Производная Гато - Gateaux derivative

В математике , то дифференциальное Гато или производная Гато является обобщением понятия производной по направлению в дифференциальном исчислении . Названный в честь Рене Гато , французского математика, умершего молодым во время Первой мировой войны , он определен для функций между локально выпуклыми топологическими векторными пространствами, такими как пространства Банаха . Подобно производной Фреше в банаховом пространстве, дифференциал Гато часто используется для формализации функциональной производной, обычно используемой в вариационном исчислении и физике .

В отличие от других форм производных, дифференциал Гато функции может быть нелинейным . Однако часто определение дифференциала Гато также требует, чтобы это было непрерывное линейное преобразование . Некоторые авторы, такие как Тихомиров (2001) , проводят дополнительное различие между дифференциалом Гато (который может быть нелинейным) и производной Гато (которую они считают линейной). В большинстве приложений непрерывная линейность следует из некоторых более примитивных условий, которые естественны для конкретной ситуации, например, наложение комплексной дифференцируемости в контексте бесконечномерной голоморфности или непрерывной дифференцируемости в нелинейном анализе.

Определение

Предположим, что и являются локально выпуклыми топологическими векторными пространствами (например, банаховыми пространствами ), открыто, и . Дифференциал Гато по крайней в направлении , определяется как ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle U \ подмножество X}$${\ displaystyle F: X \ to Y}$${\ Displaystyle dF (и; \ psi)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle u \ in U}$${\ displaystyle \ psi \ in X}$

${\ displaystyle dF (u; \ psi) = \ lim _ {\ tau \ rightarrow 0} {\ frac {F (u + \ tau \ psi) -F (u)} {\ tau}} = \ left. {\ frac {d} {d \ tau}} F (u + \ tau \ psi) \ right | _ {\ tau = 0}}$

( 1 )

Если предел существует для всех , то говорят, что Гато дифференцируем в точке . ${\ displaystyle \ psi \ in X}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle u}$

Предел, фигурирующий в ( 1 ), берется относительно топологии . Если и - вещественные топологические векторные пространства, то предел считается действительным . С другой стороны, если и являются комплексными топологическими векторными пространствами, то указанный выше предел обычно берется как в комплексной плоскости, как в определении комплексной дифференцируемости . В некоторых случаях слабый предел берется вместо сильного предела, что приводит к понятию слабой производной Гато. ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ tau \ to 0}$

Линейность и непрерывность

В каждой точке дифференциал Гато определяет функцию ${\ displaystyle u \ in U}$

${\ displaystyle dF (u; \ cdot): X \ rightarrow Y.}$

Эта функция является однородной в том смысле , что для всех скаляров , ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle dF (u; \ alpha \ psi) = \ alpha dF (u; \ psi). \,}$

Однако эта функция не обязательно должна быть аддитивной, так что дифференциал Гато может не быть линейным, в отличие от производной Фреше . Даже если он линейный, он может не зависеть непрерывно от того, если и бесконечномерны. Кроме того, для дифференциалов Гато , которые являются линейными и непрерывными в , существует несколько неэквивалентных способов формулируют их непрерывную дифференцируемость . ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ psi}$

Например, рассмотрим действительную функцию двух вещественных переменных, определенную формулой ${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle F (x, y) = {\ begin {cases} {\ dfrac {x ^ {3}} {x ^ {2} + y ^ {2}}} & {\ text {if}} (x , y) \ neq (0,0), \\ 0 & {\ text {if}} (x, y) = (0,0). \ end {case}}}$

Это дифференцируемая по Гато в точке (0, 0) , причем ее дифференциал

${\ Displaystyle dF (0,0; a, b) = {\ begin {case} {\ dfrac {F (\ tau a, \ tau b) -0} {\ tau}} & (a, b) \ not = (0,0), \\ 0 & (a, b) = (0,0) \ end {cases}} = {\ begin {cases} {\ dfrac {a ^ {3}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} & (a, b) \ not = (0,0), \\ 0 & (a, b) = (0,0). \ end {cases}}}$

Однако это непрерывно, но не линейно по аргументам . В бесконечных измерениях любой разрывный линейный функционал на дифференцируем по Гато, но его дифференциал Гато в точке линейен, но не непрерывен. ${\ Displaystyle (а, б)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle 0}$

Связь с производной Фреше

Если дифференцируема по Фреше, то она также дифференцируема по Гато, и ее производные по Фреше и Гато согласуются. Обратное явно неверно, поскольку производная Гато может не быть линейной или непрерывной. Фактически, производная Гато может быть линейной и непрерывной, но производная Фреше может не существовать. ${\ displaystyle F}$

Тем не менее, для функций из комплексного банахова пространства в другое комплексное банахово пространство производная Гато (где предел берется по комплексному, стремящемуся к нулю, как в определении комплексной дифференцируемости ) автоматически линейна, что является теоремой Цорна (1945) . Кроме того, если (комплексный) Гато дифференцируем в каждом с производной ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle u \ in U}$

${\ Displaystyle DF (u): \ psi \ mapsto dF (u; \ psi)}$

то дифференцируем по Фреше с производной Фреше ( Zorn 1946 ). Это аналогично результату базового комплексного анализа о том, что функция является аналитической, если она комплексно дифференцируема в открытом множестве, и является фундаментальным результатом в изучении бесконечномерной голоморфности . ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle DF}$

Непрерывная дифференцируемость

Непрерывную дифференцируемость по Гато можно определить двумя неэквивалентными способами. Предположим, что он дифференцируем по Гато в каждой точке открытого множества . Одно понятие непрерывной дифференцируемости в требует, чтобы отображение на пространстве произведения${\ displaystyle F: U \ to Y}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle dF: U \ times X \ rightarrow Y \,}$

быть непрерывным . Не нужно предполагать линейность: если и являются пространствами Фреше, то автоматически ограничены и линейны для всех ( Гамильтон, 1982 ). ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle dF (и; \ cdot)}$${\ displaystyle u}$

Более сильное понятие непрерывной дифференцируемости требует, чтобы

${\ Displaystyle и \ mapsto DF (и) \,}$

быть непрерывным отображением

${\ Displaystyle U \ к L (X, Y) \,}$

из в пространство непрерывных линейных функций из в . Обратите внимание, что это уже предполагает линейность . ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle DF (u)}$

С точки зрения технического удобства, это последнее понятие непрерывной дифференцируемости типично (но не универсально), когда пространства и являются банаховыми, поскольку также являются банаховыми, и тогда можно использовать стандартные результаты функционального анализа. Первое является более общим определением в областях нелинейного анализа, где задействованные функциональные пространства не обязательно являются банаховыми пространствами. Например, дифференцирование в пространствах Фреше имеет приложения, такие как теорема Нэша – Мозера об обратной функции, в которой интересующие функциональные пространства часто состоят из гладких функций на многообразии . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle L (X, Y)}$

Высшие производные

В то время как производные Фреше более высокого порядка естественным образом определяются как полилинейные функции путем итерации, с использованием изоморфизмов , производная Гато более высокого порядка не может быть определена таким образом. Вместо этого производная Гато-го порядка функции по направлению определяется выражением ${\ Displaystyle L ^ {n} (X, Y) = L (X, L ^ {n-1} (X, Y))}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle F: U \ подмножество от X \ до Y}$${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle d ^ {n} F (u; h) = \ left. {\ frac {d ^ {n}} {d \ tau ^ {n}}} F (u + \ tau h) \ right | _ { \ tau = 0}.}$

( 2 )

Это не полилинейная функция, а однородная функция степени в . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle h}$

Есть еще один кандидат на определение производной высшего порядка - функция

${\ Displaystyle D ^ {2} F (u) \ {h, k \} = \ lim _ {\ tau \ to 0} {\ frac {DF (u + \ tau k) h-DF (u) h} { \ tau}} = \ left. {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ tau \, \ partial \ sigma}} F (u + \ sigma h + \ tau k) \ right | _ {\ tau = \ sigma = 0}}$

( 3 )

что естественно возникает в исчислении вариаций как вторая вариация из , по крайней мере , в частном случае , когда есть скалярный. Однако он может вообще не иметь каких-либо разумных свойств, кроме того, что он по отдельности однороден по и . Желательно иметь достаточные условия для обеспечения того, что является симметричной билинейной функцией и , и что она совпадает с поляризацией из . ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle D ^ {2} F (и) \ {ч, к \}}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle d ^ {n} F}$

Например, выполняется следующее достаточное условие ( Гамильтон, 1982 ). Предположим, что это в том смысле, что отображение ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle C ^ {1}}$

${\ displaystyle DF: U \ times X \ to Y}$

непрерывна в топологии произведения, и, кроме того, вторая производная, определяемая формулой ( 3 ), также непрерывна в том смысле, что

${\ displaystyle D ^ {2} F: U \ times X \ times X \ to Y}$

непрерывно. Тогда билинейно и симметрично по и . В силу билинейности выполняется поляризационное тождество ${\ Displaystyle D ^ {2} F (и) \ {ч, к \}}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle D ^ {2} F (u) \ {h, k \} = {\ frac {1} {2}} d ^ {2} F (u; h + k) -d ^ {2} F (u; h) -d ^ {2} F (u; k)}$

связывая производную второго порядка с дифференциалом . Аналогичные выводы справедливы и для производных более высокого порядка. ${\ displaystyle D ^ {2} F (u)}$${\ displaystyle d ^ {2} F (и ;-)}$

Характеристики

Версия основной теоремы исчисления верна для производной Гато от , если предполагается, что она достаточно непрерывно дифференцируема. Конкретно: ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$

• Предположим, что это в том смысле, что производная Гато является непрерывной функцией . Тогда для любого и ,${\ displaystyle F: X \ to Y}$${\ displaystyle C ^ {1}}$${\ displaystyle dF: U \ times X \ to Y}$${\ displaystyle u \ in U}$${\ displaystyle h \ in X}$

${\ Displaystyle F (u + h) -F (u) = \ int _ {0} ^ {1} dF (u + th; h) \, dt}$

где интеграл - это интеграл Гельфанда – Петтиса (слабый интеграл) ( Вайнберг (1964) ).

Из этого вытекают многие другие известные свойства производной, такие как полилинейность и коммутативность производных высшего порядка. Другие свойства, а также следствия основной теоремы, включают:

• ( Цепное правило )

${\ Displaystyle d (G \ circ F) (u; x) = dG (F (u); dF (u; x))}$

для всех и . (Обратите внимание, что, как и в случае с простыми частными производными , производная Гато не удовлетворяет цепному правилу, если производной разрешено быть разрывной.)${\ displaystyle u \ in U}$${\ displaystyle x \ in X}$

• ( Теорема Тейлора с остатком )

Предположим, что отрезок прямой между и полностью лежит внутри . Если это то ${\ displaystyle u \ in U}$${\ displaystyle u + h}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle C ^ {k}}$

${\ Displaystyle F (u + h) = F (u) + dF (u; h) + {\ frac {1} {2!}} d ^ {2} F (u; h) + \ dots + {\ гидроразрыв {1} {(k-1)!}} d ^ {k-1} F (u; h) + R_ {k}}$

где остаточный член определяется выражением

${\ displaystyle R_ {k} (u; h) = {\ frac {1} {(k-1)!}} \ int _ {0} ^ {1} (1-t) ^ {k-1} d ^ {k} F (u + th; h) \, dt}$

Пример

Пусть будет гильбертово пространство из квадратично интегрируемых функций на измеримого по Лебегу множества в евклидовом пространстве . Функционал ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

${\ Displaystyle E: X \ rightarrow \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle Е (и) = \ int _ {\ Omega} F (и (х)) \, dx}$

где - вещественнозначная функция действительной переменной, определенная действительными значениями, имеет производную Гато ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ Displaystyle dE (и, \ psi) = \ langle F '(u), \ psi \ rangle: = \ int _ {\ Omega} F' (u (x)) \, \ psi (x) \, dx .}$

Действительно, выше предел в ${\ displaystyle \ tau \ to 0}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {E (u + \ tau \ psi) -E (u)} {\ tau}} & = {\ frac {1} {\ tau}} \ left (\ int _ {\ Omega} F (u + \ tau \, \ psi) \, dx- \ int _ {\ Omega} F (u) \, dx \ right) \\ [6pt] & = {\ frac {1} { \ tau}} \ left (\ int _ {\ Omega} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {d} {ds}} F (u + s \, \ tau \, \ psi) \, ds \, dx \ right) \\ [6pt] & = \ int _ {\ Omega} \ int _ {0} ^ {1} F '(u + s \ tau \ psi) \, \ psi \, ds \ , dx. \ end {выровненный}}}$

Смотрите также

• Производная Адамара
• Производная (обобщения)
• Дифференцирование в пространствах Фреше.
• Фрактальная производная
• Квазипроизводная
• Кватернионный анализ

Рекомендации

• Gateaux, R (1913), «Sur les fonctionnelles continue et les fonctionnelles analytiques» , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences , Париж, 157 : 325–327 , дата обращения 2 сентября 2012 г..
• Gateaux, R (1919), "Fonctions d'une infinité de variables indépendantes" , Bulletin de la Société Mathématique de France , 47 : 70–96..
• Гамильтон, RS (1982), "Теорема Нэша и Мозера об обратной функции" , Bull. Амер. Математика. Soc. , 7 (1): 65-222, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1982-15004-2 , МР  0656198
• Хилле, Эйнар ; Филлипс, Ральф С. (1974), Функциональный анализ и полугруппы , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR  0423094.
• Тихомиров, В.М. (2001) [1994], "Вариация Гато" , Энциклопедия математики , EMS Press.
• Вайнберг, М.М. (1964), Вариационные методы исследования нелинейных операторов , Сан-Франциско, Лондон, Амстердам: Holden-Day, Inc., стр. 57 год
• Цорн, Макс (1945), "Характеристика аналитических функций в банаховых пространствах", Анналы математики , второй серии, 46 (4): 585-593, DOI : 10,2307 / 1969198 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1969198 , MR  0014190.
• Цорн, Макс (1946), "Производные и дифференциалы Фреше" , Бюллетень Американского математического общества , 52 (2): 133-137, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1946-08524-9 , MR  0014595.