то имеет нормальную подгруппу, изоморфную .${\ displaystyle K}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle N \ substeq K \ substeq G}$${\ Displaystyle G / N}$${\ displaystyle K / N}$
4. Каждая нормальная подгруппа имеет вид , для некоторой нормальной подгруппы из таких , что .${\ Displaystyle G / N}$${\ displaystyle K / N}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle N \ substeq K \ substeq G}$
5. Если - нормальная подгруппа такой, что , то фактор-группа изоморфна .${\ displaystyle K}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle N \ substeq K \ substeq G}$${\ Displaystyle (G / N) / (K / N)}$${\ Displaystyle G / K}$

Теорема D (группы)

Теорема о соответствии (также известная как теорема о решетке) иногда называют третьей или четвертой теоремой об изоморфизме.

Цассенхауз лемма (также известный как бабочки лемма) иногда называют теоремой четвертого изоморфизма.

Обсуждение

Первую теорему об изоморфизме можно выразить на языке теории категорий , сказав, что категория групп является (нормальной эпи, моно) -факторизуемой; другими словами, нормальные эпиморфизмы и мономорфизмы образуют систему факторизации для категории. Это отражено в коммутативной диаграмме на полях, где показаны объекты и морфизмы, существование которых можно вывести из морфизма . Диаграмма показывает, что каждый морфизм в категории групп имеет ядро в теоретико-категориальном смысле; произвольный морфизм f разлагается в , где ι - мономорфизм, а π - эпиморфизм (в конормальной категории все эпиморфизмы нормальны). Это представлено на диаграмме объектом и мономорфизмом (ядра всегда являются мономорфизмами), которые завершают короткую точную последовательность, идущую от нижнего левого угла до верхнего правого угла диаграммы. Использование соглашения о точной последовательности избавляет нас от необходимости рисовать нулевые морфизмы от до и . ${\ displaystyle f: G \ rightarrow H}$${\ displaystyle \ iota \ circ \ pi}$${\ displaystyle \ ker f}$${\ displaystyle \ kappa: \ ker f \ rightarrow G}$${\ displaystyle \ ker f}$${\ displaystyle H}$${\ Displaystyle G / \ ker f}$

Если последовательность расщепляется справа (т. Е. Существует морфизм σ, который отображается в π -прообраз самой себя), то G является полупрямым произведением нормальной подгруппы и подгруппы . Если левый раскол (т.е. существует некоторая такая , что ), то оно также должно быть право раскола, и является прямым продуктом разложения G . В общем, наличие правого расщепления не означает существования левого расщепления; но в абелевой категории (такой как абелевы группы) левые и правые расщепления эквивалентны по лемме о расщеплении , и правого расщепления достаточно, чтобы произвести разложение в прямую сумму . В абелевой категории все мономорфизмы также нормальны, и диаграмма может быть расширена второй короткой точной последовательностью . ${\ Displaystyle G / \ ker f}$${\ displaystyle \ operatorname {im} \ kappa}$${\ displaystyle \ operatorname {im} \ sigma}$${\ Displaystyle \ rho: G \ rightarrow \ ker f}$${\ displaystyle \ rho \ circ \ kappa = \ operatorname {id} _ {\ ker f}}$${\ displaystyle \ operatorname {im} \ kappa \ times \ operatorname {im} \ sigma}$${\ displaystyle \ operatorname {im} \ kappa \ oplus \ operatorname {im} \ sigma}$${\ displaystyle 0 \ rightarrow G / \ ker f \ rightarrow H \ rightarrow \ operatorname {coker} f \ rightarrow 0}$

Во второй теореме изоморфизма, продукт С.Н. является присоединиться к из S и N в решетке подгрупп из G , а пересечение S  ∩  N является встречаются .

Третья теорема об изоморфизме обобщается с помощью девяти лемм на абелевы категории и более общие отображения между объектами.

Кольца

Формулировки теорем для колец аналогичны, с заменой понятия нормальной подгруппы понятием идеала .

Теорема A (кольца)

Пусть R и S - кольца, а φ :  R  →  S - гомоморфизм колец . Потом:

1. Ядро из ф является идеалом R ,
2. Изображения из ф является Подкольцо из S , и
3. Образ φ изоморфен факторкольцу R  / ker ( φ ).

В частности, если φ является сюръективны , то S изоморфна R  / кег ( ф ).

Теорема B (кольца)

Пусть R - кольцо. Пусть S подкольцо R , и пусть я идеал в R . Потом:

1. Сумма S  +  I  = { s  +  i  | s  ∈  S ,  i  ∈  I } - подкольцо в R ,
2. Пересечение S  ∩  I является идеалом S , и
3. Факторкольца ( S  +  I ) /  I и S  / ( S  ∩  I ) изоморфны.

Теорема C (кольца)

Пусть R некоторое кольцо, и я идеал R . потом

1. Если является подкольцом такого что , то является подкольцом .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle I \ substeq A \ substeq R}$${\ displaystyle A / I}$${\ displaystyle R / I}$
2. Каждое подкольцо имеет вида , для некоторых подколец из таких , что .${\ displaystyle R / I}$${\ displaystyle A / I}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle I \ substeq A \ substeq R}$
3. Если идеал такой , то идеал .${\ displaystyle J}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle I \ substeq J \ substeq R}$${\ displaystyle J / I}$${\ displaystyle R / I}$
4. Каждый идеал имеет вид для некоторого идеала из таких , что .${\ displaystyle R / I}$${\ displaystyle J / I}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle I \ substeq J \ substeq R}$
5. Если - идеал такого , что факторкольцо изоморфно .${\ displaystyle J}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle I \ substeq J \ substeq R}$${\ Displaystyle (R / I) / (J / I)}$${\ Displaystyle R / J}$

Теорема D (кольца)

Позвольте быть идеалом . Переписка является включение сохранение взаимно однозначное соответствие между множеством подкольцах из , которые содержат и множество подкольцах . Кроме того, (содержащее подкольцо ) является идеалом того и только тогда, когда является идеалом . ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A \ leftrightarrow A / I}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R / I}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A / I}$${\ displaystyle R / I}$

Модули

Утверждения теорем об изоморфизме для модулей особенно просты, поскольку из любого подмодуля можно образовать фактор-модуль . Теоремы об изоморфизме векторных пространств (модулей над полем) и абелевых групп (модулей над полем ) являются их частными случаями. Для конечномерных векторных пространств все эти теоремы следуют из теоремы ранга – нули . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

В дальнейшем, «модуль» будет означать « R - модуль» для некоторого фиксированного кольца R .

Теорема A (модули)

Пусть M и N - модули, а φ :  M  →  N - гомоморфизм модулей . Потом:

1. Ядро из ф есть подмодуль М ,
2. Изображения из ф есть подмодуль N , и
3. Образ φ изоморфен фактор-модулю M  / ker ( φ ).

В частности, если φ сюръективен, то N изоморфен M  / ker ( φ ).

Теорема B (модули)

Пусть М будет модуль, и пусть S и T подмодули М . Потом:

1. Сумма S  +  T  = { s  +  t  | s  ∈  S ,  t  ∈  T } - подмодуль M ,
2. Пересечение S  ∩  T является подмодулем в M , и
3. Фактормодули ( S  +  T ) /  T и S  / ( S  ∩  T ) изоморфны.

Теорема C (модули)

Пусть М будет модуль, Т подмодуль М .

1. Если является подмодулем такого, что , то является подмодулем .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle Т \ Substeq S \ Substeq M}$${\ displaystyle S / T}$${\ Displaystyle M / T}$
2. Каждый подмодуль имеет вид , для некоторого подмодуля из таких , что .${\ Displaystyle M / T}$${\ displaystyle S / T}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle Т \ Substeq S \ Substeq M}$
3. Если является подмодулем такого, что , то фактор-модуль изоморфен .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle Т \ Substeq S \ Substeq M}$${\ Displaystyle (M / T) / (S / T)}$${\ displaystyle M / S}$

Теорема D (модули)

Позвольте быть модуль, подмодуль . Существует взаимно однозначное соответствие между подмодулями, которые содержат, и подмодулями . Соответствие дано для всех . Это соответствие коммутирует с процессами принятия сумм и пересечений (т.е. является решеткой изоморфизма между решеткой подмодулей и решеткой подмодулей , которые содержат ). ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle M / N}$${\ Displaystyle A \ leftrightarrow A / N}$${\ Displaystyle A \ supseteq N}$${\ Displaystyle M / N}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$

Универсальная алгебра

Чтобы обобщить это на универсальную алгебру , нормальные подгруппы необходимо заменить отношениями конгруэнтности .

Конгруэнции на алгебре является отношением эквивалентности , которое образует подалгебру рассматривать как алгебры с покомпонентными операциями. Можно превратить множество классов эквивалентности в алгебру того же типа, определяя операции через представителей; это будет корректно определено, поскольку является подалгеброй в . Полученная структура - фактор-алгебра . ${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ Phi \ substeq A \ times A}$${\ Displaystyle А \ раз А}$${\ Displaystyle A / \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ Displaystyle А \ раз А}$

Теорема А (универсальная алгебра)

Позвольте быть гомоморфизм алгебры . Тогда образом является подалгеброй , соотношение задается (то есть ядро из ) является конгруенцией , а алгебры и изоморфны. (Обратите внимание, что в случае группы, тогда и только тогда , когда восстанавливается понятие ядра, используемое в теории групп в этом случае.) ${\ displaystyle f: A \ rightarrow B}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle B}$${\ Displaystyle \ Phi: е (х) = е (у)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ A / \ Phi \}$${\ displaystyle \ operatorname {im} f}$${\ Displaystyle е (х) = е (у)}$${\ Displaystyle е \ влево (ху ^ {- 1} \ вправо) = 1}$

Теорема B (универсальная алгебра)

Учитывая алгебру , подалгебру в и конгруэнтность на , пусть будет след в и совокупность классов эквивалентности , которые пересекаются . потом ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ Phi _ {B} = \ Phi \ cap (B \ times B)}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle B}$${\ Displaystyle [B] ^ {\ Phi} = \ {K \ in A / \ Phi: K \ cap B \ neq \ emptyset \}}$${\ displaystyle B}$

1. ${\ displaystyle \ Phi _ {B}}$является конгруэнцией ,${\ displaystyle B}$
2. ${\ Displaystyle \ [B] ^ {\ Phi}}$является подалгеброй , а${\ Displaystyle A / \ Phi}$
3. алгебра изоморфна алгебре .${\ displaystyle [B] ^ {\ Phi}}$${\ displaystyle B / \ Phi _ {B}}$

Теорема C (универсальная алгебра)

Позвольте быть алгебра и два отношения сравнения на таких, что . Тогда является конгруэнцией на и изоморфна . ${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ Phi, \ Psi}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ Psi \ substeq \ Phi}$${\ Displaystyle \ Phi / \ Psi = \ {([a '] _ {\ Psi}, [a' '] _ {\ Psi}) :( a', a '') \ in \ Phi \} = [ \] _ {\ Psi} \ circ \ Phi \ circ [\] _ {\ Psi} ^ {- 1}}$${\ Displaystyle A / \ Psi}$${\ Displaystyle A / \ Phi}$${\ Displaystyle (A / \ Psi) / (\ Phi / \ Psi)}$

Теорема D (универсальная алгебра)

Позвольте быть алгеброй и обозначить множество всех конгруэнций на . Набор представляет собой полную решетку, упорядоченную по включению. Если является конгруэнцией и мы обозначаем через множество всех конгруэнций, которые содержат (т.е. является главным фильтром в , более того, это подрешетка), то отображение является решеточным изоморфизмом. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ operatorname {Con} A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ operatorname {Con} A}$${\ displaystyle \ Phi \ in \ operatorname {Con} A}$${\ displaystyle \ left [\ Phi, A \ times A \ right] \ substeq \ operatorname {Con} A}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ Displaystyle \ влево [\ Фи, А \ раз А \ вправо]}$${\ displaystyle \ operatorname {Con} A}$${\ displaystyle \ alpha: \ left [\ Phi, A \ times A \ right] \ to \ operatorname {Con} (A / \ Phi), \ Psi \ mapsto \ Psi / \ Phi}$

Примечание

использованная литература

• Эмми Нётер , Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern , Mathematische Annalen 96 (1927) стр. 26–61
• Колин Макларти , "Теоретическая топология множеств Эмми Нётер: от Дедекинда до возникновения функторов". Архитектура современной математики: очерки истории и философии (под редакцией Джереми Грея и Хосе Феррейроса), Oxford University Press (2006), стр. 211–35.
• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , 1 (2-е изд.), Довер, ISBN 9780486471891
• Пол М. Кон, Универсальная алгебра , Глава II.3 с. 57 год
• Милн, Джеймс С. (2013), Теория групп , 3.13
• van der Waerden, BI (1994), Algebra , 1 (9-е изд.), Springer-Verlag
• Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра . Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-0-471-43334-7.
• Беррис, Стэнли; Санкаппанавар, HP (2012). Курс универсальной алгебры (PDF) . ISBN 978-0-9880552-0-9.
• WR Скотт (1964), Теория групп , Прентис Холл
• Джон Р. Дурбин (2009). Современная алгебра: Введение (6 -е изд.). Вайли. ISBN 978-0-470-38443-5.
• Энтони В. Кнапп (2016), Основы алгебры (цифровое второе изд.)
• Пьер Антуан Грийе (2007), Абстрактная алгебра (2-е изд.), Springer
• Джозеф Дж. Ротман (2003), Advanced Modern Algebra (2-е изд.), Prentice Hall, ISBN 0130878685