16-ячеечные соты - 16-cell honeycomb

16-ячеечные соты
Перспективная проекция : первый слой смежных 16-ячеечных граней.
Тип	Обычные 4-соты Однородные 4-соты
Семья	Чередующиеся гиперкубические соты
Символ Шлефли	{3,3,4,3}
Диаграммы Кокстера	знак равно знак равно
4-гранный тип	{3,3,4}
Тип ячейки	{3,3}
Тип лица	{3}
Край фигура	куб
Фигура вершины	24-элементный
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$ = [3,3,4,3]
Двойной	{3,4,3,3}
Характеристики	вершинно-транзитивный , реберный транзитивный , гранный транзитивный , клеточно-транзитивный , 4-гранный транзитивный

В четырехмерной евклидовой геометрии соты с 16 ячейками являются одной из трех регулярных мозаик (или сот ), заполняющих пространство , представленных символом Шлефли {3,3,4,3} и построенных 4-мерной упаковкой 16-клеточные аспекты , три вокруг каждого лица.

Его двойник - это 24-ячеечные соты . Его вершинная фигура - 24 клетки . Расположение вершин называется решеткой B ₄ , D ₄ или F ₄ .

Альтернативные имена

• Шестнадцатеричный тетракомб / соты
• Димитессерактический тетракомб / соты

Координаты

Вершины могут быть размещены во всех целочисленных координатах (i, j, k, l), так что сумма координат будет четной.

Решетка D ₄

Расположение вершин соты из 16 ячеек называется решеткой D ₄ или решеткой F ₄ . Вершины этой решетки являются центрами 3-сфер в самой плотной известной упаковке равных сфер в 4-пространстве; его число поцелуев - 24, что также совпадает с числом поцелуев в R ⁴ , что доказал Олег Мусин в 2003 году.

Соответствующий D⁺
₄ решетка (также называемая D²
₄) может быть построена путем объединения двух решеток D ₄ и идентична решетке C ₄ :

∪ знак равно знак равно

Число поцелуев для D⁺
₄равно 2 ³ = 8, (2 ^{n - 1} для n <8, 240 для n = 8 и 2 n ( n - 1) для n > 8).

Соответствующий D^*
₄ решетка (также называемая D⁴
₄ и C²
₄) может быть построена путем объединения всех четырех решеток D ₄ , но она идентична решетке D ₄ : это также 4-мерная телесцентрированная кубика , объединение двух 4-кубических сот в двойных положениях.

∪ ∪ ∪ знак равно знак равно ∪ .

Целуя число из D^*
₄решетка (и решетка D ₄ ) равна 24, а ее мозаика Вороного представляет собой соты с 24 ячейками ,, содержащий все выпрямленные 16-ячеечные ( 24-ячеечные ) ячейки Вороного , или .

Построения симметрии

Есть три различных конструкции симметрии этой мозаики. Каждая симметрия может быть представлена ​​различным расположением цветных 16-ячеечных граней.

Группа Коксетера	Символ Шлефли	Диаграмма Кокстера	Фигура вершины Симметрия	Facets / verf
${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$= [3,3,4,3]	{3,3,4,3}		[3,4,3], заказ 1152	24: 16-элементный
${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {4}}$= [3 1,1 , 3,4]	= ч {4,3,3,4}	знак равно	[3,3,4], заказ 384	16 + 8: 16-элементный
${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4}}$= [3 1,1,1,1 ]	{3,3 1,1,1 } = h {4,3,3 1,1 }	знак равно	[3 1,1,1 ], заказ 192	8 + 8 + 8: 16 клеток
2 × ½ = [[(4,3,3,4,2 + )]]${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{4}}$	ht 0,4 {4,3,3,4}			8 + 4 + 4: 4-полукруглый 8: 16-элементный

Связанные соты

Он связан с регулярными гиперболическими 5-пространственными 5-ортоплексными сотами , {3,3,3,4,3}, с 5-ортоплексными фасетами, 24-клеточными регулярными 4-многогранниками , {3,4,3} с октаэдрическая (3-ортоплексная) ячейка и куб {4,3} с квадратными гранями (2-ортоплекс).

Он имеет двумерный аналог, {3,6} , и как альтернативную форму ( полусертичные соты , h {4,3,3,4}) он связан с альтернативными кубическими сотами .

Эти соты - одна из 20 однородных сот, построенных группой Кокстера , все, кроме трех, повторяются в других семействах посредством расширенной симметрии, что видно по симметрии графов колец на диаграммах Кокстера – Дынкина . Перечислены 20 перестановок с их высшим расширенным отношением симметрии: ${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$

Соты D5
Расширенная симметрия	Расширенная диаграмма	Расширенная группа	Соты
[3 1,1 , 3,3 1,1 ]		${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$
<[3 1,1 , 3,3 1,1 ]> ↔ [3 1,1 , 3,3,4]	↔	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$× 2 1 =${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {5}}$	, , , , , ,
[[3 1,1 , 3,3 1,1 ]]		${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$× 2 2	,
<2 [3 1,1 , 3,3 1,1 ]> ↔ [4,3,3,3,4]	↔	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$× 4 1 =${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{5}}$	, , , , ,
[<2 [3 1,1 , 3,3 1,1 ]>] ↔ [[4,3,3,3,4]]	↔	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$× 8 = × 2 ${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{5}}$	, ,

Смотрите также

Регулярные и однородные соты в 4-м пространстве:

• Тессерактические соты
• 24-ячеечные соты
• Усеченный 24-элементный сотовый
• Сота с 24-ячеечным курносом
• 5-ячеечные соты
• Усеченные 5-ячеечные соты
• Усеченные 5-ячеечные соты

Примечания

использованная литература

• Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3-е издание, 1973), Dover edition, ISBN  0-486-61480-8
  • . С. 154-156: Частичное усечение или чередование, представленное ч префикса: ч {4,4} = {4,4}; h {4,3,4} = {3 ^1,1 , 4}, h {4,3,3,4} = {3,3,4,3}, ...
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
  • (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Георгий Ольшевский, Uniform Panoploid Tetracombs , Manuscript (2006) (Полный список из 11 выпуклых однородных мозаик, 28 выпуклых однородных сот и 143 выпуклых однородных тетракомбов)
• Клитцинг, Ричард. «4D евклидова мозаика» . x3o3o4o3o - hext - O104
• Конвей Дж. Х., Слоан Нью-Джерси (1998). Сферические упаковки, решетки и группы (3-е изд.). ISBN 0-387-98585-9.

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и однородные соты размером 2-9
Космос	Семья	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$/ /${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {n-1}}$
E 2	Равномерная черепица	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Шестиугольный
E 3	Равномерно выпуклые соты	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Равномерные 4-соты	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-ячеечные соты
E 5	Равномерные 5-соты	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Равномерные 6-соты	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Равномерные 7-соты	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Равномерное 8-соты	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Равномерные 9-соты	{3 [10] }	δ 10	hδ 10	qδ 10
E 10	Равномерные 10-соты	{3 [11] }	δ 11	hδ 11	qδ 11
E n -1	Uniform ( n -1) - соты	{3 [n] }	δ n	hδ n	qδ n	1 к2 • 2 к1 • к 21