2 ₂₂ соты -2₂₂ honeycomb

2 22 соты
(нет изображения)
Тип	Равномерная тесселяция
Символ Кокстера	2 22
Символ Шлефли	{3,3,3 2,2 }
Диаграмма Кокстера
6-гранный тип	2 21
5-гранные типы	2 11 {3 4 }
4-гранный тип	{3 3 }
Тип ячейки	{3,3}
Тип лица	{3}
Фигура лица	{3} × {3} дуопризма
Край фигура	{3 2,2 }
Фигура вершины	1 22
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$, [[3,3,3 2,2 ]]
Характеристики	вершинно-транзитивный , фасетно-транзитивный

В геометрии , то 2 ₂₂ соты являются однородной тесселяцией из шести-мерного евклидова пространства. Его можно представить символом Шлефли {3,3,3 ^2,2 }. Он состоит из 2 ₂₁ граней и имеет фигуру 1 ₂₂ вершины с 54 2 ₂₁ многогранниками вокруг каждой вершины.

Его расположение вершины является E ₆ решетки , а корневая система из Й ₆ группы Ли так же можно назвать E ₆ сот .

Строительство

Он создан конструкцией Wythoff на наборе из 7 гиперплоскостных зеркал в 6-мерном пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина ,.

Удаление узла на конце одной из 2-узловых ветвей оставляет 2 ₂₁ , его единственный фасетный тип,

Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это составляет 1 ₂₂ ,.

Края фигуры является вершиной фигура фигуры вершины, здесь будучи birectified 5-симплекс , т ₂ {3 ⁴ },.

Фигура лицо является вершиной фигура края фигуры, здесь будучи треугольной duoprism , {3} × {3},.

Целующийся номер

Каждая вершина этой мозаики является центром 5-сферы в самой плотной из известных упаковок в 6 измерениях с числом поцелуев 72, представленным вершинами его вершины, фигура 1 ₂₂ .

Решетка E ₆

Расположение вершин соты 2 ₂₂ называется решеткой E ₆ .

Е ₆ ² решетки , с [[3,3,3 ^2,2 ]] симметрии , может быть построена путем объединения двух Е ₆ решеток:

∪

Е ₆ ^* решетки (или Е ₆ ³ ) с помощью [3 [3 ^2,2,2 ]] симметрии. Вороная клетка из Й ₆ ^* решетки является выпрямленным 1 ₂₂ многогранником, а тесселяция Вороной является bitruncated 2 ₂₂ сот . Он построен из 3 копий вершин решетки E ₆ , по одной от каждой из трех ветвей диаграммы Кокстера.

∪ ∪ = двойное к .

Геометрическое складывание

Группа связана с геометрическим складыванием , так что эта сота может быть спроецирована в 4-мерную 16-клеточной соты . ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$

${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$	${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$
{3,3,3 2,2 }	{3,3,4,3}

Связанные соты

Сота 2 ₂₂ - одна из 127 однородных сот (39 уникальных) с симметрией. 24 из них имеют двойную симметрию [[3,3,3 ^2,2 ]] с 2 одинаково окольцованными ветвями, а 7 имеют шестикратную (3 ! ) Симметрию [3 [3 ^2,2,2 ]] с одинаковыми кольцами на всех 3 ветви. В этом семействе нет регулярных сот, поскольку его диаграмма Кокстера является нелинейным графом, но 2 ₂₂ и двунаправленный 2 ₂₂ являются изотопными , только с одним типом фасет : 2 ₂₁ и выпрямленными 1 ₂₂ многогранниками соответственно. ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$

Симметрия	порядок	Соты
[3 2,2,2 ]	Полный	8: , , , , , , , .
[[3,3,3 2,2 ]]	× 2	24: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , .
[3 [3 2,2,2 ]]	× 6	7: , , , , , , .

Биректифицированные 2 ₂₂ соты

Биректифицированные 2 22 соты
(нет изображения)
Тип	Равномерная тесселяция
Символ Кокстера	0 222
Символ Шлефли	{3 2,2,2 }
Диаграмма Кокстера
6-гранный тип	0 221
5-гранные типы	0 22 0 211
4-гранный тип	0 21 24-ячеечный 0 111
Тип ячейки	Тетраэдр 0 20 Октаэдр 0 11
Тип лица	Треугольник 0 10
Фигура вершины	Пропризма {3} × {3} × {3}
Группа Коксетера	6 × , [3 [3 2,2,2 ]] ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$
Характеристики	вершинно-транзитивный , фасетно-транзитивный

Birectified 2 ₂₂ сот , выпрямляет 1 22 граней многогранника ,И proprism {3} × {3} × {3} вершина фигуры .

Его грани сосредоточены на расположении вершин из Й ₆ ^* решетки , как:

∪ ∪

Строительство

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина ,.

Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это делает пропризму {3} × {3} × {3},.

Удаление узла на конце одной из трехузловых ветвей оставляет 1 ₂₂ , его единственный фасетный тип,.

Удаление второго конечного узла определяет 2 типа 5-граней: двунаправленный 5-симплекс , 0 ₂₂ и двунаправленный 5-ортоплекс , 0 ₂₁₁ .

Удаление третьего конечного узла определяет 2 типа 4-граней: выпрямленный 5-элементный , 0 ₂₁ , и 24-элементный , 0 ₁₁₁ .

Удаление четвертого конечного узла определяет 2 типа ячеек: октаэдр , 0 ₁₁ , и тетраэдр , 0 ₂₀ .

k ₂₂ многогранники

Сота 2 ₂₂ является четвертой в размерном ряду однородных многогранников, выраженных Кокстером как k ₂₂ рядов. Финал - паракомпактные гиперболические соты, 3 ₂₂ . Каждый прогрессивный однородный многогранник строится из предыдущего как его вершина .

k ₂₂ фигур в размерах n

Космос	Конечный			Евклидово	Гиперболический
п	4	5	6	7	8
Группа Кокстера	А 2 А 2	E 6	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$= E 6 +	${\ displaystyle {\ bar {T}} _ {7}}$= E 6 ++
Диаграмма Кокстера
Симметрия	[[3 2,2, -1 ]]	[[3 2,2,0 ]]	[[3 2,2,1 ]]	[[3 2,2,2 ]]	[[3 2,2,3 ]]
порядок	72	1440	103 680	∞
График				∞	∞
Имя	−1 22	0 22	1 22	2 22	3 22

Сота 2 ₂₂ является третьей в другой размерной серии 2 _2k .

2 _2k фигур n размеров

Космос	Конечный			Евклидово	Гиперболический
п	4	5	6	7	8
Группа Кокстера	А 2 А 2	А 5	E 6	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$= E 6 +	E 6 ++
Диаграмма Кокстера
График				∞	∞
Имя	2 2, -1	2 20	2 21	2 22	2 23

Примечания

использованная литература

• Coxeter The Beauty of Geometry: Twelve Essays , Dover Publications, 1999, ISBN  978-0-486-40919-1 (Глава 3: Конструкция Витхофа для однородных многогранников)
• Регулярные многогранники Кокстера (1963), компания Macmillan
  • Регулярные многогранники , третье издание, (1973), Дуврское издание, ISBN  0-486-61480-8 (Глава 5: Калейдоскоп)
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1] GoogleBook
  • (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• Р. Т. Уорли , Вороной, регион E6 * . J. Austral. Математика. Soc. Сер. А, 43 (1987), 268-278.
• Конвей, Джон Х .; Слоан, Нил Дж. А. (1998). Сферические упаковки, решетки и группы ((3-е изд.) Изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9. p125-126, 8.3 Шестимерные решетки: E6 и E6 *
• Клитцинг, Ричард. «6D Гексакомбы x3o3o3o3o * c3o3o - jakoh» .
• Клитцинг, Ричард. «6D Гексакомбы o3o3x3o3o * c3o3o - ramoh» .

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и однородные соты размером 2-9
Космос	Семья	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$/ /${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {n-1}}$
E 2	Равномерная черепица	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Шестиугольный
E 3	Равномерно выпуклые соты	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Равномерные 4-соты	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-ячеечные соты
E 5	Равномерные 5-соты	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Равномерные 6-соты	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Равномерные 7-соты	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Равномерное 8-соты	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Равномерные 9-соты	{3 [10] }	δ 10	hδ 10	qδ 10
E 10	Равномерные 10-соты	{3 [11] }	δ 11	hδ 11	qδ 11
E n -1	Uniform ( n -1) - соты	{3 [n] }	δ n	hδ n	qδ n	1 к2 • 2 к1 • к 21