Полная производная - Total derivative

В математике , то полная производная от функции $F$ в точке является лучшим линейным приближением вблизи этой точки функции относительно своих аргументов. В отличие от частных производных , полная производная аппроксимирует функцию по всем ее аргументам, а не только по одному. Во многих ситуациях это то же самое, что рассматривать все частные производные одновременно. Термин «полная производная» в основном используется, когда $f$ является функцией нескольких переменных, потому что, когда $f$ является функцией одной переменной, полная производная такая же, как обычная производная функции.

Полная производная как линейное отображение

Позвольте быть открытым подмножеством . Тогда функция называется ( вполне ) дифференцируемой в точке, если существует линейное преобразование такое, что ${\ Displaystyle U \ substeq \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle a \ in U}$ ${\ displaystyle df_ {a}: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} {\ frac {\ | f (x) -f (a) -df_ {a} (xa) \ |} {\ | xa \ |}} = 0.}

Линейное отображение называется ( общее ) производным или ( общее ) дифференциальными по крайней . Другие обозначения для полной производной включают и . Функция ( полностью ) дифференцируема, если ее полная производная существует в каждой точке ее области определения. ${\ displaystyle df_ {a}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle D_ {a} f}$ ${\ Displaystyle Df (а)}$

Концептуально определение полной производной выражает идею, которая является наилучшим линейным приближением к точке . Это можно сделать точным путем количественной оценки ошибки линейного приближения, определяемой с помощью . Для этого напишите ${\ displaystyle df_ {a}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle df_ {a}}$

{\ Displaystyle е (а + ч) = е (а) + df_ {а} (ч) + \ varepsilon (ч),}

где равна ошибке аппроксимации. Для того, чтобы сказать , что производная в это равносильно заявлению ${\ Displaystyle \ varepsilon (ч)}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle df_ {a}}$

{\ Displaystyle \ varepsilon (ч) = о (\ lVert ч \ rVert),}

где - это небольшое обозначение и указывает, что оно намного меньше, чем as . Полная производная - это единственное линейное преобразование, для которого член ошибки настолько мал, и в этом смысле оно является наилучшим линейным приближением к . ${\ displaystyle o}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon (ч)}$ ${\ displaystyle \ lVert h \ rVert}$ ${\ displaystyle h \ to 0}$ ${\ displaystyle df_ {a}}$ ${\ displaystyle f}$

Функция дифференцируема тогда и только тогда, когда каждый из ее компонентов дифференцируем, поэтому при изучении полных производных часто можно работать с одной координатой за раз в кодобласти. Однако то же самое нельзя сказать о координатах в домене. Верно, что если дифференцируема в , то каждая частная производная существует в . Обратное неверно: может случиться, что все частные производные at существуют, но не дифференцируемы в . Это означает, что функция очень "грубая" до такой степени, что ее поведение не может быть адекватно описано ее поведением в координатных направлениях. Когда не так грубо, этого не может быть. Точнее, если все частные производные at существуют и непрерывны в окрестности , то дифференцируема в . Когда это происходит, то, кроме того, полная производная от представляет собой линейное преобразование, соответствующее матрице Якоби частных производных в этой точке. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f_ {i} \ двоеточие U \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle \ partial f / \ partial x_ {i}}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle f}$

Полная производная как дифференциальная форма

Когда рассматриваемая функция является вещественной, полная производная может быть преобразована с использованием дифференциальных форм . Например, предположим, что это дифференцируемая функция переменных . Полная производная at может быть записана через ее матрицу Якоби, которая в данном случае является матрицей-строкой: ${\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle a}$

{\ displaystyle Df_ {a} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}} (a) & \ cdots & {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {n}}} (а) \ end {bmatrix}}.}

Из свойства линейной аппроксимации полной производной следует, что если

{\ displaystyle \ Delta x = {\ begin {bmatrix} \ Delta x_ {1} & \ cdots & \ Delta x_ {n} \ end {bmatrix}} ^ {\ mathsf {T}}}

- небольшой вектор (где означает транспонирование, так что этот вектор является вектором-столбцом), то ${\ displaystyle {\ mathsf {T}}}$

{\ Displaystyle f (a + \ Delta x) -f (a) \ приблизительно Df_ {a} \ cdot \ Delta x = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a) \ cdot \ Delta x_ {i}.}

Эвристически это предполагает, что если есть бесконечно малые приращения в направлениях координат, то ${\ displaystyle dx_ {1}, \ ldots, dx_ {n}}$

{\ displaystyle df_ {a} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a) \ cdot dx_ {i}.}

Фактически, понятие бесконечно малого, которое здесь является чисто символическим, может быть дополнено обширной математической структурой. Методы, такие как теория дифференциальных форм , эффективно давать аналитические и алгебраические описания объектов , как бесконечно малых приращений . Например, он может быть вписан как линейный функционал в векторное пространство . Оценка вектора в измеряет, сколько точек в направлении координаты th. Полная производная представляет собой линейную комбинацию линейных функционалов и, следовательно, сама является линейным функционалом. Оценка измеряет, сколько точек в направлении, определяемом at , и это направление является градиентом . Эта точка зрения делает полную производную примером внешней производной . ${\ displaystyle dx_ {i}}$ ${\ displaystyle dx_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle dx_ {i}}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle df_ {a}}$ ${\ displaystyle df_ {a} (h)}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle a}$

Предположим теперь, что это вектор-функция, то есть . В этом случае компонента из являются вещественными функциями, поэтому они связаны дифференциальными форм . Полная производная объединяет эти формы в один объект и, следовательно, является экземпляром векторной дифференциальной формы . ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle f_ {i}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle df_ {i}}$ ${\ displaystyle df}$

Цепное правило для полных производных

Цепное правило имеет особенно элегантную формулировку в терминах полных производных. В нем говорится, что для двух функций и полная производная составной функции при удовлетворяет ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle g \ circ f}$ ${\ displaystyle a}$

{\ displaystyle d (g \ circ f) _ {a} = dg_ {f (a)} \ cdot df_ {a}.}

Если полные производные от и отождествляются с их матрицами Якоби, то композиция в правой части является простым умножением матриц. Это чрезвычайно полезно в приложениях, поскольку позволяет учитывать по существу произвольные зависимости между аргументами составной функции. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g}$

Пример: дифференциация с прямыми зависимостями

Предположим, что f является функцией двух переменных, x и y . Если эти две переменные независимы, так что область определения f есть , то поведение f можно понять в терминах ее частных производных по направлениям x и y . Однако в некоторых ситуациях x и y могут зависеть. Например, может случиться так, что f ограничивается кривой . В этом случае нас действительно интересует поведение составной функции . Частная производная f по x не дает истинной скорости изменения f относительно изменения x, потому что изменение x обязательно изменяет y . Однако цепное правило для полной производной учитывает такие зависимости. Напишите . Тогда цепное правило гласит ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle у = у (х)}$ ${\ Displaystyle е (х, у (х))}$ ${\ Displaystyle \ гамма (х) = (х, у (х))}$

{\ displaystyle d (f \ circ \ gamma) _ {x_ {0}} = df _ {(x_ {0}, y (x_ {0}))} \ cdot d \ gamma _ {x_ {0}}.}

Выражая полную производную с помощью якобианских матриц, получаем:

{\ displaystyle {\ frac {df (x, y (x))} {dx}} (x_ {0}) = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x_ {0}, y ( x_ {0})) \ cdot {\ frac {\ partial x} {\ partial x}} (x_ {0}) + {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} (x_ {0}, y (x_ {0})) \ cdot {\ frac {\ partial y} {\ partial x}} (x_ {0}).}

Подавляя оценку в для удобочитаемости, мы также можем записать это как ${\ displaystyle x_ {0}}$

{\ displaystyle {\ frac {df (x, y (x))} {dx}} = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} {\ frac {\ partial x} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} {\ frac {\ partial y} {\ partial x}}.}

Это дает простую формулу для производной от через частные производные от и производной от . ${\ Displaystyle е (х, у (х))}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle у (х)}$

Например, предположим

{\ displaystyle f (x, y) = xy.}

Скорость изменения f по x обычно является частной производной f по x ; в таком случае,

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} = y.}

Однако, если y зависит от x , частная производная не дает истинной скорости изменения f при изменении x, поскольку частная производная предполагает, что y фиксирован. Предположим, мы ограничены линией

{\ displaystyle y = x.}

Затем

{\ Displaystyle е (х, у) = е (х, х) = х ^ {2},}

а полная производная f по x равна

{\ displaystyle {\ frac {df} {dx}} = 2x,}

которая, как мы видим, не равна частной производной . Однако вместо немедленной замены y на x мы также можем использовать цепное правило, как указано выше: ${\ displaystyle \ partial f / \ partial x}$

{\ displaystyle {\ frac {df} {dx}} = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} {\ frac {dy} { dx}} = y + x \ cdot 1 = x + y = 2x.}

Пример: дифференциация с косвенными зависимостями

Хотя часто можно выполнять замены для устранения косвенных зависимостей, правило цепочки обеспечивает более эффективный и общий метод. Предположим , это функция времени и переменных, которые сами зависят от времени. Тогда производная по времени равна ${\ Displaystyle L (т, х_ {1}, \ точки, х_ {п})}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ ${\ displaystyle L}$

{\ displaystyle {\ frac {dL} {dt}} = {\ frac {d} {dt}} L {\ bigl (} t, x_ {1} (t), \ ldots, x_ {n} (t) {\ bigr)}.}

Цепное правило выражает эту производную через частные производные функций и производные по времени : ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$

{\ displaystyle {\ frac {dL} {dt}} = {\ frac {\ partial L} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial L} { \ partial x_ {i}}} {\ frac {dx_ {i}} {dt}} = {\ biggl (} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {dx_ {i}} {dt}} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} {\ biggr)} (L).}

Это выражение часто используется в физике для калибровочного преобразования в лагранжиана , как два лагранжианами , которые отличаются только от общей производной по времени в зависимости от времени и обобщенных координат приводят к тем же уравнениям движения. Интересный пример касается разрешения причинности в теории симметрии времени Уиллера – Фейнмана . Оператор в скобках (в последнем выражении выше) также называется оператором полной производной (по ). ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle t}$

Например, полная производная от равна ${\ Displaystyle е (х (т), у (т))}$

{\ displaystyle {\ frac {df} {dt}} = {\ partial f \ over \ partial x} {dx \ over dt} + {\ partial f \ over \ partial y} {dy \ over dt}.}

Здесь нет термина, поскольку он не зависит напрямую от независимой переменной . ${\ displaystyle \ partial f / \ partial t}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle t}$

Полное дифференциальное уравнение

Общее дифференциальное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение , выраженные в терминах полных производных. Поскольку внешняя производная не содержит координат, в том смысле, что это может иметь технический смысл, такие уравнения являются внутренними и геометрическими .

Приложение к системам уравнений

В экономике общая производная обычно возникает в контексте системы уравнений. Например, простая система спроса и предложения может определять количество q продукта, требуемого как функцию D от его цены p и дохода потребителей I , последний является экзогенной переменной , и может определять количество, поставляемое производителями, как функцию S его цены и две внешние переменные стоимости ресурсов r и w . Полученная система уравнений

{\ displaystyle q = D (p, I),}

{\ Displaystyle д = S (п, г, ш),}

определяет рыночные равновесные значения переменных p и q . Полная производная от р по отношению к г , к примеру, дает знак и величину реакции рыночной цены к экзогенной переменной г . В указанной системе существует всего шесть возможных полных производных, также известных в этом контексте как сравнительные статические производные : $dp$ $/$ $dr$ , $dp$ $/$ $dw$ , $dp$ $/$ $dI$ , $dq$ $/$ $dr$ , $dq$ $/$ $dw$ и $dq$ $/$ $dI$ . Полные производные находятся путем полного дифференцирования системы уравнений, деления, скажем, на $dr$ , обработки $dq$ $/$ $dr$ и $dp$ $/$ $dr$ как неизвестных, установления $dI$ $=$ $dw$ $= 0$ и одновременного решения двух полностью дифференцированных уравнений, обычно следующим образом: используя правило Крамера . ${\ displaystyle dp / dr}$

Смотрите также

Производная по направлению
Градиент # Полная производная
Производная Фреше - обобщение полной производной

использованная литература

А.Д. Полянин и В.Ф. Зайцев, Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е издание) , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
Из общей производной thesaurus.maths.org

Languages

In other projects