Двойной номер - Dual number

В алгебре , то дуальные числа являются гиперкомплексная номер системы впервые в 19 - м веке. Это выражения вида $a + bε$ , где $a$ и $b$ - действительные числа , а $ε$ - символ, который должен удовлетворять . ${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {2} = 0}$

Двойные числа можно складывать покомпонентно и умножать по формуле

{\ displaystyle (a + b \ varepsilon) (c + d \ varepsilon) = ac + (ad + bc) \ varepsilon,}

что следует из свойства $ε 2 = 0$ и того факта, что умножение является билинейной операцией .

Двойные числа образуют коммутативную алгебру в размерности два над полем действительных чисел, а также артиново локальное кольцо . Это один из простейших примеров кольца с ненулевыми нильпотентными элементами .

История

Двойные числа были введены в 1873 году Уильямом Клиффордом и использовались в начале двадцатого века немецким математиком Эдуардом Штудом , который использовал их для обозначения двойного угла, который измеряет относительное положение двух наклонных линий в пространстве. Исследование определило двойственный угол как $ϑ + dε$ , где $ϑ$ - угол между направлениями двух прямых в трехмерном пространстве, а $d$ - расстояние между ними. $П$ - мерное обобщение, то число Грассмана , было представлено Грассманом в конце 19 - го века.

Определение в абстрактной алгебре

В абстрактной алгебре , алгебра дуальных чисел часто определяются как частное от в кольце многочленов над вещественными числами от главного идеала , порожденной площадью в неопределенном , т.е. ${\ Displaystyle (\ mathbb {R})}$

{\ displaystyle \ mathbb {R} [X] / \ langle X ^ {2} \ rangle.}

Представление в алгебрах

Двойное число может быть представлено матрицей . Это работает, потому что матрица возводится в квадрат нулевой матрицы, аналогично двойному числу . ${\ displaystyle a + b \ epsilon}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & a \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$

Есть и другие способы представления двойных чисел в виде матриц. Рассмотрим только случай вещественных матриц. Предполагая, что двойственное число представлено единичной матрицей, тогда может быть представлено любой матрицей вида ${\ displaystyle 2 \ times 2}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & -a \ end {pmatrix}}}

где кроме когда ${\ displaystyle a ^ {2} + bc = 0,}$ ${\ displaystyle a = b = c = 0.}$

Дифференциация

Одно из применений двойных чисел - автоматическое дифференцирование . Рассмотрим действительные двойные числа выше. Для любого действительного многочлена $P (x) = p 0 + p 1 x + p 2 x 2 + ... + p n x n$ несложно расширить область определения этого многочлена с вещественных до двойственных чисел. Тогда у нас есть такой результат:

{\ displaystyle {\ begin {align} P (a + b \ varepsilon) = {} & p_ {0} + p_ {1} (a + b \ varepsilon) + \ cdots + p_ {n} (a + b \ varepsilon ) ^ {n} \\ [5pt] = {} & p_ {0} + p_ {1} a + p_ {2} a ^ {2} + \ cdots + p_ {n} a ^ {n} + p_ {1 } b \ varepsilon + 2p_ {2} ab \ varepsilon + \ cdots + np_ {n} a ^ {n-1} b \ varepsilon \\ [5pt] = {} & P (a) + bP ^ {\ prime} ( а) \ varepsilon, \ end {align}}}

где $Р'$ является производной $Р$ .

В более общем смысле, мы можем расширить любую (аналитическую) действительную функцию на двойственные числа, посмотрев на ее ряд Тейлора :

{\ displaystyle f (a + b \ varepsilon) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (a) b ^ {n} \ varepsilon ^ {n} } {n!}} = f (a) + bf '(a) \ varepsilon,}

так как все члены, содержащие $ε 2$ или больше, тривиально равны 0 по определению $ε$ .

Вычисляя композиции этих функций по двойственным числам и исследуя коэффициент при $ε$ в результате, мы обнаруживаем, что мы автоматически вычислили производную композиции.

Аналогичный метод работает для многочленов от $n$ переменных, используя внешнюю алгебру $n-$ мерного векторного пространства.

Геометрия

«Единичный круг» двойственных чисел состоит из чисел с $a = \pm 1,$ поскольку они удовлетворяют условию $zz * = 1,$ где $z * = a - bε$ . Однако обратите внимание, что

{\ displaystyle e ^ {b \ varepsilon} = \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (b \ varepsilon \ right) ^ {n}} {n!}} \ right) = 1 + b \ varepsilon,}

поэтому экспоненциальное отображение, примененное к оси $ε,$ покрывает только половину «круга».

Пусть $z = a + bε$ . Если $a \neq 0$ и $m =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} б/а$ , то $z = a (1 + mε)$ - полярное разложение двойственного числа $z$ , а наклон $m$ - его угловая часть. Концепция вращения в плоскости двойственных чисел эквивалентна отображению вертикального сдвига, поскольку $(1 + pε) (1 + qε) = 1 + (p + q) ε$ .

В абсолютном пространстве и времени галилеянин преобразования

{\ displaystyle \ left (t ', x' \ right) = (t, x) {\ begin {pmatrix} 1 & v \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ ,,}

это

{\ displaystyle t '= t, \ quad x' = vt + x,}

связывает систему координат покоя с движущейся системой отсчета скорости $v$ . С двойными числами $t + xε,$ представляющими события в одном пространственном измерении и времени, то же преобразование выполняется с умножением на $1 + vε$ .

Циклы

Учитывая два двойных числа $p$ и $q$ , они определяют набор $z,$ такой, что разница в наклонах («угол Галилея») между линиями от $z$ до $p$ и $q$ постоянна. Этот набор представляет собой цикл в двойной числовой плоскости; поскольку уравнение, устанавливающее разность углов наклона линий как константу, является квадратным уравнением в действительной части $z$ , цикл является параболой . «Циклическое вращение» дуальной числовой плоскости происходит как движение ее проективной прямой . По словам Исаака Яглома , цикл $Z = {z : y = αx 2}$ инвариантен относительно композиции сдвига

{\ displaystyle x_ {1} = x, \ quad y_ {1} = vx + y}

с переводом

{\ displaystyle x '= x_ {1} = {\ frac {v} {2a}}, \ quad y' = y_ {1} + {\ frac {v ^ {2}} {4a}}.}

Разделение

Деление двойных чисел определяется, когда действительная часть знаменателя отлична от нуля. Процесс деления аналогичен сложному делению в том смысле, что знаменатель умножается на его сопряженное значение, чтобы исключить ненастоящие части.

Следовательно, разделив уравнение вида

{\ displaystyle {\ frac {a + b \ varepsilon} {c + d \ varepsilon}}}

умножаем верх и низ на сопряжение знаменателя:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {a + b \ varepsilon} {c + d \ varepsilon}} & = {\ frac {(a + b \ varepsilon) (cd \ varepsilon)} {(c + d \ varepsilon) (cd \ varepsilon)}} \\ [5pt] & = {\ frac {ac-ad \ varepsilon + bc \ varepsilon -bd \ varepsilon ^ {2}} {c ^ {2} + cd \ varepsilon -cd \ varepsilon -d ^ {2} \ varepsilon ^ {2}}} \\ [5pt] & = {\ frac {ac-ad \ varepsilon + bc \ varepsilon -0} {c ^ {2} -0} } \\ [5pt] & = {\ frac {ac + \ varepsilon (bc-ad)} {c ^ {2}}} \\ [5pt] & = {\ frac {a} {c}} + {\ frac {bc-ad} {c ^ {2}}} \ varepsilon \ end {выровнено}}}

который определяется, когда $c$ не равно нулю .

Если, с другой стороны, $c$ равно нулю, а $d$ - нет, то уравнение

{\ displaystyle {a + b \ varepsilon = (x + y \ varepsilon) d \ varepsilon} = {xd \ varepsilon +0}}

не имеет решения, если $a не$ равно нулю
в противном случае решается любым двойственным числом вида $б / d + yε$ .

Это означает, что нереальная часть «частного» является произвольной, и поэтому деление не определено для чисто нереальных двойственных чисел. В самом деле, они (тривиально) являются делителями нуля и, очевидно, образуют идеал ассоциативной алгебры (и, следовательно, кольца ) двойственных чисел.

Приложения в механике

Двойные числа находят применение в механике , особенно в кинематическом синтезе. Например, двойные числа позволяют преобразовать уравнения ввода / вывода четырехзвенной сферической связи, которая включает только ротоидные соединения, в четырехзвенный пространственный механизм (ротоидный, ротоидный, ротоидный, цилиндрический). Дуализированные углы состоят из примитивной части, углов и двойной части, имеющей единицы длины. Подробнее см. Теорию винта .

Обобщения

Эта конструкция может быть выполнена в более общем смысле : для коммутативных кольца $R$ можно определить двойное число над $R$ как частное от кольца многочленов $R [X]$ по идеалу $(Х 2)$ : изображение $X$ , то есть квадрат равен нулю и соответствует элементу $ε$ сверху.

Произвольный модуль элементов нулевого квадрата

Существует более общая конструкция двойственных чисел. Для коммутативного кольца и модуля существует кольцо, называемое кольцом двойственных чисел, которое имеет следующие структуры: ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle R [M]}$

Это -модуль с умножением, определенным для и ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle R \ oplus M}$ ${\ Displaystyle (г, я) \ cdot (г ', я') = (рр ', ри' + r'i)}$ ${\ displaystyle r, r '\ in R}$ ${\ displaystyle i, i '\ in I.}$

Алгебра двойственных чисел - это частный случай, когда и ${\ Displaystyle M = R}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = (0,1).}$

Суперпространство

Двойственные числа находят применение в физике , где они составляют один из простейших нетривиальных примеров суперпространства . Эквивалентно, это сверхчисла только с одним генератором; сверхчисла обобщают концепцию на $n$ различных генераторов $ε$ , каждый антикоммутирующий, возможно, доводящий $n$ до бесконечности. Суперпространство слегка обобщает сверхчисла, допуская несколько коммутирующих измерений.

Мотивация введения двойственных чисел в физику следует из принципа исключения Паули для фермионов. Направление вдоль $ε$ называется «фермионным» направлением, а действительная составляющая - «бозонным» направлением. Фермионное направление получило свое название от того факта, что фермионы подчиняются принципу исключения Паули: при обмене координатами квантово-механическая волновая функция меняет знак и, таким образом, исчезает, если две координаты сближаются; эта физическая идея фиксируется алгебраическим соотношением $ε 2 = 0$ .

Проективная линия

Идею проективной прямой над двойственными числами выдвинули Грюнвальд и Коррадо Сегре .

Подобно тому, как сфере Римана требуется точка северного полюса на бесконечности, чтобы замкнуть комплексную проективную линию , так и линия на бесконечности преуспевает в замыкании плоскости двойных чисел в цилиндр .

Предположим, что $D$ - кольцо двойственных чисел $x + yε,$ а $U$ - подмножество с $x \neq 0$ . Тогда $U$ представляет собой группу единиц из $D$ . Пусть $B = {(a, b) \in D \times D : a \in U или b \in U}$ . Соотношение определяется на B следующим образом : $(а, б) ~ (с, d)$ , когда есть $у$ в $U$ такой , что $иа = с$ и $иь = д$ . Это отношение фактически является отношением эквивалентности . Точки проективной прямой над $D$ являются классами эквивалентности в $B$ при таком соотношении: $P (D) = B / ~$ . Они представлены проективными координатами $[a, b]$ .

Рассмотрим вложение $D \to P (D)$ посредством $z \to [z, 1]$ . Тогда точки $[1, n]$ при $n 2 = 0$ находятся в $P (D),$ но не являются образом какой-либо точки при вложении. $P (D)$ отображается на цилиндр путем проекции : Возьмем цилиндр касательной к плоскости двойного числа на линии ${yε : у \in ℝ}$ , $ε 2 = 0$ . Теперь возьмите противоположную линию на цилиндре за ось пучка плоскостей. Плоскости, пересекающие плоскость с двойными числами и цилиндр, обеспечивают соответствие точек между этими поверхностями. Плоскость, параллельная плоскости двойственных чисел, соответствует точкам $[1, n]$ , $n 2 = 0$ на проективной прямой над двойственными числами.

Languages

In other projects