Точечно - Pointwise

В математике квалификатор поточечный используется для обозначения того, что определенное свойство определяется путем рассмотрения каждого значения некоторой функции. Важным классом поточечных концепций являются точечные операции , то есть операции, определенные для функций путем применения операций к значениям функций отдельно для каждая точка в области определения. Важные отношения также могут быть определены поточечно.

Точечные операции

Точечная сумма (верхний график, фиолетовый) и произведение (зеленый) функций sin (нижний график, синий) и ln (красный). Выделенный вертикальный слой показывает вычисление в точке x = 2π.

Формальное определение

Бинарная операция o : Y × YY на множестве Y может быть поточечно поднята до операции O : ( XY ) × ( XY ) → ( XY ) на множестве XY всех функций из X в Y следующим образом: для двух функций f 1 : XY и f 2 : XY определите функцию O ( f 1 , f 2 ): XY следующим образом:

( О ( е 1 , е 2 )) ( х ) = О ( е 1 ( х ), F 2 ( х )) для всех хХ .

Обычно o и O обозначаются одним и тем же символом. Аналогичное определение используется для унарных операций o и для операций другой арности .

Примеры

где .

См. Также поточечное произведение и скаляр .

Примером операции над функциями, которая не является поточечной, является свертка .

Свойства

Поточечные операции наследуют такие свойства, как ассоциативность , коммутативность и дистрибутивность, от соответствующих операций над областью . Если некоторая алгебраическая структура , множество всех функций на множество носителей из может быть превращены в алгебраическую структуру того же типа , аналогичным образом.

Компонентные операции

Компонентные операции обычно определяются над векторами, где векторы являются элементами множества для некоторого натурального числа и некоторого поля . Если обозначить -й компонент любого вектора как , то покомпонентное сложение равно .

На матрицах можно определять покомпонентные операции. Сложение матриц, где - покомпонентная операция, а умножение матриц - нет.

Кортеж можно рассматривать как функцию, и вектор является кортежем. Следовательно, любой вектор соответствует такой функции , что и любая покомпонентная операция над векторами является поточечной операцией над функциями, соответствующими этим векторам.

Точечные отношения

В теории порядка принято определять поточечный частичный порядок функций. С позициями A , B набор функций AB может быть упорядочен по fg тогда и только тогда, когда (∀ x ∈ A) f ( x ) ≤ g ( x ). Точечные порядки также наследуют некоторые свойства нижележащих положений. Например, если A и B - непрерывные решетки , то то же самое и множество функций AB с поточечным порядком. Используя точечный порядок функций, можно кратко определить другие важные понятия, например:

Примером бесконечного поточечного отношения является поточечная сходимость функций - последовательность функций

с участием

сходится поточечно к функции, если для каждого в

Примечания

Ссылки

Примеры теории порядка:

  • ТС Блит, Решетки и упорядоченные алгебраические структуры , Springer, 2005, ISBN  1-85233-905-5 .
  • Г. Гирц, К. Х. Хофманн, К. Кеймель, Дж. Д. Лоусон, М. Мислав, Д. С. Скотт : непрерывные решетки и области , Cambridge University Press, 2003.

Эта статья включает материал из Pointwise on PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .