Динамические картинки - Dynamical pictures

Часть серии по
Квантовая механика
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Введение Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначения Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Амплитуда вероятности Распределение вероятностей Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовый Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Пространство фока
Эффекты Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома. Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер Функциональная интеграция
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Множественные миры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Транзакционный
Дополнительные темы Гипотеза термализации собственного состояния Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Blackett Блох Бом Бор Рожденный Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

В квантовой механике , динамические картинки (или представление ) являются несколько эквивалентными способами математически сформулировать динамику квантовой системы.

Двумя наиболее важными из них являются изображение Гейзенберга и изображение Шредингера . Они отличаются только изменением базиса в отношении временной зависимости, аналогично лагранжевой и эйлеровой спецификации поля потока : короче говоря, временная зависимость привязана к квантовым состояниям в картине Шредингера и операторам в картине Гейзенберга.

Существует также промежуточная формулировка, известная как картина взаимодействия (или картина Дирака ), которая полезна для выполнения вычислений, когда сложный гамильтониан имеет естественное разложение на простой «свободный» гамильтониан и возмущение .

Уравнения, которые применяются в одном изображении, не обязательно выполняются в другом, потому что зависящие от времени унитарные преобразования связывают операторы в одном изображении с аналогичными операторами в другом. Не во всех учебниках и статьях четко указано, на каком изображении берется каждый оператор, что может привести к путанице.

Картина Шредингера

Фон

В элементарной квантовой механике состояние квантово-механической системы представляется комплексной волновой функцией ψ ( x , t ) . Более абстрактно, состояние может быть представлено как вектор состояния, или кет , | г | ⟩. Этот кет является элементом гильбертова пространства , векторного пространства, содержащего все возможные состояния системы. Квантово-механический оператор - это функция, которая принимает кет | г | ⟩ и возвращает некоторый другой кет | ψ ′ ⟩.

Различия между картинами квантовой механики Шредингера и Гейзейнберга связаны с тем, как поступать с системами, которые развиваются во времени: зависящий от времени характер системы должен поддерживаться некоторой комбинацией векторов состояния и операторов. Например, квантовый гармонический осциллятор может находиться в состоянии | г | ⟩ , для которой среднее значение импульса, , осциллирует синусоидально во времени. Тогда можно спросить, должно ли это синусоидальное колебание отражаться в векторе состояния | г | ⟩, оператор импульса , или оба. Все три варианта действительны; первая дает картину Шредингера, вторая - картину Гейзенберга, а третья - картину взаимодействия. ${\ Displaystyle \ langle \ psi | {\ шляпа {p}} | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle {\ hat {p}}}$

Картина Шредингера полезна при работе с не зависящим от времени гамильтонианом H , то есть . ${\ displaystyle \ partial _ {t} H = 0}$

Оператор эволюции во времени

Определение

Оператор временной эволюции U ( t , t ₀ ) определяется как оператор, который действует на кет в момент времени t _0, чтобы произвести кет в какой-то другой момент времени t :

${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = U (t, t_ {0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle.}$

Для бюстгальтеров , вместо этого мы имеем

${\ displaystyle \ langle \ psi (t) | = \ langle \ psi (t_ {0}) | U ^ {\ dagger} (t, t_ {0}).}$

Характеристики

Унитарность

Оператор временной эволюции должен быть унитарным . Это потому, что мы требуем, чтобы норма государственного кет не менялась со временем. То есть,

${\ Displaystyle \ langle \ psi (t) | \ psi (t) \ rangle = \ langle \ psi (t_ {0}) | U ^ {\ dagger} (t, t_ {0}) U (t, t_ { 0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle = \ langle \ psi (t_ {0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle.}$

Следовательно,

${\ displaystyle U ^ {\ dagger} (t, t_ {0}) U (t, t_ {0}) = I.}$

Личность

Когда t  = t ₀ , U - тождественный оператор , поскольку

${\ displaystyle | \ psi (t_ {0}) \ rangle = U (t_ {0}, t_ {0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle.}$

Закрытие

Временную эволюцию от t ₀ до t можно рассматривать как двухэтапную временную эволюцию, сначала от t ₀ до промежуточного времени t ₁ , а затем от t ₁ до конечного момента t . Следовательно,

${\ displaystyle U (t, t_ {0}) = U (t, t_ {1}) U (t_ {1}, t_ {0}).}$

Дифференциальное уравнение для оператора временной эволюции

Мы опускаем индекс t ₀ в операторе временной эволюции с условием, что t ₀ = 0, и записываем его как U ( t ). Уравнение Шредингера имеет вид

${\ Displaystyle я \ hbar {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = H | \ psi (t) \ rangle,}$

где H - гамильтониан . Теперь, используя оператор эволюции во времени U для записи , мы имеем ${\ Displaystyle | \ psi (t) \ rangle = U (t) | \ psi (0) \ rangle}$

${\ Displaystyle я \ hbar {\ partial \ over \ partial t} U (t) | \ psi (0) \ rangle = HU (t) | \ psi (0) \ rangle.}$

Поскольку это постоянный кет (состояние кет при t = 0 ), и поскольку приведенное выше уравнение верно для любого постоянного кет в гильбертовом пространстве, оператор временной эволюции должен подчиняться уравнению ${\ displaystyle | \ psi (0) \ rangle}$

${\ displaystyle i \ hbar {\ partial \ over \ partial t} U (t) = HU (t).}$

Если гамильтониан не зависит от времени, решение приведенного выше уравнения будет

${\ Displaystyle U (t) = e ^ {- iHt / \ hbar}.}$

Поскольку H является оператором, это экспоненциальное выражение должно оцениваться через его ряд Тейлора :

${\ displaystyle e ^ {- iHt / \ hbar} = 1 - {\ frac {iHt} {\ hbar}} - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {Ht} {\ hbar} } \ right) ^ {2} + \ cdots.}$

Следовательно,

${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e ^ {- iHt / \ hbar} | \ psi (0) \ rangle.}$

Обратите внимание, что это произвольный кет. Однако, если исходный кет является собственным состоянием гамильтониана с собственным значением E , мы получаем: ${\ displaystyle | \ psi (0) \ rangle}$

${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e ^ {- iEt / \ hbar} | \ psi (0) \ rangle.}$

Таким образом, мы видим, что собственные состояния гамильтониана являются стационарными : они принимают только общий фазовый фактор по мере их эволюции со временем.

Если гамильтониан зависит от времени, но гамильтонианы в разное время коммутируют, то оператор временной эволюции можно записать как

${\ Displaystyle U (T) = \ ехр \ влево ({- {\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {0} ^ {t} H (t ') \, dt'} \ right), }$

Если гамильтониан зависит от времени, но гамильтонианы в разное время не коммутируют, то оператор временной эволюции можно записать как

${\ Displaystyle U (t) = \ mathrm {T} \ exp \ left ({- {\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {0} ^ {t} H (t ') \, dt' }\Правильно),}$

где T - оператор временного порядка , который иногда называют серией Дайсона в честь Ф.Д.Дайсона.

Альтернативой картине Шредингера является переключение на вращающуюся систему отсчета, которая сама вращается пропагатором. Поскольку волнообразное вращение теперь принимается самой системой отсчета, функция невозмущенного состояния кажется действительно статической. Это изображение Гейзенберга (ниже).

Картинка Гейзенберга

Картина Гейзенберга - это формулировка (сделанная Вернером Гейзенбергом во время пребывания на Гельголанде в 1920-х годах) квантовой механики, в которой операторы ( наблюдаемые и другие) включают зависимость от времени, но векторы состояния не зависят от времени.

Определение

В гейзенберговской картине квантовой механики вектор состояния не меняется со временем, и наблюдаемая A удовлетворяет ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

где H - гамильтониан, а [•, •] обозначает коммутатор двух операторов (в данном случае H и A ). Взятие математических ожиданий приводит к теореме Эренфеста, представленной в принципе соответствия .

По теореме Стоуна – фон Неймана картина Гейзенберга и картина Шредингера унитарно эквивалентны. В некотором смысле картина Гейзенберга более естественна и удобна, чем эквивалентная картина Шредингера, особенно для релятивистских теорий. Лоренц-инвариантность проявляется в картине Гейзенберга. Этот подход также имеет более прямое сходство с классической физикой : при замене коммутатора, указанного выше, скобкой Пуассона , уравнение Гейзенберга становится уравнением в гамильтоновой механике .

Вывод уравнения Гейзенберга.

Среднее значение наблюдаемой A , который представляет собой эрмиты линейного оператора для данного состояния , даются ${\ Displaystyle | \ psi (т) \ rangle}$

${\ Displaystyle \ langle A \ rangle _ {t} = \ langle \ psi (t) | A | \ psi (t) \ rangle.}$

В картине Шредингера , состояние в момент времени т связана с состоянием в момент времени 0 унитарным оператором времени эволюции , : ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ Displaystyle U (т)}$

${\ Displaystyle | \ psi (t) \ rangle = U (t) | \ psi (0) \ rangle.}$

Если гамильтониан не меняется со временем, то оператор временной эволюции можно записать как

${\ Displaystyle U (т) = е ^ {- iHt / \ hbar},}$

где H - гамильтониан, а ħ - приведенная постоянная Планка . Следовательно,

${\ displaystyle \ langle A \ rangle _ {t} = \ langle \ psi (0) | e ^ {iHt / \ hbar} Ae ^ {- iHt / \ hbar} | \ psi (0) \ rangle.}$

Затем определите

${\ displaystyle A (t): = e ^ {iHt / \ hbar} Ae ^ {- iHt / \ hbar}.}$

Это следует из того

${\ displaystyle {d \ over dt} A (t) = {i \ over \ hbar} He ^ {iHt / \ hbar} Ae ^ {- iHt / \ hbar} + e ^ {iHt / \ hbar} \ left ( {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right) e ^ {- iHt / \ hbar} + {i \ over \ hbar} e ^ {iHt / \ hbar} A \ cdot (-H) e ^ {- iHt / \ hbar}}$

${\ displaystyle = {я \ над \ hbar} e ^ {iHt / \ hbar} \ left (HA-AH \ right) e ^ {- iHt / \ hbar} + e ^ {iHt / \ hbar} \ left ({ \ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right) e ^ {- iHt / \ hbar}}$

${\ Displaystyle = {я \ над \ hbar} \ влево (HA (t) -A (t) H \ right) + e ^ {iHt / \ hbar} \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right) e ^ {- iHt / \ hbar}.}$

Дифференцирование производилось в соответствии с правилом произведения , а ∂ A / ∂ t - это производная по времени исходного A , а не определенного оператора A ( t ). Последнее уравнение имеет место , так как ехр (- ИВТ / ħ ) коммутирует с Н .

Таким образом

${\ displaystyle {d \ over dt} A (t) = {i \ over \ hbar} [H, A (t)] + e ^ {iHt / \ hbar} \ left ({\ frac {\ partial A} { \ partial t}} \ right) e ^ {- iHt / \ hbar},}$

откуда возникает указанное выше уравнение движения Гейзенберга, поскольку конвективная функциональная зависимость от x (0) и p (0) преобразуется в ту же зависимость от x ( t ), p ( t ), так что последний член преобразуется в ∂ A ( t) / ∂ t . [ X ,  Y ] является коммутатором двух операторов и определяется как [ X ,  Y ]: = XY  -  YX .

Уравнение решается с помощью A (t), определенного выше, что очевидно из использования стандартного операторного тождества ,

${\ displaystyle {e ^ {B} Ae ^ {- B}} = A + [B, A] + {\ frac {1} {2!}} [B, [B, A]] + {\ frac {1 } {3!}} [B, [B, [B, A]]] + \ cdots.}$

что подразумевает

${\ displaystyle A (t) = A + {\ frac {it} {\ hbar}} [H, A] - {\ frac {t ^ {2}} {2! \ hbar ^ {2}}} [H, [H, A]] - {\ frac {it ^ {3}} {3! \ Hbar ^ {3}}} [H, [H, [H, A]]] + \ точки}$

Это соотношение также выполняется для классической механики , классического предела вышеизложенного, учитывая соответствие между скобками Пуассона и коммутаторами ,

${\ displaystyle [A, H] \ leftrightarrow я \ hbar \ {A, H \}}$

В классической механике для A без явной зависимости от времени

${\ displaystyle \ {A, H \} = {d \ over dt} A ~,}$

так что, опять же, выражение для A (t) является разложением Тейлора около t = 0.

Коммутаторные отношения

Коммутаторные соотношения могут отличаться от изображения Шредингера из-за временной зависимости операторов. Например, рассмотрим операторы x ( t ₁ ), x ( t ₂ ), p ( t ₁ ) и p ( t ₂ ) . Временная эволюция этих операторов зависит от гамильтониана системы. Рассматривая одномерный гармонический осциллятор,

${\ displaystyle H = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + {\ frac {m \ omega ^ {2} x ^ {2}} {2}}}$ ,

эволюция операторов положения и импульса определяется выражением:

${\ displaystyle {d \ over dt} x (t) = {i \ over \ hbar} [H, x (t)] = {\ frac {p} {m}}}$ ,

${\ displaystyle {d \ over dt} p (t) = {i \ over \ hbar} [H, p (t)] = - m \ omega ^ {2} x}$ .

Еще раз дифференцируя оба уравнения и решая их с соответствующими начальными условиями,

${\ displaystyle {\ dot {p}} (0) = - м \ omega ^ {2} x_ {0},}$

${\ displaystyle {\ dot {x}} (0) = {\ frac {p_ {0}} {m}},}$

приводит к

${\ displaystyle x (t) = x_ {0} \ cos (\ omega t) + {\ frac {p_ {0}} {\ omega m}} \ sin (\ omega t)}$ ,

${\ Displaystyle п (т) = п_ {0} \ соз (\ омега т) -м \ омега \! х_ {0} \ грех (\ омега т)}$ .

Прямое вычисление дает более общие коммутаторные соотношения,

${\ displaystyle [x (t_ {1}), x (t_ {2})] = {\ frac {i \ hbar} {m \ omega}} \ sin (\ omega t_ {2} - \ omega t_ {1 })}$ ,

${\ Displaystyle [п (т_ {1}), п (т_ {2})] = я \ бар м \ омега \ грех (\ омега т_ {2} - \ омега т_ {1})}$ ,

${\ Displaystyle [Икс (T_ {1}), p (T_ {2})] = я \ HBAR \ cos (\ omega t_ {2} - \ omega t_ {1})}$ .

В самом деле, можно просто восстановить стандартные канонические коммутационные соотношения, действительные на всех рисунках. ${\ displaystyle t_ {1} = t_ {2}}$

Изображение взаимодействия

Картина взаимодействия наиболее полезна, когда эволюция наблюдаемых может быть решена точно, ограничивая любые сложности эволюцией состояний. По этой причине гамильтониан для наблюдаемых называется «свободным гамильтонианом», а гамильтониан для состояний - «гамильтонианом взаимодействия».

Определение

Операторы и векторы состояния в картине взаимодействия связаны изменением базиса ( унитарное преобразование ) с теми же операторами и векторами состояния в картине Шредингера.

Чтобы переключиться на картину взаимодействия, мы разделим гамильтониан картины Шредингера на две части:

Любой возможный выбор частей даст достоверную картину взаимодействия; но для того, чтобы картина взаимодействия была полезной для упрощения анализа проблемы, части обычно выбираются так, чтобы они были хорошо поняты и точно решаемы, но при этом содержали некоторые трудные для анализа возмущения для этой системы. ${\ displaystyle H_ {0, S}}$${\ displaystyle H_ {1, S}}$

Если гамильтониан имеет явную зависимость от времени (например, если квантовая система взаимодействует с приложенным внешним электрическим полем, которое изменяется во времени), обычно будет выгодно включить явно зависящие от времени члены с , оставив независимые от времени. Мы продолжаем предполагать, что это так. Если это контекст , в котором оно имеет смысл иметь быть в зависимости от времени, то можно продолжить, заменив соответствующий оператор времени эволюции в определениях ниже. ${\ displaystyle H_ {1, S}}$${\ displaystyle H_ {0, S}}$${\ displaystyle H_ {0, S}}$${\ displaystyle e ^ {\ pm iH_ {0, S} t / \ hbar}}$

Векторы состояния

Вектор состояния в картинке взаимодействия определяется как

где - тот же вектор состояния, что и в картине Шредингера. ${\ Displaystyle | \ psi _ {S} (т) \ rangle}$

Операторы

Оператор в картинке взаимодействия определяется как

Обратите внимание, что обычно не зависит от t и может быть переписан как just . Это зависит от t только в том случае, если оператор имеет «явную зависимость от времени», например, из-за его зависимости от приложенного внешнего, изменяющегося во времени электрического поля. ${\ Displaystyle A_ {S} (т)}$${\ displaystyle A_ {S}}$

Гамильтонов оператор

Для самого оператора картина взаимодействия и картина Шредингера совпадают: ${\ displaystyle H_ {0}}$

${\ displaystyle H_ {0, I} (t) = e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} H_ {0, S} e ^ {- iH_ {0, S} t / \ hbar} = H_ {0, S}.}$

Это легко увидеть по тому факту, что операторы коммутируют с дифференцируемыми функциями самих себя. Этот конкретный оператор затем может быть назван H ₀ без двусмысленности.

Для возмущения гамильтониана H _{1, я} , однако,

${\ displaystyle H_ {1, I} (t) = e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} H_ {1, S} e ^ {- iH_ {0, S} t / \ hbar},}$

где гамильтониан возмущения картины взаимодействия становится гамильтонианом, зависящим от времени, если только [ H _{1, s} , H _{0, s} ] = 0.

Можно также получить картину взаимодействия для зависящего от времени гамильтониана H _{0, s} ( t ), но экспоненты необходимо заменить унитарным пропагатором для эволюции, порождаемой H _{0, s} ( t ) или более. явно с упорядоченным по времени экспоненциальным интегралом.

Матрица плотности

Матрица плотности может быть показано , что преобразование к картине взаимодействия таким же образом , как и любой другой оператор. В частности, пусть и - матрица плотности в картине взаимодействия и картине Шредингера, соответственно. Если есть вероятность находиться в физическом состоянии , то ${\ displaystyle \ rho _ {I}}$${\ displaystyle \ rho _ {S}}$${\ displaystyle p_ {n}}$${\ displaystyle | \ psi _ {n} \ rangle}$

${\ displaystyle \ rho _ {I} (t) = \ sum _ {n} p_ {n} (t) | \ psi _ {n, I} (t) \ rangle \ langle \ psi _ {n, I} (t) | = \ sum _ {n} p_ {n} (t) e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} | \ psi _ {n, S} (t) \ rangle \ langle \ psi _ {n, S} (t) | e ^ {- iH_ {0, S} t / \ hbar} = e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} \ rho _ {S} (t) e ^ {- iH_ {0, S} t / \ hbar}.}$

Уравнения эволюции во времени

состояния

Преобразование уравнения Шредингера в картину взаимодействия дает:

${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} | \ psi _ {I} (t) \ rangle = H_ {1, I} (t) | \ psi _ {I} (t) \ rangle .}$

Это уравнение называется Швингер - Томонаги уравнения .

Операторы

Если оператор не зависит от времени (т. Е. Не имеет «явной зависимости от времени»; см. Выше), то соответствующая временная эволюция для определяется как: ${\ displaystyle A_ {S}}$${\ Displaystyle A_ {I} (т)}$

${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} A_ {I} (t) = \ left [A_ {I} (t), H_ {0} \ right]. \;}$

В картине взаимодействия операторы эволюционируют во времени, как операторы в картине Гейзенберга с гамильтонианом . ${\ displaystyle H '= H_ {0}}$

Матрица плотности

Преобразование уравнения Швингера – Томонага на язык матрицы плотности (или, что то же самое, преобразование уравнения фон Неймана в картину взаимодействия) дает:

${\ Displaystyle я \ hbar {\ гидроразрыва {d} {dt}} \ rho _ {I} (t) = \ left [H_ {1, I} (t), \ rho _ {I} (t) \ right ].}$

Существование

Картина взаимодействия не всегда существует. Во взаимодействующих квантовых теориях поля теорема Хаага утверждает, что картины взаимодействия не существует. Это связано с тем, что гамильтониан нельзя разделить на свободную и взаимодействующую части в пределах сектора суперотбора. Более того, даже если в картине Шредингера гамильтониан не зависит от времени, например H = H ₀ + V , в картине взаимодействия он зависит , по крайней мере, если V не коммутирует с H ₀ , поскольку

${\ displaystyle H _ {\ rm {int}} (t) \ Equiv e ^ {{(i / \ hbar}) tH_ {0}} \, V \, e ^ {{(- i / \ hbar}) tH_ {0}}}$ .

Сравнение картинок

Картина Гейзенберга наиболее близка к классической гамильтоновой механике (например, коммутаторы, фигурирующие в приведенных выше уравнениях, напрямую соответствуют классическим скобкам Пуассона ). Картина Шредингера, предпочтительная формулировка во вводных текстах, легко визуализируется в терминах вращения векторов состояния в гильбертовом пространстве , хотя ей не хватает естественного обобщения на лоренц-инвариантные системы. Картина Дирака наиболее полезна в нестационарной и ковариантной теории возмущений, поэтому она подходит для квантовой теории поля и физики многих тел .

Сводное сравнение эволюций

Эволюция	Изображение ( v т е )
из:	Гейзенберг	Взаимодействие	Шредингер
Кетское государство	постоянный	${\ displaystyle | \ psi _ {\ rm {I}} (t) \ rangle = e ^ {iH_ {0, \ mathrm {S}} ~ t / \ hbar} | \ psi _ {\ rm {S}} (т) \ rangle}$	${\ displaystyle | \ psi _ {\ rm {S}} (t) \ rangle = e ^ {- iH _ {\ rm {S}} ~ t / \ hbar} | \ psi _ {\ rm {S}} ( 0) \ rangle}$
Наблюдаемый	${\ displaystyle A _ {\ rm {H}} (t) = e ^ {iH _ {\ rm {S}} ~ t / \ hbar} A _ {\ rm {S}} e ^ {- iH _ {\ rm {S }} ~ t / \ hbar}}$	${\ displaystyle A _ {\ rm {I}} (t) = e ^ {iH_ {0, \ mathrm {S}} ~ t / \ hbar} A _ {\ rm {S}} e ^ {- iH_ {0, \ mathrm {S}} ~ т / \ hbar}}$	постоянный
Матрица плотности	постоянный	${\ displaystyle \ rho _ {\ rm {I}} (t) = e ^ {iH_ {0, \ mathrm {S}} ~ t / \ hbar} \ rho _ {\ rm {S}} (t) e ^ {- iH_ {0, \ mathrm {S}} ~ t / \ hbar}}$	${\ displaystyle \ rho _ {\ rm {S}} (t) = e ^ {- iH _ {\ rm {S}} ~ t / \ hbar} \ rho _ {\ rm {S}} (0) e ^ {iH _ {\ rm {S}} ~ t / \ hbar}}$

Эквивалентность

Очевидно, что ожидаемые значения всех наблюдаемых одинаковы на картинах Шредингера, Гейзенберга и Взаимодействия,

${\ Displaystyle \ langle \ psi \ mid A (t) \ mid \ psi \ rangle = \ langle \ psi (t) \ mid A \ mid \ psi (t) \ rangle = \ langle \ psi _ {I} (t ) \ mid A_ {I} (t) \ mid \ psi _ {I} (t) \ rangle ~,}$

как они должны.

Смотрите также

• Уравнение Гамильтона – Якоби
• Обозначение бюстгальтера

Ноты

использованная литература

• Коэн-Таннуджи, Клод ; Бернар Диу; Фрэнк Лало (1977). Квантовая механика (Том первый) . Пэрис: Вайли. С. 312–314. ISBN   0-471-16433-X .
• Альберт Мессия , 1966. Квантовая механика (Том I), английский перевод с французского, сделанный Г.М. Теммером. Северная Голландия, John Wiley & Sons.
• Мерцбахер Э. , Квантовая механика (3-е изд., Джон Вили, 1998) с. 430-1 ISBN   0-471-88702-1
• Ландау Л.Д. , Лифшиц Е.М. (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Vol. 3 (3-е изд.). Pergamon Press . ISBN   978-0-08-020940-1 . Интернет-копия
• Р. Шанкар (1994); Принципы квантовой механики , Plenum Press, ISBN   978-0306447907 .
• Дж. Дж. Сакураи (1993); Современная квантовая механика (пересмотренное издание), ISBN   978-0201539295 .

внешние ссылки

• Педагогические пособия по квантовой теории поля Щелкните ссылку для перехода к гл. 2, чтобы найти обширное упрощенное введение в картину Гейзенберга.