Монодромия - Monodromy
В математике , монодромии является изучение того , как объекты математического анализа , алгебраической топологии , алгебраической геометрии и дифференциальной геометрии , ведут себя , как они «бегать» а особенность . Как следует из названия, основное значение монодромии происходит от «бегать поодиночке». Он тесно связан с покрывающими картами и их вырождением в разветвление ; аспект, приводящий к феномену монодромии, состоит в том, что некоторые функции, которые мы, возможно, захотим определить, не могут быть однозначными, поскольку мы «пробегаем» путь, окружающий сингулярность. Неудачу монодромии можно измерить, определив группу монодромии : группу преобразований, действующих на данные, которые кодируют то, что происходит, когда мы «бегаем» в одном измерении. Отсутствие монодромии иногда называют полидромией .
Определение
Пусть Х связное и локально связной на основе топологического пространства с отмеченной точкой х , и пусть быть покрытием с волокном . Для петли γ: [0, 1] → X, основанной на x , обозначим подъем под отображением покрытия, начинающийся в точке , через . Наконец, мы обозначаем конечной точкой , которая обычно отличается от . Есть теоремы , которые утверждают , что эта конструкция дает четко определенные действия группы из фундаментальной группы П 1 ( Х , х ) на F , а также о том , что стабилизатор из точно , то есть, элемент [γ] фиксирует точка F тогда и только тогда, когда он представлен изображением цикла на основе at . Это действие называется действием монодромии, а соответствующий гомоморфизм π 1 ( X , x ) → Aut ( H * ( F x )) в группу автоморфизмов на F является алгебраической монодромией . Образ этого гомоморфизма - группа монодромии . Существует еще одно отображение π 1 ( X , x ) → Diff ( F x ) / Is ( F x ) , образ которого называется группой топологической монодромии .
Пример
Эти идеи впервые проявились в комплексном анализе . В процессе аналитического продолжения функция, которая является аналитической функцией F ( z ) в некотором открытом подмножестве E проколотой комплексной плоскости ℂ \ {0}, может быть продолжена обратно в E , но с другими значениями. Например, возьмите
затем аналитическое продолжение против часовой стрелки по кругу
приведет к возврату не к F ( z ), а
В этом случае группа монодромии бесконечна циклическая, а накрывающее пространство является универсальным покрытием проколотой комплексной плоскости. Это покрытие можно представить как геликоид (как определено в статье о геликоиде) с ограничением ρ > 0 . Карта покрытия - это вертикальная проекция, в некотором смысле очевидным образом схлопывающая спираль, чтобы получить проколотую плоскость.
Дифференциальные уравнения в комплексной области.
Одно из важных приложений - это дифференциальные уравнения , где одно решение может давать дополнительные линейно независимые решения путем аналитического продолжения . Линейные дифференциальные уравнения , определенные в открытом, подключенном множестве S в комплексной плоскости имеет монодромию группы, которая (точнее) представляет собой линейное представление о фундаментальных группы из S , обобщение всех аналитических продолжений круглых петель внутри S . Обратная задача построения уравнения (с регулярными особенностями ) по заданному представлению называется проблемой Римана – Гильберта .
Для регулярной (и, в частности, фуксовой) линейной системы в качестве образующих группы монодромии обычно выбираются операторы M j, соответствующие петлям, каждая из которых обходит только один из полюсов системы против часовой стрелки. Если индексы j выбраны таким образом, что они увеличиваются от 1 до p + 1 при обходе базовой точки по часовой стрелке, то единственное соотношение между образующими - равенство . Проблема Делиня – Симпсона - это следующая проблема реализации: для каких наборов классов сопряженности в GL ( n , C ) существуют неприводимые наборы матриц M j из этих классов, удовлетворяющие указанному выше соотношению? Задача была сформулирована Пьером Делинем, и Карлос Симпсон первым получил результаты в направлении ее решения. Аддитивный вариант задачи об остатках фуксовых систем сформулировал и исследовал Владимир Костов . Проблема рассматривалась другими авторами и для групп матриц, отличных от GL ( n , C ).
Топологические и геометрические аспекты
В случае накрывающей карты мы рассматриваем ее как частный случай расслоения и используем свойство гомотопического подъема, чтобы «следовать» по путям в базовом пространстве X (мы предполагаем, что оно линейно связано для простоты), когда они поднимаются. до в крышку C . Если мы пройдем по циклу, основанному на x в X , который мы поднимем, чтобы начать с c выше x , мы снова закончим на некотором c * выше x ; вполне возможно, что c ≠ c * , и чтобы закодировать это, рассматривают действие фундаментальной группы π 1 ( X , x ) как группы перестановок на множестве всех c , как группу монодромии в этом контексте.
В дифференциальной геометрии аналогичную роль играет параллельный перенос . В главном расслоении B над гладким многообразием М , А соединение позволяет «горизонтальное» перемещение из волокон выше м в М к соседним. Эффект при применении к петлям, основанным на m, заключается в определении группы голономии перемещений волокна в m ; если структура группы B является G , то подгруппа G , которая измеряет отклонение B от продукта расслоения M × G .
Группоид монодромии и слоения
По аналогии с фундаментальным группоидом можно избавиться от выбора базовой точки и определить группоид монодромии. Здесь мы рассматриваем (гомотопические классы) подъемы путей в базовом пространстве X расслоения . Результат имеет структуру группоида над базой пространства X . Преимущество заключается в том, что мы можем отказаться от условия связности X .
Более того, конструкция также может быть обобщена на слоения : рассмотрим слоение M (возможно, особое) . Тогда для каждого пути в листе мы можем рассмотреть его индуцированный диффеоморфизм на локальных трансверсальных сечениях, проходящих через концы. Внутри односвязной карты этот диффеоморфизм становится уникальным и особенно каноническим между различными трансверсальными сечениями, если мы переходим к ростку диффеоморфизма вокруг концов. Таким образом, он также становится независимым от пути (между фиксированными конечными точками) внутри односвязной карты и, следовательно, инвариантен относительно гомотопии.
Определение с помощью теории Галуа
Пусть F ( х ) обозначает поле рациональных функций в переменной х над полем F , который является полем частных этого кольца многочленов F [ х ]. Элемент y = f ( x ) из F ( x ) определяет расширение конечного поля [ F ( x ): F ( y )].
Это расширение обычно не является Галуа, но имеет замыкание Галуа L ( f ). Ассоциированная группа Галуа расширения [ L ( f ): F ( y )] называется группой монодромии f .
В случае F = C теория римановой поверхности допускает геометрическую интерпретацию, данную выше. В случае, когда расширение [ C ( x ): C ( y )] уже является Галуа, ассоциированная группа монодромии иногда называется группой преобразований колоды .
Это связано с теорией Галуа накрывающих пространств, приводящей к теореме существования Римана .
Смотрите также
- Группа кос
- Теорема монодромии
- Группа классов отображения (проколотого диска)
Примечания
Рекомендации
- В. И. Данилов (2001) [1994], «Монодромия» , Энциклопедия математики , EMS Press
- «Групповые группоиды и группоиды монодромии», О. Мучук, Б. Киличарслан, Т. Шахан, Н. Алемдар, Топология и ее приложения 158 (2011) 2034–2042 doi: 10.1016 / j.topol.2011.06.048
- Р. Браун Топология и группоиды (2006).
- П. Дж. Хиггинс, «Категории и группоиды», ван Ностранд (1971). Перепечатка ТАС.