Простые соты - Simplectic honeycomb

${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$
Треугольная черепица	Тетраэдрические-восьмигранные соты
С красными и желтыми равносторонними треугольниками	С голубым и желтым тетраэдрами и красными выпрямленными тетраэдрами ( октаэдрами )

В геометрии , то симплектическая соты (или п-симплекс сот ) представляет собой двухмерный бесконечный ряд сот , на основе аффинной Косетер группы симметрии. Ему присвоен символ Шлефли {3 ^{[n + 1]} }, и он представлен диаграммой Кокстера-Дынкина как циклический граф из n + 1 узлов с одним окольцованным узлом. Он состоит из n- симплексов , а также всех выпрямленных n-симплексов. Его можно представить как n-мерную гиперкубическую соту , которая была разделена вдоль всех гиперплоскостей , а затем растянута вдоль своей главной диагонали до тех пор, пока симплексы на концах гиперкубов не станут регулярными. Вершина фигуры из п-симплекс сот является расширен н- симплекс . ${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle х + Y + ... \ в \ mathbb {Z}}$

В двух измерениях соты представляют собой треугольную мозаику с графом Кокстера.заполняя плоскость треугольниками чередующихся цветов. В 3-х измерениях он представляет собой тетраэдрально-октаэдрические соты с графом Кокстера.заполнение пространства попеременно тетраэдрическими и октаэдрическими ячейками. В четырех измерениях он называется 5-элементными сотами с графом Кокстера., с 5-ячеечными и выпрямленными 5-ячеечными гранями. В 5 измерениях он называется 5-симплексными сотами с графом Кокстера., заполняющее пространство 5-симплексными , выпрямленными 5-симплексными и двунаправленными 5-симплексными гранями. В 6 измерениях он называется 6-симплексными сотами с графом Кокстера., заполняющее пространство 6-симплексными , выпрямленными 6-симплексными и биректифицированными 6-симплексными гранями.

По размеру

п	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2+}}$	Мозаика	Фигура вершины	Фасетов на фигуру вершины	Число вершин на вершину фигуры	Край фигура
1	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {1}}$	Апейрогон		1	2	-
2	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$	Треугольная черепица 2-х симплексные соты	Шестиугольник (усеченный треугольник)	3 + 3 треугольника	6	Отрезок
3	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$	Тетраэдрально-октаэдрические соты 3-симплексные соты	Кубооктаэдр (Cantellated тетраэдр)	4 + 4 тетраэдр 6 выпрямленных тетраэдров	12	Прямоугольник
4	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$	4-х симплексные соты	Ранцинированный 5-клеточный	5 + 5 5 ячеек 10 + 10 выпрямленных 5 ячеек	20	Треугольная антипризма
5	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {5}}$	5-симплексные соты	Стерилизованный 5-симплексный	6 + 6 5-симплексный 15 + 15 выпрямленный 5-симплексный 20 двунаправленный 5-симплексный	30	Тетраэдрическая антипризма
6	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {6}}$	6-симплексные соты	Пятисторонний 6-симплексный	7 + 7 6-симплексный 21 + 21 ректифицированный 6-симплексный 35 + 35 биректифицированный 6-симплексный	42	4-симплексная антипризма
7	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {7}}$	7-симплексные соты	Hexicated 7-симплекс	8 + 8 7-симплексный 28 + 28 выпрямленный 7-симплексный 56 + 56 биректифицированный 7-симплексный 70 триректифицированный 7-симплексный	56	5-симплексная антипризма
8	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {8}}$	8-симплексные соты	Семеричный 8-симплексный	9 + 9 8-симплексный 36 + 36 ректифицированный 8-симплексный 84 + 84 биректифицированный 8-симплексный 126 + 126 триректифицированный 8-симплексный	72	6-симплексная антипризма
9	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {9}}$	9-симплексные соты	Октеллированный 9-симплексный	10 + 10 9-симплексный 45 + 45 выпрямленный 9-симплексный 120 + 120 биректифицированный 9-симплексный 210 + 210 триректифицированный 9-симплексный 252 квадриректифицированный 9-симплексный	90	7-симплексная антипризма
10	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {10}}$	10-симплексные соты	Ennecated 10-симплекс	11 + 11 10-симплексный 55 + 55 выпрямленный 10-симплексный 165 + 165 двунаправленный 10-симплексный 330 + 330 трехканальный 10-симплексный 462 + 462 четырехканальный 10-симплексный	110	8-симплексная антипризма
11	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {11}}$	11-симплексные соты	Dekecated 11-симплекс	12 + 12 11-симплекс 66 + 66 выпрямленный 11-симплекс 220 + 220 двунаправленный 11-симплексный 495 + 495 трехканальный 11-симплексный 792 + 792 четырехканальный 11-симплексный 924 квинтиректифицированный 11-симплексный	132	9-симплексная антипризма
12	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {12}}$	12-симплексные соты	...	...	...	...

Проекция складыванием

(2n-1) -симплексные соты и 2n-симплексные соты могут быть спроецированы в n-мерные гиперкубические соты с помощью операции геометрического складывания, которая отображает две пары зеркал друг в друга с одинаковым расположением вершин :

${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {6}}$	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {8}}$	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {10}}$	...
${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {5}}$	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {7}}$	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {9}}$	...
${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {2}}$	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {3}}$	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {4}}$	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {5}}$	...

Целующийся номер

Эти соты, рассматриваемые как касательные n-сферы, расположенные в центре каждой вершины сот, имеют фиксированное количество контактирующих сфер и соответствуют количеству вершин на фигуре вершины . Для 2-х и 3-х измерений это наивысшее число поцелуев для 2-х и 3-х измерений, но не соответствует более высоким измерениям. В двух измерениях треугольная мозаика определяет упаковку кругов из 6 касательных сфер, расположенных в правильном шестиугольнике, а для трех измерений - 12 касательных сфер, расположенных в кубооктаэдрической конфигурации. Для измерений от 4 до 8 число поцелуев составляет 20 , 30 , 42 , 56 и 72 сферы, а наибольшее решение - 24, 40, 72, 126 и 240 сфер соответственно.

Смотрите также

Рекомендации

Георгий Ольшевский, Uniform Panoploid Tetracombs , Manuscript (2006) (Полный список из 11 выпуклых однородных мозаик, 28 выпуклых однородных сот и 143 выпуклых однородных тетракомбов)
Бранко Грюнбаум , Равномерные мозаики трехмерного пространства. Геомбинаторика 4 (1994), 49 - 56.
Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись (1991)
Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3-е издание, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 Единообразные заполнители пространств)
- (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и однородные соты размером 2-9
Космос	Семья	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$ / / ${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {n-1}}$
E ²	Равномерная черепица	{3 ^[3] }	δ ₃	hδ ₃	qδ ₃	Шестиугольный
E ³	Равномерно выпуклые соты	{3 ^[4] }	δ ₄	hδ ₄	qδ ₄
E ⁴	Равномерные 4-соты	{3 ^[5] }	δ ₅	hδ ₅	qδ ₅	24-ячеечные соты
E ⁵	Равномерные 5-соты	{3 ^[6] }	δ ₆	hδ ₆	qδ ₆
E ⁶	Равномерные 6-соты	{3 ^[7] }	δ ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
E ⁷	Равномерные 7-соты	{3 ^[8] }	δ ₈	hδ ₈	qδ ₈	1 ₃₃ • 3 ₃₁
E ⁸	Равномерные 8-соты	{3 ^[9] }	δ ₉	hδ ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
E ⁹	Равномерные 9-соты	{3 ^[10] }	δ ₁₀	hδ ₁₀	qδ ₁₀
E ¹⁰	Равномерные 10-соты	{3 ^[11] }	δ ₁₁	hδ ₁₁	qδ ₁₁
E ^{n -1}	Uniform ( n -1) - соты	{3 ^[n] }	δ _n	hδ _n	qδ _n	1 _к2 • 2 _к1 • к ₂₁

Languages

In other projects