Унитарный оператор - Unitary operator

В функциональном анализе , А унитарный оператор является сюръективным ограниченным оператором на гильбертовом пространстве , сохраняющее скалярное произведение . Унитарные операторы обычно берутся как действующие на гильбертовом пространстве, но то же самое понятие служит для определения понятия изоморфизма между гильбертовыми пространствами.

Унитарный элемент является обобщением унитарного оператора. В унитальной алгебре элемент U называется унитарным элементом, если U * U = UU * = I , где I - единичный элемент.

Определение

Определение 1. унитарный оператор является ограниченным линейный оператор U  : Н → Н в гильбертовом пространстве H , удовлетворяющее условию U * U = UU * = I , где U * является сопряженным из U и I  : Н → Н является идентичность оператор.

Более слабое условие U * U = I определяет изометрию . Другое условие, UU * = I , определяет коизометрию . Таким образом, унитарный оператор - это ограниченный линейный оператор, который одновременно является изометрией и коизометрией или, что то же самое, сюръективной изометрией.

Эквивалентное определение следующее:

Определение 2. унитарный оператор является ограниченным линейный оператор U  : Н → Н в гильбертовом пространстве H , для которых справедливы следующие:

• U является сюръективны , и
• U сохраняет скалярное произведение в гильбертовом пространстве H . Другими словами, для всех векторов x и y в H мы имеем:

  ${\ displaystyle \ langle Ux, Uy \ rangle _ {H} = \ langle x, y \ rangle _ {H}.}$

Понятие изоморфизма в категории гильбертовых пространств фиксируется, если домен и диапазон могут различаться в этом определении. Изометрии сохраняют последовательности Коши , поэтому свойство полноты гильбертовых пространств сохраняется.

Следующее, казалось бы, более слабое определение также эквивалентно:

Определение 3. унитарный оператор является ограниченным линейный оператор U  : Н → Н в гильбертовом пространстве H , для которых справедливы следующие:

• диапазон U является плотным в H , и
• U сохраняет скалярное произведение гильбертова пространства, Н . Другими словами, для всех векторов x и y в H мы имеем:

  ${\ displaystyle \ langle Ux, Uy \ rangle _ {H} = \ langle x, y \ rangle _ {H}.}$

Чтобы увидеть, что определения 1 и 3 эквивалентны, обратите внимание, что U, сохраняющее скалярное произведение, означает, что U является изометрией (таким образом, ограниченным линейным оператором ). Тот факт, что U имеет плотный диапазон значений, гарантирует, что он имеет ограниченный обратный U ⁻¹ . Ясно, что U ⁻¹ = U * .

Таким образом, унитарные операторы - это просто автоморфизмы гильбертовых пространств, т. Е. Они сохраняют структуру (в данном случае структуру линейного пространства, скалярное произведение и, следовательно, топологию ) пространства, в котором они действуют. Группа всех унитарных операторов из заданного пространства Гильберта H к себе иногда называют Гильберта группа из H , обозначается Hilb ( H ) или U ( H ) .

Примеры

• Функция тождества тривиально унитарный оператор.
• Повороты в R ² являются простейшим нетривиальным примером унитарных операторов. Вращения не изменяют длину вектора или угол между двумя векторами. Этот пример можно расширить до R ³ .
• На векторном пространстве С из комплексных чисел , умножения на числах абсолютного значения 1 , то есть число вида е ^iθ для thetas ; ∈ R , является унитарным оператором. θ называется фазой, а это умножение называется умножением на фазу. Обратите внимание, что значение θ по модулю 2 π не влияет на результат умножения, поэтому независимые унитарные операторы на C параметризуются окружностью. Соответствующая группа, представляющая собой круг, называется U (1) .
• В более общем смысле, унитарные матрицы - это в точности унитарные операторы в конечномерных гильбертовых пространствах , поэтому понятие унитарного оператора является обобщением понятия унитарной матрицы. Ортогональные матрицы - это частный случай унитарных матриц, в которых все элементы действительны. Это унитарные операторы на R ⁿ .
• Двусторонний сдвиг на пространстве последовательностей л ² индексируются с помощью целых чисел является унитарным. В общем, любой оператор в гильбертовом пространстве, который действует путем перестановки ортонормированного базиса, является унитарным. В конечномерном случае такими операторами являются матрицы перестановок .
• Односторонний сдвиг (сдвиг вправо) является изометрией; его сопряженная (сдвиг влево) - коизометрия.
• Оператор Фурье - это унитарный оператор, то есть оператор, выполняющий преобразование Фурье (с соответствующей нормализацией). Это следует из теоремы Парсеваля .
• Унитарные операторы используются в унитарных представлениях .
• Квантовые логические вентили - это унитарные операторы. Не все врата эрмитские .

Линейность

Требование линейности в определении унитарного оператора можно отбросить без изменения смысла, потому что оно может быть выведено из линейности и положительной определенности скалярного произведения :

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ | \ лямбда U (х) -U (\ лямбда х) \ | ^ {2} & = \ лямбда \ лямбда U (х) -U (\ лямбда х), \ лямбда U (x) -U (\ lambda x) \ rangle \\ & = \ | \ lambda U (x) \ | ^ {2} + \ | U (\ lambda x) \ | ^ {2} - \ langle U (\ lambda x), \ lambda U (x) \ rangle - \ langle \ lambda U (x), U (\ lambda x) \ rangle \\ & = | \ lambda | ^ {2} \ | U (x) \ | ^ {2} + \ | U (\ lambda x) \ | ^ {2} - {\ overline {\ lambda}} \ langle U (\ lambda x), U (x) \ rangle - \ lambda \ langle U (x), U (\ lambda x) \ rangle \\ & = | \ lambda | ^ {2} \ | x \ | ^ {2} + \ | \ lambda x \ | ^ {2} - {\ overline {\ lambda}} \ langle \ lambda x, x \ rangle - \ lambda \ langle x, \ lambda x \ rangle \\ & = 0 \ end {align}}}$

Аналогично вы получаете

${\ Displaystyle \ | U (х + y) - (Ux + Uy) \ | = 0.}$

Характеристики

• Спектр унитарного оператора U лежит на единичной окружности. То есть для любого комплексного числа λ в спектре | λ | = 1 . Это можно увидеть как следствие спектральной теоремы для нормальных операторов . По теореме U унитарно эквивалентно умножению на измеримую по Борелю f на L ² ( μ ) для некоторого пространства с конечной мерой ( X , μ ) . Теперь UU * = I подразумевает | f ( x ) | ² = 1 , μ -ae. Это показывает, что существенная область значений f и , следовательно, спектр U лежит на единичной окружности.
• Линейное отображение унитарно, если оно сюръективно и изометрично. (Используйте идентификатор поляризации, чтобы показать только часть if.)

Смотрите также

• Антиунитарный
• Квантовый логический вентиль
• Унитарная матрица
• Унитарное преобразование

Сноски

Рекомендации

• Конвей, Дж. Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике. 96 . Springer Verlag . ISBN   0-387-97245-5 .

• Доран, Роберт С .; Белфи (1986). Характеризации C * -алгебр: теоремы Гельфанда-Наймарка . Нью-Йорк: Марсель Деккер. ISBN   0-8247-7569-4 .

• Халмос, Пол (1982). Проблемная книга гильбертова пространства . Тексты для выпускников по математике. 19 (2-е изд.). Springer Verlag. ISBN   978-0387906850 .

• Ланг, Серж (1972). Дифференциальные многообразия . Ридинг, Массачусетс - Лондон - Дон Миллс, Онтарио: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN   978-0387961132 .