Проективная прямая над кольцом - Projective line over a ring

Восемь цветов изображают проективную линию над полем Галуа GF (7).

В математике , то проективная прямая над кольцом является продолжением концепции проективной прямой над полем . Для кольца A с 1 проективная прямая P ( A ) над A состоит из точек, отождествляемых проективными координатами . Пусть U является группа единиц из А ; пары ( a, b ) и ( c, d ) из A × A связаны, если существует u в U такое, что ua = c и ub = d . Это отношение является отношением эквивалентности . Типичный класс эквивалентности записывается как U [ a, b ].

Р ( ) = { U [ а, Ь ]: аА + ЬО = }, то есть U [ а, Ь ] находится в проективной линии , если идеал , порожденный и б все из A .

Проективная прямая P ( A ) снабжена группой гомографий . В homographies выражается посредством использования матричного кольца над А и его группой единиц V следующим образом : Если с в Z ( U ), то центр из U , то действие группы матрицы на P ( A ) является таким же , как действие единичной матрицы. Такие матрицы представляют собой нормальную подгруппу N в V . В homographies Р ( А ) соответствуют элементам фактор группы V / N .

P ( A ) считается расширением кольца A, поскольку оно содержит копию A из-за вложения E  : aU [ a , 1] . Мультипликативный обратное отображение U → 1 / U , обычно ограничивается группе единиц U из А , выражается омографии на P ( A ):

Кроме того, для u , vU отображение auav продолжается до гомографии:

Поскольку u произвольно, его можно заменить на u −1 . Гомографии на P ( A ) называются дробно-линейными преобразованиями, поскольку

Экземпляры

Шесть цветов изображают проективную прямую над полем Галуа GF (5).

Кольца, являющиеся полями , наиболее известны: проективная прямая над GF (2) состоит из трех элементов: U [0,1], U [1,0] и U [1,1]. Его группа гомографии - это группа перестановок на этих трех.

Кольцо Z / 3 Z , или GF (3), имеет элементы 1, 0 и −1; его проективная прямая состоит из четырех элементов U [1,0], U [1,1], U [0,1], U [1, −1], поскольку и 1, и −1 являются единицами . Группа гомографии на этой проективной прямой состоит из 12 элементов, также описываемых матрицами или перестановками. Для конечного поля GF ( q ) проективная прямая - это геометрия Галуа PG (1, q ). JWP Hirschfeld описал гармонические тетрады в проективных прямых для q = 4, 5, 7, 8, 9.

Над конечными кольцами

Рассмотрим P ( Z / n Z ), когда n - составное число . Если p и q - различные простые числа, делящие n , то < p > и < q > - максимальные идеалы в Z / n Z и по тождеству Безу существуют такие a и b в Z , что ap + bq = 1 , так что U [ p , q ] находится в P ( Z / n Z ), но не является образом элемента при каноническом вложении. Вся P ( Z / п Z ) заполняется элементами U [ вверх , VQ ], Uv , U , VU = единицы Z / н Z . Примеры Z / n Z приведены здесь для n = 6, 10 и 12, где в соответствии с модульной арифметикой группа элементов кольца U = {1,5}, U = {1,3,7,9 } и U = {1,5,7,11} соответственно. Модульная арифметика подтвердит, что в каждой таблице данная буква представляет несколько точек. В этих таблицах точка U [ m , n ] обозначена буквой m в строке внизу таблицы и n в столбце слева от таблицы. Например, бесконечно удаленная точка A = U [ v , 0], где v - единица кольца.

Проективная прямая над кольцом Z / 6 Z
5 B грамм F E D C
4 J K ЧАС
3 я L L я
2 ЧАС K J
1 B C D E F грамм
0 А А
0 1 2 3 4 5
Проективная прямая над кольцом Z / 10 Z
9 B K J я ЧАС грамм F E D C
8 п О Q M L
7 B E ЧАС K D грамм J C F я
6 О L Q п M
5 N р N р р N р N
4 M п Q L О
3 B я F C J грамм D K ЧАС E
2 L M Q О п
1 B C D E F грамм ЧАС я J K
0 А А А А
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Проективная прямая над кольцом Z / 12 Z
11 B M L K J я ЧАС грамм F E D C
10 Т U N Т U N
9 S V W S О W V О
8 р Икс п р Икс п
7 B я D K F M ЧАС C J E L грамм
6 Q Q Q Q
5 B грамм L E J C ЧАС M F K D я
4 п Икс р п Икс р
3 О V W О S W V S
2 N U Т N U Т
1 B C D E F грамм ЧАС я J K L M
0 А А А А
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Таблицы, показывающие проективные прямые над кольцами Z / n Z для n = 6, 10, 12. Упорядоченные пары, отмеченные одной и той же буквой, принадлежат одной и той же точке.

Дополнительные точки могут быть связаны с QRC , рациональными числами в расширенной комплексной верхней полуплоскости . Группа гомографий на P ( Z / n Z ) называется главной конгруэнтной подгруппой .

Над топологическими кольцами

Проективная прямая над телом дает единственную вспомогательную точку ∞ = U [1,0] . Примеры включают реальную проективную прямую , комплексную проективную прямую и проективную прямую над кватернионами . В этих примерах топологических колец проективная прямая является их одноточечной компактификацией . Случай комплексных чисел поля C имеет группу Мебиуса в качестве своей омографии группы. Для рациональных чисел Q однородность координат означает, что каждый элемент P ( Q ) может быть представлен элементом P ( Z ). Точно так же гомография P ( Q ) соответствует элементу модулярной группы , автоморфизму P ( Z ).

Проективная прямая над двумя числами был описан Josef Грюнвальд в 1906. Это кольцо включает в себя ненулевой нильпотентный п удовлетворяющий пп = 0 . Плоскость { г = х + уп  : х , уR } двойных чисел имеет проективное линию , включающую в себя линии точек U [1, х ], хR . Яглом описал его как «инверсивную галилеевую плоскость» , которая имеет топологию в виде цилиндра , когда дополнительная линия включена. Аналогичным образом , если является локальное кольцо , то Р ( ) образована прилегающих точек , соответствующих элементам максимального идеала из А .

Проективная прямая над кольцом M из сплит-комплексных чисел вводит вспомогательные линии { U [1, х (1 + J)]: хR } и { U [1, х (1 - к)]: хR } . С помощью стереографической проекции плоскость расщепленных комплексных чисел замыкается этими линиями на гиперболоид из одного листа. Проективную прямую над M можно назвать плоскостью Минковского, если она характеризуется поведением гипербол при гомографическом отображении.

Цепи

Реальная линия в комплексной плоскости получает переставляются с кругами и других реальных линий при преобразованиях Мёбиуса , которые на самом деле переставить каноническое вложение вещественной проективной прямой в комплексной проективной прямой . Предположим, что A - алгебра над полем F , обобщая случай, когда F - поле действительных чисел, а A - поле комплексных чисел . Каноническое вложение P ( F ) в P ( A ) есть

Цепью является изображением P ( F ) под омографией на P ( A ). Четыре точки лежат на одной цепи , если и только если их поперечное соотношение в F . Карл фон Штаудт использовал это свойство в своей теории «настоящих ударов» [reeler Zug].

Точечный параллелизм

Две точки P ( A ) параллельны, если их не соединяет цепь. Было принято соглашение, что точки параллельны сами себе. Это отношение инвариантно относительно действия гомографии на проективной прямой. Учитывая три попарно непараллельных точки, существует уникальная цепочка, соединяющая их.

Модули

Проективная прямая P ( A ) над кольцом A также может быть идентифицирована как пространство проективных модулей в модуле . Тогда элемент из P ( A ) является прямым слагаемым в . Этот более абстрактный подход следует виду проективной геометрии как геометрии подпространств одного векторного пространства , иногда связанных с теорией решетки из Garrett Биркгофа или книгой линейной алгебры и проективная геометрия по Reinhold Baer . В случае кольца целых рациональных чисел Z определение модульного слагаемого для P ( Z ) сужает внимание к U [ m, n ], m, взаимно простому с n , и отбрасывает вложения, которые являются основной особенностью P ( A ) когда A топологичен. В статье 1981 г. W. Benz, Hans-Joachim Samaga и Helmut Scheaffer упоминается определение прямого слагаемого.

В статье «Проективные представления: проективные прямые над кольцами» в группе единиц одного матричного кольца M 2 ( R ) и понятий модуля и бимодуля используются для определения проективной линии над кольцом. Группа единиц обозначается GL (2, R ), принимая обозначения из общей линейной группы , где R обычно рассматривается как поле.

Проективная линия множество орбит под GL (2, R ) свободный циклический подмодуль R (1,0) в R × R . Расширяя коммутативную теорию Бенца, существование правого или левого мультипликативного обратного элемента кольца связано с P ( R ) и GL (2, R ). Дедекинду конечное свойство характеризуется. Наиболее важно то, что представление P ( R ) в проективном пространстве над телом K осуществляется с помощью ( K , R ) -бимодуля U, который является левым K -векторным пространством и правым R -модулем. Точки P ( R ) - это подпространства в P ( K , U × U ), изоморфные своим дополнениям.

Перекрестное соотношение

Гомография h, которая переводит три конкретных элемента кольца a , b , c в точки проективной прямой U [0,1], U [1,1], U [1,0], называется гомографией перекрестных отношений . Иногда кросс-отношение принимается как значение h в четвертой точке x  : ( x , a , b , c ) = h ( x ) .

Чтобы построить h из a , b , c, образующие омографии

используются, обращая внимание на неподвижные точки : +1 и −1 фиксируются при инверсии, U [1,0] фиксируются при переносе, а «вращение» с u оставляет U [0,1] и U [1,0] ] фиксированный. Инструкции состоят в том, чтобы сначала поместить c , затем привести a к U [0,1] с перемещением и, наконец, использовать вращение для перемещения b к U [1,1].

Лемма: Если A - коммутативное кольцо и b - a , c - b , c - a - все единицы, то

это единица.

Доказательство: Очевидно , это единица, как и требуется.

Теорема: если - единица, то существует гомография h в G ( A ) такая, что

h ( a ) = U [0,1], h ( b ) = U [1,1] и h ( c ) = U [1,0].

Доказательство: точка - это изображение b после того, как a было помещено в 0, а затем инвертировано в U [1,0], а образ c переведен в U [0,1]. Поскольку p - единица, его инверсия, используемая при вращении, переместит p в U [1,1], в результате чего a, b, c будут правильно расположены. Лемма относится к достаточным условиям существования h .

Одно применение кросс-отношения определяет проективное гармоническое сопряжение тройки a, b, c как элемент x, удовлетворяющий ( x, a, b, c ) = −1. Такая четверка - гармоническая тетрада . Гармонические тетрады на проективной прямой над конечным полем GF ( q ) использовались в 1954 году для разграничения проективных линейных групп PGL (2, q ) для q = 5, 7 и 9 и демонстрации случайных изоморфизмов .

История

Август Фердинанд Мёбиус исследовал преобразования Мёбиуса между своей книгой « Барицентрическое исчисление» (1827) и своей статьей 1855 года «Theorie der Kreisverwandtschaft in rein geometrischer Darstellung». Карлу Вильгельму Фейербаху и Юлиусу Плюккеру также приписывают использование однородных координат. Эдуард Этюд в 1898 году и Эли Картан в 1908 году написали статьи о гиперкомплексных числах для Немецкой и Французской математических энциклопедий , соответственно, где они используют эту арифметику с дробно-линейными преобразованиями в подражание таковым Мёбиуса. В 1902 году Теодор Вален представил короткую, но хорошо цитируемую статью, исследующую некоторые дробно-линейные преобразования алгебры Клиффорда . Кольцо двойных чисел D дало Йозефу Грюнвальду возможность выставить P ( D ) в 1906 году. Коррадо Сегре (1912) продолжил разработку этого кольца.

Артур Конвей , один из первых приверженцев теории относительности с помощью бикватернионных преобразований, рассмотрел кватернионно-мультипликативно-обратное преобразование в своем исследовании относительности 1911 года. В 1947 г. некоторые элементы геометрии инверсивных кватернионов были описаны П.Г. Гормли в Ирландии. В 1968 году « Комплексные числа в геометрии» Исаака Яглома вышли на английском языке в переводе с русского. Там он использует P ( D ) для описания линейной геометрии на евклидовой плоскости и P ( M ), чтобы описать ее для плоскости Лобачевского. Текст Яглома « Простая неевклидова геометрия» появился на английском языке в 1979 году. На страницах 174–200 он развивает геометрию Минковского и описывает P ( M ) как «обратную плоскость Минковского». Русский оригинал текста Яглома был опубликован в 1969 году между двумя изданиями, Walter Benz (1973) опубликовал свою книгу , которая включала однородные координаты , взятые из М .

Смотрите также

Примечания и ссылки

дальнейшее чтение

  • G. Ancochea (1941) "Теория фон Штаудта и геометрия проективного кватерниона", Journal für Mathematik , Band 184, Heft 4, SS. 193–8.
  • Н. Б. Лимай (1972) "Кросс-отношения и проекции линии", Mathematische Zeitschrift 129: 49–53, MR 0314823 .
  • Б. В. Лимай и Н. Б. Лимай (1977) "Основная теорема для проективной прямой над коммутативными кольцами", Aequationes Mathematica 16: 275–81. Руководство по ремонту 0513873 .
  • Б. В. Лимай и Н. Б. Лимай (1977) "Основная теорема для проективной прямой над некоммутативными локальными кольцами", Archiv der Mathematik 28 (1): 102–9 MR 0480495 .
  • Марсель Уайлд (2006) "Основная теорема проективной геометрии для модуля произвольной длины два", Rocky Mountain Journal of Mathematics 36 (6): 2075–80.

внешние ссылки