Схема группы - Group scheme

В математике , А групповая схема представляет собой тип алгебро-геометрического объекта оснащен законом композиции. Групповые схемы возникают естественным образом как симметрии схем , и они обобщают алгебраические группы в том смысле, что все алгебраические группы имеют структуру групповой схемы, но групповые схемы не обязательно связаны, гладкие или определены над полем. Эта дополнительная общность позволяет изучать более богатые бесконечно малые структуры, и это может помочь понять и ответить на вопросы, имеющие арифметическое значение. Категории групповых схем несколько лучше ведут себя , чем разновидности групп , так как все гомоморфизмы имеют ядро , и есть хорошо себя теория деформации . Групповые схемы, которые не являются алгебраическими группами, играют важную роль в арифметической геометрии и алгебраической топологии , поскольку они возникают в контексте представлений Галуа и проблем модулей . Первоначальное развитие теории групповых схем произошло благодаря Александру Гротендику , Мишелю Рейно и Мишелю Демазюру в начале 1960-х годов.

Определение

Схема группы представляет собой групповой объект в категории схем , которая имеет продукты волокна и некоторый конечный объект S . То есть это S- схема G, снабженная одним из эквивалентных наборов данных.

тройка морфизмов μ: G × _S G → G , e: S → G и ι: G → G , удовлетворяющих обычной совместимости групп (а именно ассоциативности μ, тождества и обратных аксиом)
функтор от схем над S к категории групп , такой, что композиция с забывчивым функтором к множествам эквивалентна предпучку, соответствующему G при вложении Йонеды . (См. Также: групповой функтор .)

Гомоморфизм групповых схем - это карта схем, учитывающая умножение. Это можно точно сформулировать, либо сказав, что отображение f удовлетворяет уравнению f μ = μ ( f × f ), либо заявив, что f является естественным преобразованием функторов из схем в группы (а не просто наборов).

Левое действие схемы группы G на схеме Х есть морфизм G × _S X → X , который индуцирует левое действие группы G ( T ) на множестве Х ( Т ) для любого S -схема T . Правильные действия определяются аналогично. Любая групповая схема допускает естественные левые и правые действия на лежащей в ее основе схеме умножением и сопряжением . Сопряжение - это действие с помощью автоморфизмов, т. Е. Оно коммутирует со структурой группы, и это индуцирует линейные действия на естественно производных объектах, таких как его алгебра Ли и алгебра левоинвариантных дифференциальных операторов.

An S -группа Схема G коммутативна , если группа G ( T ) является абелевой группой для всех S -схем T . Есть несколько других эквивалентных условий, таких как сопряжение, вызывающее тривиальное действие, или отображение инверсии ι, являющееся автоморфизмом групповой схемы.

Конструкции

Для группы G , можно сформировать схему постоянной группы G _S . Как схема, это несвязное объединение копий S , и, выбрав отождествление этих копий с элементами G , можно определить умножение, единичное и обратное отображение посредством переноса структуры. В качестве функтора, он принимает любой ˙s -схемы T произведения экземпляров группы G , где количество копий равно числу компонента связности T . G _S аффинна над S тогда и только тогда, когда G - конечная группа. Однако можно взять проективный предел конечных константных групповых схем, чтобы получить проконечные групповые схемы, которые появляются при изучении фундаментальных групп и представлений Галуа или в теории фундаментальных групповых схем , и они являются аффинными бесконечного типа. В более общем смысле, взяв локально постоянный пучок групп на S , можно получить локально постоянную групповую схему, для которой монодромия на базе может индуцировать нетривиальные автоморфизмы на слоях.
Наличие волокнистых изделий схем позволяет изготавливать несколько конструкций. Конечные прямые произведения групповых схем имеют структуру канонической групповой схемы. Учитывая действие одной групповой схемы на другую автоморфизмами, можно формировать полупрямые произведения, следуя обычной теоретико-множественной конструкции. Ядра гомоморфизмов групповых схем являются групповыми схемами, взяв расслоение над единичным отображением из базы. Изменение базы отправляет групповые схемы в групповые схемы.
Групповые схемы могут быть сформированы из меньших групповых схем путем ограничения скаляров относительно некоторого морфизма базовых схем, хотя необходимо выполнение условий конечности, чтобы гарантировать представимость результирующего функтора. Когда этот морфизм происходит вдоль конечного расширения полей, он известен как ограничение Вейля .
Для любой абелевой группы A можно сформировать соответствующую диагонализуемую группу D ( A ), определенную как функтор, задав D ( A ) ( T ) набор гомоморфизмов абелевых групп из A в обратимые глобальные секции O _T для каждого S -схема T . Если S аффинно, D ( A ) может быть сформирован как спектр группового кольца. В более общем смысле , можно формировать группы мультипликативного типа, позволяя быть непостоянным пучком абелевых групп на S .
Для подгрупповой схемы H групповой схемы G функтор, переводящий S -схему T в G ( T ) / H ( T ), в общем случае не является пучком, и даже его пучок, вообще говоря, не может быть представлен в виде схемы. Однако если H конечна, плоская и замкнута в G , то фактор-группа представима и допускает каноническое левое G- действие по сдвигу. Если ограничение этого действия на H тривиально, то H называется нормальной и фактор-схема допускает естественный групповой закон. Представимость сохраняется во многих других случаях, например, когда H замкнуто в G и оба аффинны.

Примеры

Мультипликативная группа G _m имеет выколотую аффинную линию в качестве базовой схемы, а в качестве функтора она отправляет S -схему T в мультипликативную группу обратимых глобальных секций структурного пучка. Его можно описать как диагонализуемую группу D ( Z ), связанную с целыми числами. По аффинной базе, такой как Spec A , это спектр кольца A [ x , y ] / ( xy - 1), которое также записывается как A [ x , x ⁻¹ ]. Единичная карта задается отправкой x в единицу, умножение задается отправкой x в x ⊗ x , а обратное - путем отправки x в x ⁻¹ . Алгебраические торы образуют важный класс коммутативных групповых схем, определяемых либо свойством быть локально на S произведением копий G _m , либо как группы мультипликативного типа, связанные с конечно порожденными свободными абелевыми группами.
Общая линейная группа GL _n является аффинным алгебраическим многообразием, которое можно рассматривать как мультипликативную группу многообразия матричных колец n на n . В качестве функтора, он посылает S -схема T в группу обратимых п по п матриц, элементы которых являются глобальные сечения Т . Над аффинной базой его можно построить как частное кольца многочленов от n ² + 1 переменных по идеалу, кодирующему обратимость определителя. В качестве альтернативы он может быть построен с использованием 2 n ² переменных с отношениями, описывающими упорядоченную пару взаимно обратных матриц.
Для любого натурального числа n группа μ _n является ядром n- го степенного отображения из G _m в себя. В качестве функтора, он посылает любую S -схемы T к группе глобальных сечений е из T такого , что F ^п = 1. За аффинным основание , такие как Spec А , то спектр А [х] / ( х ^п - 1). Если n не обратимо в базе, то эта схема не является гладкой. В частности, над полем характеристики p μ _p негладкий.
Аддитивная группа G _a имеет аффинную прямую A ^{1 в} качестве базовой схемы. В качестве функтора он отправляет любую S -схему T в базовую аддитивную группу глобальных секций структурного пучка. По аффинной базе, такой как Spec A , это спектр кольца многочленов A [ x ]. Единичная карта задается отправкой x в ноль, умножение задается путем отправки x в 1 ⊗ x + x ⊗ 1, а обратное - путем отправки x в - x .
Если p = 0 в S для некоторого простого числа p , то взятие p- й степени индуцирует эндоморфизм группы G _a , а ядром является групповая схема α _p . По аффинной базе, такой как Spec A , это спектр A [x] / ( x ^p ).
Группа автоморфизмов аффинной прямой изоморфна полупрямому произведению G _a на G _m , где аддитивная группа действует сдвигами, а мультипликативная группа действует растяжениями. Подгруппа, фиксирующая выбранную базовую точку, изоморфна мультипликативной группе, и принятие базовой точки за тождество аддитивной групповой структуры отождествляет G _m с группой автоморфизмов G _a .
Гладкая кривая рода 1 с отмеченной точкой (т. Е. Эллиптическая кривая ) имеет уникальную структуру групповой схемы с этой точкой в качестве единицы. В отличие от предыдущих примеров положительной размерности, эллиптические кривые являются проективными (в частности, собственными).

Основные свойства

Предположим, что G - групповая схема конечного типа над полем k . Пусть G ⁰ - связная компонента единицы, т. Е. Максимальная схема связной подгруппы. Тогда G является расширением конечной этальной групповой схемы с помощью G ⁰ . G имеет единственные максимальные уменьшенные подсхемы G _{красного цвета} , а если к совершенно, то G _{красный} является гладким многообразием группы , которая представляет собой схему подгруппы G . Фактор-схема - это спектр локального кольца конечного ранга.

Любая аффинная групповая схема - это спектр коммутативной алгебры Хопфа (над базой S он задается относительным спектром O _S -алгебры). Умножение, единичное и обратное отображение групповой схемы задаются структурами коумножения, коитнита и антипода в алгебре Хопфа. Структуры единиц и умножения в алгебре Хопфа являются неотъемлемой частью базовой схемы. Для произвольной групповой схемы G кольцо глобальных сечений также имеет структуру коммутативной алгебры Хопфа, и, взяв ее спектр, можно получить максимальную аффинную фактор-группу. Многообразия аффинных групп известны как линейные алгебраические группы, поскольку они могут быть вложены как подгруппы общих линейных групп.

Полные связные групповые схемы в некотором смысле противоположны аффинным групповым схемам, поскольку полнота подразумевает, что все глобальные сечения - это в точности те, которые оттянуты от базы, и, в частности, у них нет нетривиальных отображений в аффинные схемы. Любое полное групповое многообразие (здесь многообразие означает редуцированную и геометрически неприводимую разделенную схему конечного типа над полем) автоматически коммутативно по аргументу, включающему действие сопряжения на джет-пространствах единицы. Полные групповые многообразия называются абелевыми многообразиями . Это обобщает понятие абелевой схемы; групповая схема G над базой S абелева, если структурный морфизм из G в S является собственным и гладким с геометрически связными слоями. Они автоматически проективны и имеют множество приложений, например, в геометрической теории полей классов и во всей алгебраической геометрии. Однако полная групповая схема над полем не обязательно должна быть коммутативной; например, любая конечная групповая схема является полной.

Конечные плоские групповые схемы

Групповая схема G над нётеровой схемой S конечна и плоская тогда и только тогда, когда O _G является локально свободным O _S -модулем конечного ранга. Ранг локально постоянная функция на S , и называется порядок G . Порядок схемы постоянной группы равен порядку соответствующей группы, и в целом порядок ведет себя хорошо в отношении замены базы и конечного плоского ограничения скаляров .

Среди конечных плоских групповых схем константы (см. Пример выше) образуют особый класс, а над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики категория конечных групп эквивалентна категории константных конечных групповых схем. По базам с положительной характеристикой или более арифметической структурой существуют дополнительные типы изоморфизма. Например, если 2 обратимо над базой, все групповые схемы порядка 2 постоянны, но над 2-адическими целыми числами μ ₂ непостоянна, потому что специальный слой не является гладким. Существуют последовательности сильно разветвленных 2-адических колец, над которыми число типов изоморфизма групповых схем порядка 2 растет сколь угодно большим. Более подробный анализ коммутативных конечных плоских групповых схем над p -адическими кольцами можно найти в работе Рейно по продолжениям.

Коммутативные конечные плоские групповые схемы часто встречаются в природе как схемы подгрупп абелевых и полуабелевых многообразий, и в положительных или смешанных характеристиках они могут содержать много информации об объемлющем многообразии. Например, p -кручение эллиптической кривой в нулевой характеристике локально изоморфно постоянной элементарной абелевой групповой схеме порядка p ² , но над F _p это конечная плоская групповая схема порядка p ^2, которая имеет либо p связных компоненты (если кривая обычная) или одна связная компонента (если кривая суперсингулярная ). Если мы рассмотрим семейство эллиптических кривых, p -кручение образует конечную плоскую групповую схему над параметризующим пространством, а суперсингулярное множество - это место, где соединяются слои. Это слияние компонент связности можно детально изучить, перейдя от модульной схемы к жесткому аналитическому пространству , где суперсингулярные точки заменяются дисками положительного радиуса.

Картье двойственность

Двойственность Картье - теоретико-схемный аналог двойственности Понтрягина, переводящий конечные коммутативные групповые схемы в конечные коммутативные групповые схемы.

Модули Дьедонне

Конечные плоские коммутативные групповые схемы над совершенным полем k положительной характеристики p можно изучать, перенося их геометрическую структуру в (полу) линейно-алгебраический контекст. Основной объект является Дьедон кольца D = W ( K ) { Р , V } / ( FV - р ), который представляет собой частное от деления кольца некоммутативных многочленов с коэффициентами из векторов Витты из к . F и V - операторы Фробениуса и Вершибунга , и они могут действовать нетривиально на векторах Витта. Дьедон и Картье построили антиэквивалентность категорий между конечными коммутативными групповыми схемами над k порядка степени «p» и модулями над D с конечной W ( k ) -длиной. Функтор модуля Дьедонне в одном направлении задается гомоморфизмами в абелев пучок CW ко-векторов Витта. Этот пучок более или менее двойственен пучку векторов Витта (который фактически может быть представлен групповой схемой), поскольку он строится путем взятия прямого предела векторов Витта конечной длины при последовательных отображениях Вершибунга V : W _n → W _{n +1} , а затем завершение. Многие свойства коммутативных групповых схем можно увидеть, исследуя соответствующие модули Дьедонне, например, связные p -групповые схемы соответствуют D -модулям, для которых F нильпотентен, а этальные групповые схемы соответствуют модулям, для которых F является изоморфизмом.

Теория Дьедонне существует в несколько более общем контексте, чем конечные плоские группы над полем. В тезисе Оды 1967 г. была установлена связь между модулями Дьедонне и первыми когомологиями де Рама абелевых многообразий, и примерно в то же время Гротендик предположил, что должна существовать кристаллическая версия теории, которую можно было бы использовать для анализа p -делимых групп. Действия Галуа на групповых схемах передаются через эквивалентности категорий, и соответствующая теория деформации представлений Галуа использовалась в работе Уайлса по гипотезе Шимуры – Таниямы .

Смотрите также

использованная литература

Демазюр, Мишель; Александр Гротендик , ред. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962–64 - Schémas en groupes - (SGA 3) - vol. 1 (Конспект лекций по математике 151 ) (на французском языке). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . С. XV, 564.
Демазюр, Мишель; Александр Гротендик , ред. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962–64 - Schémas en groupes - (SGA 3) - vol. 2 (Конспект лекций по математике 152 ) (на французском языке). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . С. ix, 654.
Демазюр, Мишель; Александр Гротендик , ред. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962–64 - Schémas en groupes - (SGA 3) - vol. 3 (Конспект лекций по математике 153 ) (на французском языке). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . С. VII, 529.
Габриэль, Питер; Демазюр, Мишель (1980). Введение в алгебраическую геометрию и алгебраические группы . Амстердам: паб Северной Голландии. Co. ISBN 0-444-85443-6.
Бертело, Брин, Мессинг Теори де Дьедонне Кристаллин II
Лаумон, Преобразование генерализованного Фурье
Шац, Стивен С. (1986), «Групповые схемы, формальные группы и p -делимые группы», в Корнелле, Гэри; Сильверман, Джозеф Х. (ред.), Арифметическая геометрия (Сторрс, Коннектикут, 1984) , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 29–78, ISBN 978-0-387-96311-2, MR 0861972
Серр, Жан-Пьер (1984), Groupes algébriques et corps de classes , Publications de l'Institut Mathématique de l'Université de Nancago [Публикации Математического института Университета Нанкаго], 7, Париж: Hermann, ISBN 978-2-7056-1264-1, Руководство по ремонту 0907288
Джон Тейт , Конечные плоские групповые схемы , из модульных форм и Великой теоремы Ферма
Уотерхаус, Уильям (1979), Введение в схемы аффинных групп , Тексты для выпускников по математике, 66 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-6217-6 , ISBN 978-0-387-90421-4, Руководство по ремонту 0547117

Languages

In other projects