Теория инвариантов - Invariant theory

Инвариантная теория является ветвью абстрактной алгебры дилинга с действиями из групп на алгебраических многообразиях , такие как векторные пространства, с точки зрения их влияния на функции. Классически теория занималась вопросом явного описания полиномиальных функций, которые не изменяются или инвариантны относительно преобразований из данной линейной группы . Например, если мы рассмотрим действие специальной линейной группы SL _n на пространстве матриц n на n умножением слева, то определитель будет инвариантом этого действия, потому что определитель AX равен определителю X , когда A равен в SL _n .

Вступление

Позвольте быть группой и конечномерным векторным пространством над полем (которые в классической теории инвариантов обычно считались комплексными числами ). Представление о ин является групповым гомоморфизмом , который индуцирует групповое действие на на . Если - пространство полиномиальных функций на , то групповое действие на производит действие на по следующей формуле: ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V}$ ${\ Displaystyle \ pi: G \ в GL (V)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle k [V]}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle k [V]}$

${\ displaystyle (g \ cdot f) (x): = f (g ^ {- 1} (x)) \ qquad \ forall x \ in V, g \ in G, f \ in k [V].}$

С помощью этого действия естественно рассматривать подпространство всех полиномиальных функций, которые инвариантны относительно этого действия группы, другими словами, множество полиномов, таких что для всех . Это пространство инвариантных многочленов обозначается . ${\ displaystyle g \ cdot f = f}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ Displaystyle к [V] ^ {G}}$

Первая проблема инвариантной теории : Является ли конечно порожденная алгебра над ? ${\ Displaystyle к [V] ^ {G}}$${\ displaystyle k}$

Например, если и пространство квадратных матриц, и действие on задается левым умножением, то оно изоморфно алгебре многочленов от одной переменной, порожденной определителем. Другими словами, в этом случае каждый инвариантный многочлен представляет собой линейную комбинацию степеней детерминантного многочлена. Так что в этом случае конечно порождено . ${\ displaystyle G = SL_ {n}}$${\ displaystyle V = M_ {n}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle к [V] ^ {G}}$${\ Displaystyle к [V] ^ {G}}$${\ displaystyle k}$

Если ответ положительный, то следующий вопрос состоит в том, чтобы найти минимальный базис и спросить, конечно порожден над модулем полиномиальных отношений между базисными элементами (известные как сизигии ) . ${\ displaystyle k [V]}$

Теория инвариантов конечных групп тесно связана с теорией Галуа . Одним из первых крупных результатов была основная теорема о симметрических функциях , описывающая инварианты симметрической группы, действующей на кольцо многочленов ] перестановками переменных. В более общем смысле теорема Шевалле – Шепарда – Тодда характеризует конечные группы, алгебра инвариантов которых является кольцом многочленов. Современные исследования в области теории инвариантов конечных групп подчеркивают «эффективные» результаты, такие как явные оценки степеней образующих. Случай положительной характеристики , идеологически близкий к теории модульных представлений , является областью активных исследований, связанных с алгебраической топологией . ${\ displaystyle S_ {n}}$ ${\ Displaystyle R [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$

Теория инвариантов бесконечных групп неразрывно связана с развитием линейной алгебры , особенно теорий квадратичных форм и определителей . Другим предметом с сильным взаимным влиянием была проективная геометрия , где теория инвариантов должна была сыграть важную роль в организации материала. Одним из изюминок этих отношений является символический метод . Теория представлений полупростых групп Ли уходит корнями в теорию инвариантов.

Работа Давида Гильберта по вопросу о конечном порождении алгебры инвариантов (1890 г.) привела к созданию новой математической дисциплины - абстрактной алгебры. В более поздней статье Гильберта (1893) те же вопросы рассматривались более конструктивно и геометрически, но она оставалась практически неизвестной, пока Дэвид Мамфорд не вернул эти идеи к жизни в 1960-х годах в значительно более общей и современной форме в своем геометрическом инварианте. теория . В значительной степени из-за влияния Мамфорда рассматривается, что предмет теории инвариантов охватывает теорию действий линейных алгебраических групп на аффинных и проективных многообразиях. Отдельное направление теории инвариантов, восходящее к классическим конструктивным и комбинаторным методам девятнадцатого века, было развито Джан-Карло Рота и его школой. Ярким примером этого круга идей является теория стандартных одночленов .

Примеры

Простые примеры теории инвариантов возникают при вычислении инвариантных мономов из действия группы. Например, рассмотрим действие при отправке ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} [х, у]}$

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} х \ mapsto -x && y \ mapsto -y \ end {выровнено}}}$

Тогда, поскольку мономы низшей степени инвариантны, имеем ${\ Displaystyle х ^ {2}, ху, у ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, y] ^ {\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}} \ cong \ mathbb {C} [x ^ {2}, xy, y ^ {2}] \ cong {\ frac {\ mathbb {C} [a, b, c]} {(ac-b ^ {2})}}}$

Этот пример формирует основу для выполнения многих вычислений.

Истоки девятнадцатого века

Кэли впервые основал теорию инвариантов в своей «Теории линейных преобразований» (1845 г.). В начале своей статьи Кэли ссылается на статью Джорджа Буля 1841 года: «Исследования были подсказаны мне очень элегантной статьей на ту же тему ... мистера Буля». (Статья Буля называлась Exposition of a General Theory of Linear Transformations, Cambridge Mathematical Journal.)

Классический, термин «теория инвариантов» относится к изучению инвариантных алгебраических форм (эквивалентно, симметричные тензоры ) для действия на линейные преобразования . Это была основная область исследований во второй половине девятнадцатого века. Текущие теории, относящиеся к симметрической группе и симметрическим функциям , коммутативной алгебре , пространствам модулей и представлениям групп Ли , уходят корнями в эту область.

Более подробно, учитывая конечномерное векторное пространство V размерности n, мы можем рассмотреть симметрическую алгебру S ( S ^r ( V )) многочленов степени r над V и действие GL ( V ) на нее . Фактически, более точно рассматривать относительные инварианты GL ( V ) или представления SL ( V ), если мы собираемся говорить об инвариантах : это потому, что скалярное кратное тождества будет действовать на тензор ранга r в S ( V ) через "вес" r -ой степени скаляра. Дело в том, чтобы определить подалгебру инвариантов I ( S ^r ( V )) для действия. Мы, в классическом языке, глядя на инвариантах п -ичного г -ics, где п есть размерность  V . (Это не то же самое, что нахождение инвариантов GL ( V ) на S ( V ); это неинтересная задача, поскольку единственными такими инвариантами являются константы.) Наиболее изученным случаем были инварианты бинарных форм, где n  = 2.

Другая работа включала работу Феликса Клейна по вычислению инвариантных колец действий конечных групп на ( бинарных полиэдральных группах , классифицированных по классификации ADE ); это координатные кольца дювалевых особенностей . ${\ displaystyle \ mathbf {C} ^ {2}}$

Работа Дэвида Гильберта , доказывающая, что во многих случаях I ( V ) была конечно представлена, почти положила конец классической теории инвариантов на несколько десятилетий, хотя классическая эпоха в этой теме продолжалась до последних публикаций Альфреда Янга , более 50 лет спустя. Явные вычисления для определенных целей известны в наше время (например, Сиода с двоичными октавиками).

Теоремы Гильберта

Гильберт (1890) доказал, что если V - конечномерное представление комплексной алгебраической группы G = SL _n ( C ), то кольцо инвариантов группы G, действующих на кольце многочленов R = S ( V ), конечно порождено. В его доказательстве использовался оператор Рейнольдса ρ из R в R ^G со свойствами

• ρ (1) = 1
• р ( а + б ) = р ( а ) + р ( б )
• ρ ( ab ) = a ρ ( b ), если a - инвариант.

Гильберт явно построил оператор Рейнольдса, используя омега-процесс Кэли Ω, хотя теперь более обычным явлением является косвенное построение ρ следующим образом: для компактных групп G оператор Рейнольдса задается путем усреднения по G , а некомпактные редуктивные группы могут быть сводится к случаю компактных групп с помощью унитарного приема Вейля .

Учитывая оператор Рейнольдса, теорема Гильберта доказывается следующим образом. Кольцо R является полиномиальным кольцом, поэтому оно градуируется по степеням, а идеал I определяется как идеал, порожденный однородными инвариантами положительных степеней. По теореме Гильберта о базисе идеал I конечно порожден (как идеал). Следовательно, I конечно порождается конечным числом инвариантов группы G (потому что, если нам дано любое - возможно бесконечное - подмножество S, которое порождает конечно порожденный идеал I , то I уже порождено некоторым конечным подмножеством S ). Пусть i ₁ , ..., i _n - конечный набор инвариантов группы G, порождающий I (как идеал). Ключевая идея - показать, что они порождают кольцо инвариантов R ^G. Предположим, что x - некоторый однородный инвариант степени d  > 0. Тогда

х = а ₁ я ₁ + ... + а _н я _н

для некоторого с _J в кольце R , потому что х находится в идеальном I . Можно считать, что a _j однороден степени d - deg i _j для любого j (в противном случае мы заменим a _j его однородной компонентой степени d - deg i _j ; если мы сделаем это для каждого j , уравнение x = a ₁ i ₁ + ... + a _n i _n останется в силе). Теперь применение оператора Рейнольдса к x = a ₁ i ₁ + ... + a _n i _n дает

x = ρ ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ ( a _n ) i _n

Теперь мы собираемся показать, что x лежит в R -алгебре, порожденной i ₁ , ..., i _n .

Сначала сделаем это в случае, когда все элементы ρ ( a _k ) имеют степень меньше d . В этом случае все они находятся в R -алгебре, порожденной i ₁ , ..., i _n (по предположению индукции). Следовательно, x также находится в этой R -алгебре (поскольку x = ρ ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ ( a _n ) i _n ).

В общем случае нельзя быть уверенным, что все элементы ρ ( a _k ) имеют степень меньше d . Но мы можем заменить каждое ρ ( a _k ) его однородной компонентой степени d - deg i _j . В результате эти модифицированные ρ ( a _k ) остаются G -инвариантами (поскольку каждая однородная компонента G -инварианта является G -инвариантом) и имеют степень меньше d (поскольку deg i _k > 0). Уравнение x = ρ ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ ( a _n ) i _{n по-} прежнему выполняется для нашего модифицированного ρ ( a _k ), поэтому мы снова можем заключить, что x лежит в R -алгебре, порожденной i ₁ , ..., я _н .

Следовательно, индукцией по степени все элементы R ^G лежат в R -алгебре, порожденной i ₁ , ..., i _n .

Геометрическая теория инвариантов

Современная формулировка геометрической теории инвариантов принадлежит Дэвиду Мамфорду и подчеркивает построение фактора по действию группы, которое должно захватывать инвариантную информацию через свое координатное кольцо. Это тонкая теория, поскольку успех достигается путем исключения одних «плохих» орбит и отождествления других с «хорошими» орбитами. Отдельной разработкой был реабилитирован символический метод теории инвариантов , очевидно эвристическая комбинаторная запись.

Одной из причин было построение пространств модулей в алгебраической геометрии как частных схем, параметризующих отмеченные объекты. В 1970-х и 1980-х годах теория развивала взаимодействия с симплектической геометрией и эквивариантной топологией и использовалась для построения пространств модулей объектов дифференциальной геометрии , таких как инстантоны и монополи .

Смотрите также

• Теорема грама
• теория представлений конечных групп
• Серия Мольен
• инвариант (математика)
• Инвариант двоичной формы
• Первая и вторая основные теоремы теории инвариантов

использованная литература

• Дьедонне, Жан А .; Каррелл, Джеймс Б. (1970), «Теория инвариантов, старая и новая», Успехи в математике , 4 : 1–80, DOI : 10.1016 / 0001-8708 (70) 90015-0 , ISSN  0001-8708 , MR  0255525Перепечатано как Dieudonné, Jean A .; Каррелл, Джеймс Б. (1971), «Теория инвариантов, старая и новая», « Успехи в математике» , Бостон, Массачусетс: Academic Press , 4 : 1–80, DOI : 10.1016 / 0001-8708 (70) 90015-0 , ISBN 978-0-12-215540-6, MR  0279102
• Долгачев, Игорь (2003), Лекции по теории инвариантов , Серия лекций Лондонского математического общества, 296 , Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511615436 , ISBN 978-0-521-52548-0, MR  2004511
• Грейс, JH; Янг, Альфред (1903), Алгебра инвариантов , Кембридж: Издательство Кембриджского университета
• Гроссханс, Франк Д. (1997), Алгебраические однородные пространства и теория инвариантов , Нью-Йорк: Springer, ISBN 3-540-63628-5
• Кунг, Джозеф PS; Rota, Джан-Карло (1984), "Инвариантная теория бинарных форм" , Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 10 (1): 27-85, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1984-15188-7 , ISSN  0002-9904 , MR  0722856
• Гильберт, Дэвид (1890), "Ueber die Theorie der algebraischen Formen" , Mathematische Annalen , 36 (4): 473–534, DOI : 10.1007 / BF01208503 , ISSN  0025-5831
• Гильберт, Д. (1893), "Über die vollen Invariantensysteme (О полных инвариантных системах)" , Math. Annalen , 42 (3): 313, DOI : 10.1007 / BF01444162
• Neusel, Mara D .; Смит, Ларри (2002), Теория инвариантов конечных групп , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-2916-5 Недавний ресурс для изучения модулярных инвариантов конечных групп.
• Олвер, Питер Дж. (1999), Классическая теория инвариантов , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-55821-2Введение на уровне бакалавриата в классическую теорию инвариантов бинарных форм, включая процесс Омега, начиная со стр. 87.
• Попов, В.Л. (2001) [1994], "Инварианты, теория" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Спрингер, Т.А. (1977), Теория инвариантов , Нью-Йорк: Спрингер, ISBN 0-387-08242-5 Более старый, но все же полезный обзор.
• Штурмфельс, Бернд (1993), Алгоритмы в теории инвариантов , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-82445-6 Прекрасное введение в теорию инвариантов конечных групп и техники их вычисления с использованием базисов Грёбнера.
• Вейль, Герман (1939), Классические группы. Их инварианты и представления , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9, MR  0000255
• Вейль, Герман (1939б), "Инварианты" , Герцог математический журнал , 5 (3): 489-502, DOI : 10,1215 / S0012-7094-39-00540-5 , ISSN  0012-7094 , МР  0000030

внешние ссылки

• Х. Крафт, К. Прочези, Классическая теория инвариантов, Учебник
• В. Л. Попов, Е. Б. Винберг, "Теория инвариантов", в алгебраической геометрии . IV. Энциклопедия математических наук, 55 (перевод с русского издания 1989 г.) Springer-Verlag, Berlin, 1994; vi + 284 с .; ISBN  3-540- 54682-0