Злоупотребление обозначениями - Abuse of notation

В математике , злоупотребление записи происходит , когда автор использует математическую нотацию таким образом , что это не совсем формально правильно, но может помочь упростить изложение или предложить правильную интуицию ( в то время , возможно , свести к минимуму ошибки и путаницу в то же время). Однако, поскольку концепция формальной / синтаксической правильности зависит как от времени, так и от контекста, определенные обозначения в математике, которые помечены как злоупотребление в одном контексте, могут быть формально правильными в одном или нескольких других контекстах. Зависимые от времени злоупотребления нотацией могут иметь место, когда новые нотации вводятся в теорию за некоторое время до того, как теория впервые формализуется; они могут быть формально исправлены путем закрепления и / или иного улучшения теории. Злоупотребление нотацией следует противопоставить неправильному использованию нотации, которое не имеет преимуществ первого представления для представления, и его следует избегать (например, неправильное использование констант интеграции).

Связанное с этим понятие - это злоупотребление языком или злоупотребление терминологией, когда неправильно используется термин, а не обозначение. Злоупотребление языком является почти синонимом злоупотреблений, которые не носят нотационный характер. Например, хотя словесное представление правильно обозначает групповой гомоморфизм из группы G в GL ( V ) , где V - векторное пространство , принято называть V «представлением G ». Другое распространенное злоупотребление языком состоит в идентификации двух различных, но канонически изоморфных математических объектов . Другие примеры включают идентификацию постоянной функции с ее значением, идентификацию группы с помощью бинарной операции с именем ее базового набора или идентификацию в евклидовом пространстве трех измерений, снабженном декартовой системой координат . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Примеры

Структурированные математические объекты

Многие математические объекты состоят из набора , часто называемого базовым набором, снабженного некоторой дополнительной структурой, такой как математическая операция или топология . Распространенным злоупотреблением нотацией является использование одной и той же нотации для базового набора и структурированного объекта (явление, известное как подавление параметров ). Например, может обозначать набор целых чисел , группу целых чисел вместе со сложением или кольцо целых чисел со сложением и умножением . В общем, это не проблема, если объект, о котором идет речь, хорошо понят, и избежание такого злоупотребления обозначениями может даже сделать математические тексты более педантичными и более трудными для чтения. Когда такое злоупотребление нотацией может сбивать с толку, можно различить эти структуры, обозначив группу целых чисел сложением и кольцо целых чисел. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z}, +)}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z}, +, \ cdot)}$

Аналогичным образом , топологическое пространство состоит из множества $X$ (базовый набор) и топологии , которая характеризуется набором подмножеств из $X$ (в открытых множествах ). Чаще всего рассматривается только одна топология на $X$ , поэтому обычно нет проблем в том, чтобы назвать $X$ как базовым набором, так и парой, состоящей из $X$ и его топологии, даже если они являются технически различными математическими объектами. Тем не менее, в некоторых случаях может случиться так, что две разные топологии одновременно рассматриваются в одном и том же наборе. В этом случае нужно проявлять осторожность и использовать такие обозначения, как и, чтобы различать разные топологические пространства. ${\ displaystyle {\ mathcal {T}},}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {T}})}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {T}} ')}$

Обозначение функции

Во многих учебниках можно встретить такие предложения, как «Пусть $f (x)$ будет функцией ...». Это злоупотребление обозначениями, так как имя функции - $f$ , а $f (x)$ обычно обозначает значение функции $f$ для элемента $x$ ее домена. Правильная фраза будет: «Пусть $f$ будет функцией переменной $x$ ...» или «Пусть $x \mapsto f (x)$ будет функцией ...». Это злоупотребление обозначениями широко используется, поскольку упрощает формулировку, и систематическое использование правильных обозначений быстро становится педантичным.

Подобное злоупотребление обозначениями происходит в таких предложениях, как «Давайте рассмотрим функцию $x 2 + x + 1$ ...», когда на самом деле $x 2 + x + 1$ не является функцией. Функция - это операция, которая связывает $x 2 + x + 1$ с $x$ , часто обозначаемую как $x \mapsto x 2 + x + 1$ . Тем не менее, это злоупотребление обозначениями широко используется, так как помогает избежать педантизма, не вводя в заблуждение.

Равенство против изоморфизма

Многие математические структуры определяются через характеристическое свойство (часто универсальное свойство ). Как только это желаемое свойство определено, могут быть разные способы построения структуры, и соответствующие результаты формально являются разными объектами, но имеют точно такие же свойства (т. Е. Изоморфны ). Поскольку невозможно различить эти изоморфные объекты по их свойствам, принято считать их равными, даже если это формально неверно.

Одним из примеров этого является декартово произведение , которое часто называют ассоциативным:

{\ Displaystyle (Е \ раз F) \ раз G = E \ раз (F \ раз G) = E \ раз F \ раз G}

.

Но это, строго говоря, неверно: если , и , тождество подразумевало бы, что и , и так ничего не значило бы. Однако эти равенства можно узаконить и сделать строгими в теории категорий, используя идею естественного изоморфизма . ${\ displaystyle x \ in E}$ ${\ displaystyle y \ in F}$ ${\ displaystyle z \ in G}$ ${\ Displaystyle ((х, у), г) = (х, (у, z))}$ ${\ Displaystyle (х, у) = х}$ ${\ Displaystyle Z = (Y, Z)}$ ${\ Displaystyle ((х, у), г) = (х, у, г)}$

Другой пример подобных злоупотреблений встречается в таких утверждениях, как «существуют две неабелевы группы порядка 8», что более строго означает, что «существует два класса изоморфизма неабелевых групп порядка 8».

Классы эквивалентности

Обращаясь к классу эквивалентности в качестве отношения эквивалентности с х вместо [ х ] представляет собой злоупотребление обозначений. Формально, если множество Х является распределяли по отношению эквивалентности ~, то для каждого х ∈ X , класс эквивалентности { у ∈ X | y ~ x } обозначается [ x ]. Но на практике, если остальная часть обсуждения сосредоточена на классах эквивалентности, а не на отдельных элементах базового набора, то квадратные скобки в обсуждении принято опускать.

Например, в модульных арифметиках , А конечная группа из порядка п может быть образована путем разбиения целых чисел с помощью отношения эквивалентности « х \ у , если и только если х ≡ у ( по модулю п )». Тогда элементами этой группы будут [0], [1], ..., [ n - 1], но на практике они обычно обозначаются просто как 0, 1, ..., n - 1.

Другой пример - пространство (классов) измеримых функций над пространством с мерой или классы функций, интегрируемых по Лебегу , где отношение эквивалентности - это равенство « почти всюду ».

Субъективность

Термины «злоупотребление языком» и «злоупотребление обозначениями» зависят от контекста. Запись « $f : A \to B$ » для частичной функции из $A$ в $B$ почти всегда является злоупотреблением обозначениями, но не в теоретико-категориальном контексте, где $f$ можно рассматривать как морфизм в категории множеств и частичных функций.

Languages

In other projects