Точечно - Pointwise
В математике квалификатор поточечный используется для обозначения того, что определенное свойство определяется путем рассмотрения каждого значения некоторой функции. Важным классом поточечных концепций являются точечные операции , то есть операции, определенные для функций путем применения операций к значениям функций отдельно для каждая точка в области определения. Важные отношения также могут быть определены поточечно.
Точечные операции
Формальное определение
Бинарная операция o : Y × Y → Y на множестве Y может быть поточечно поднята до операции O : ( X → Y ) × ( X → Y ) → ( X → Y ) на множестве X → Y всех функций из X в Y следующим образом: для двух функций f 1 : X → Y и f 2 : X → Y определите функцию O ( f 1 , f 2 ): X → Y следующим образом:
- ( О ( е 1 , е 2 )) ( х ) = О ( е 1 ( х ), F 2 ( х )) для всех х ∈ Х .
Обычно o и O обозначаются одним и тем же символом. Аналогичное определение используется для унарных операций o и для операций другой арности .
Примеры
где .
См. Также поточечное произведение и скаляр .
Примером операции над функциями, которая не является поточечной, является свертка .
Свойства
Поточечные операции наследуют такие свойства, как ассоциативность , коммутативность и дистрибутивность, от соответствующих операций над областью . Если некоторая алгебраическая структура , множество всех функций на множество носителей из может быть превращены в алгебраическую структуру того же типа , аналогичным образом.
Компонентные операции
Компонентные операции обычно определяются над векторами, где векторы являются элементами множества для некоторого натурального числа и некоторого поля . Если обозначить -й компонент любого вектора как , то покомпонентное сложение равно .
На матрицах можно определять покомпонентные операции. Сложение матриц, где - покомпонентная операция, а умножение матриц - нет.
Кортеж можно рассматривать как функцию, и вектор является кортежем. Следовательно, любой вектор соответствует такой функции , что и любая покомпонентная операция над векторами является поточечной операцией над функциями, соответствующими этим векторам.
Точечные отношения
В теории порядка принято определять поточечный частичный порядок функций. С позициями A , B набор функций A → B может быть упорядочен по f ≤ g тогда и только тогда, когда (∀ x ∈ A) f ( x ) ≤ g ( x ). Точечные порядки также наследуют некоторые свойства нижележащих положений. Например, если A и B - непрерывные решетки , то то же самое и множество функций A → B с поточечным порядком. Используя точечный порядок функций, можно кратко определить другие важные понятия, например:
- Оператор замыкания с на посет Р является монотонным и идемпотентными себя отображением на P (то есть оператор проектирования ) с дополнительным свойством , что идентификатор ≤ C , где идентификатором является функцией тождества .
- Аналогичным образом , оператор проектирования к называется оператором ядра тогда и только тогда , когда к ≤ ID .
Примером бесконечного поточечного отношения является поточечная сходимость функций - последовательность функций
с участием
сходится поточечно к функции, если для каждого в
Примечания
Ссылки
Примеры теории порядка:
- ТС Блит, Решетки и упорядоченные алгебраические структуры , Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5 .
- Г. Гирц, К. Х. Хофманн, К. Кеймель, Дж. Д. Лоусон, М. Мислав, Д. С. Скотт : непрерывные решетки и области , Cambridge University Press, 2003.
Эта статья включает материал из Pointwise on PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .