Уравнение Клейна – Гордона - Klein–Gordon equation

Уравнение Клейна – Гордона ( уравнение Клейна – Фока – Гордона или иногда уравнение Клейна – Гордона – Фока ) является релятивистским волновым уравнением , связанным с уравнением Шредингера . Он имеет второй порядок в пространстве и времени и явно лоренц-ковариантен . Это квантованная версия релятивистского соотношения энергия-импульс . Его решения включают квантовое скалярное или псевдоскалярное поле , поле, кванты которого являются бесспиновыми частицами. Его теоретическая значимость аналогична уравнению Дирака . Электромагнитные взаимодействия могут быть включены, образуя тему скалярной электродинамики , но поскольку обычные бесспиновые частицы, такие как пионы , нестабильны, а также испытывают сильное взаимодействие (с неизвестным членом взаимодействия в гамильтониане ), практическая полезность ограничена.

Уравнение можно представить в виде уравнения Шредингера. В этой форме он выражается в виде двух связанных дифференциальных уравнений, каждое первого порядка по времени. Решения состоят из двух компонентов, отражающих степень свободы заряда в теории относительности. Он допускает сохраняющуюся величину, но не является положительно определенной. Следовательно, волновую функцию нельзя интерпретировать как амплитуду вероятности . Вместо этого сохраняющаяся величина интерпретируется как электрический заряд , а квадрат нормы волновой функции интерпретируется как плотность заряда . Уравнение описывает все бесспиновые частицы с положительным, отрицательным и нулевым зарядом.

Любое решение свободного уравнения Дирака для каждой из его четырех компонент является решением свободного уравнения Клейна – Гордона. Уравнение Клейна – Гордона не является основой последовательной квантовой релятивистской одночастичной теории. Для частиц любого спина такой теории не существует. Для полного согласования квантовой механики со специальной теорией относительности необходима квантовая теория поля , в которой уравнение Клейна – Гордона появляется снова как уравнение, которому подчиняются компоненты всех свободных квантовых полей. В квантовой теории поля решения свободных (невзаимодействующих) версий исходных уравнений все еще играют роль. Они необходимы для построения гильбертова пространства (пространства Фока ) и для выражения квантовых полей с использованием полных наборов (покрывающих множеств гильбертова пространства) волновых функций.

Заявление

Уравнение Клейна-Гордона можно записать по-разному. Само уравнение обычно относится к пространственной форме положения, где оно может быть записано в терминах разделенных пространственных и временных компонентов или путем объединения их в четырехвектор . Путем преобразования Фурье поля в импульсное пространство решение обычно записывается в терминах суперпозиции плоских волн , энергия и импульс которых подчиняются соотношению дисперсии энергии-импульса из специальной теории относительности . Здесь уравнение Клейна-Гордона дается для обоих двух общих соглашений о метрической сигнатуре .

Уравнение Клейна-Гордона в нормальных единицах с метрической сигнатурой
Позиционное пространство

Преобразование Фурье

Импульсное пространство

Отдельно

время и место

Четырехвекторная форма

Здесь есть d'оператор Даламбера и является оператор Лапласа . Скорость света и постоянной Планка часто рассматривается загромождать уравнения, поэтому поэтому они часто выражаются в натуральных единицах где .

Уравнение Клейна-Гордона в натуральных единицах с метрической сигнатурой
Позиционное пространство

Преобразование Фурье

Импульсное пространство

Отдельно

время и место

Четырехвекторная форма

В отличие от уравнения Шредингера, уравнение Клейна – Гордона допускает два значения ω для каждого k : одно положительное и одно отрицательное. Только разделив положительную и отрицательную частотные части, можно получить уравнение, описывающее релятивистскую волновую функцию. Для не зависящего от времени случая уравнение Клейна – Гордона принимает вид

которое формально совпадает с однородным экранированным уравнением Пуассона .

Решение для свободной частицы

Здесь уравнение Клейна-Гордона в натуральных единицах с метрической сигнатурой решается преобразованием Фурье. Вставка преобразования Фурье

а использование ортогональности комплексных экспонент дает дисперсионное соотношение
Это ограничивает импульсы теми, которые лежат на оболочке , давая решения с положительной и отрицательной энергией.
Для нового набора констант решение становится
Принято обрабатывать решения с положительной и отрицательной энергией, разделяя отрицательные энергии и работая только с положительными :
На последнем этапе был переименован. Теперь мы можем выполнить -интеграцию, взяв положительную частотную часть только из дельта-функции:

Это обычно считается общим решением уравнения Клейна-Гордона. Обратите внимание, что, поскольку исходное преобразование Фурье содержало инвариантные лоренц-величины такие , как only, последнее выражение также является лоренц-инвариантным решением уравнения Клейна-Гордона. Если не требуется лоренц-инвариантности, можно включить -фактор в коэффициенты и .

История

Уравнение было названо в честь физиков Оскара Клейна и Уолтера Гордона , которые в 1926 году предположили, что оно описывает релятивистские электроны. Другими авторами, делающими аналогичные заявления в том же году, были Владимир Фок , Иоганн Кудар, Теофиль де Дондер и Франс-Х. ван ден Дунген и Луи де Бройль . Хотя оказалось, что для моделирования спина электрона требуется уравнение Дирака, уравнение Клейна – Гордона правильно описывает бесспиновые релятивистские составные частицы , такие как пион . 4 июля 2012 года Европейская организация ядерных исследований ЦЕРН объявила об открытии бозона Хиггса . Поскольку бозон Хиггса является частицей с нулевым спином, это первая наблюдаемая якобы элементарная частица, описываемая уравнением Клейна – Гордона. Требуются дальнейшие эксперименты и анализ, чтобы определить, является ли наблюдаемый бозон Хиггса бозоном Стандартной модели или более экзотической, возможно, составной формой.

Уравнение Клейна – Гордона было впервые рассмотрено как квантовое волновое уравнение Шредингером в его поисках уравнения, описывающего волны де Бройля . Уравнение находится в его записных книжках с конца 1925 года, и он, кажется, подготовил рукопись, применив его к атому водорода. Тем не менее, поскольку в нем не учитывается спин электрона, уравнение неверно предсказывает тонкую структуру атома водорода, в том числе завышает общую величину картины расщепления в несколько раз. 4 п/2 п - 1для n -го уровня энергии. Однако релятивистский спектр уравнения Дирака легко восстановить, если квантовое число орбитального момента l заменить на квантовое число полного углового момента j . В январе 1926 года Шредингер представил для публикации вместо этого свое уравнение, нерелятивистское приближение, которое предсказывает боровские уровни энергии водорода без тонкой структуры .

В 1926 году, вскоре после того, как было введено уравнение Шредингера, Владимир Фок написал статью о его обобщении на случай магнитных полей , где силы зависят от скорости , и независимо вывел это уравнение. И Клейн, и Фок использовали метод Калуцы и Клейна. Фок также определил калибровочную теорию для волнового уравнения . Уравнение Клейна – Гордона для свободной частицы имеет простое решение в виде плоской волны .

Вывод

Нерелятивистское уравнение для энергии свободной частицы имеет вид

Квантовав это, мы получим нерелятивистское уравнение Шредингера для свободной частицы:

куда

- оператор импульса ( - оператор дель ), а

- оператор энергии .

Уравнение Шредингера страдает тем, что не является релятивистски инвариантным , что означает, что оно несовместимо со специальной теорией относительности .

Естественно попытаться использовать тождество из специальной теории относительности, описывающее энергию:

Тогда простая вставка квантово-механических операторов для импульса и энергии приводит к уравнению

Квадратный корень из дифференциального оператора может быть определен с помощью преобразований Фурье , но из-за асимметрии пространственных и временных производных Дирак обнаружил, что невозможно включить внешние электромагнитные поля релятивистски инвариантным образом. Поэтому он стал искать другое уравнение, которое можно изменить, чтобы описать действие электромагнитных сил. Кроме того, это уравнение в его нынешнем виде нелокально (см. Также Введение в нелокальные уравнения ).

Кляйн и Гордон вместо этого начали с квадрата вышеуказанного тождества, т. Е.

что при квантовании дает

что упрощает

Изменение условий доходности

Поскольку все ссылки на мнимые числа были исключены из этого уравнения, его можно применять к полям с действительными значениями , а также к полям с комплексными значениями .

Переписывая первые два члена с использованием обратной метрики Минковского diag (- c 2 , 1, 1, 1) и явно записывая соглашение Эйнштейна о суммировании, мы получаем

Таким образом, уравнение Клейна – Гордона можно записать в ковариантной записи. Часто это означает сокращение в виде

куда

а также

Этот оператор называется оператором Даламбера .

Сегодня эта форма интерпретируется как уравнение релятивистского поля для частиц со спином -0. Более того, любой компонент любого решения свободного уравнения Дирака (для частицы со спином 1/2 ) автоматически является решением свободного уравнения Клейна – Гордона. Это обобщается на частицы любого спина в соответствии с уравнениями Баргмана – Вигнера . Более того, в квантовой теории поля каждый компонент каждого квантового поля должен удовлетворять свободному уравнению Клейна – Гордона, что делает уравнение общим выражением квантовых полей.

Уравнение Клейна – Гордона в потенциале

Уравнение Клейна – Гордона можно обобщить для описания поля в некотором потенциале V ( ψ ) как

Сохраненный ток

Сохраняющийся ток, связанный с U (1) -симметрией комплексного поля, удовлетворяющего уравнению Клейна – Гордона, имеет вид

Форма сохраняющегося тока может быть получена систематически, применяя теорему Нётер к симметрии U (1). Мы не будем делать этого здесь, а просто дадим доказательство того, что этот сохраняющийся ток верен.

Доказательство с использованием алгебраических манипуляций из уравнения КГ.

Из уравнения Клейна – Гордона для комплексного поля масс , записанного в ковариантных обозначениях

и его комплексно сопряженный

мы имеем, умножая слева соответственно на и (и опуская для краткости явную зависимость),

Вычитая первое из второго, получаем

тогда мы также знаем

откуда получаем закон сохранения для поля Клейна – Гордона:

Действие

Уравнение Клейна – Гордона также может быть получено вариационным методом с учетом действия

где ψ - поле Клейна – Гордона, m - его масса. Комплексно сопряженное из ф записывается ψ . Если скалярное поле считается действительным, то ψ = ψ , и принято вводить множитель 1/2 для обоих членов.

Применяя формулу для тензора энергии-импульса Гильберта к плотности лагранжиана (величина внутри интеграла), мы можем получить тензор энергии-импульса скалярного поля. это

Путем интегрирования временной компоненты T 00 по всему пространству можно показать, что решения плоских волн как с положительной, так и с отрицательной частотой могут быть физически связаны с частицами с положительной энергией. Это не так для уравнения Дирака и его тензора энергии-импульса.

Нерелятивистский предел

Классическое поле

Переход к нерелятивистскому пределу ( vc ) классического поля Клейна-Гордона ψ ( x , t ) начинается с анзаца, разлагающего на множители осциллирующий член энергии массы покоя :

Определение кинетической энергии , в нерелятивистском пределе в ~ р << гр , а следовательно ,

Применение этого дает нерелятивистский предел второй производной по времени ,

Подстановка в свободное уравнение Клейна – Гордона , дает

что (путем деления экспоненты и вычитания массового члена) упрощается до

Это классическое поле Шредингера .

Квантовое поле

Аналогичный предел квантового поля Клейна-Гордона осложняется некоммутативностью оператора поля. В пределе об « с , то операторы рождения и уничтожения разъединить и ведут себя как независимые квантовых Шрёдингера полей .

Электромагнитное взаимодействие

Существует простой способ заставить любое поле взаимодействовать с электромагнетизмом калибровочно-инвариантным образом: заменить операторы производной на операторы калибровочно-ковариантной производной. Это связано с тем, что для поддержания симметрии физических уравнений для волновой функции при локальном калибровочном преобразовании U (1) , где - локально переменный фазовый угол, это преобразование перенаправляет волновую функцию в комплексном фазовом пространстве, определяемом формулой , требуется, чтобы обычные производные заменяются калибровочно-ковариантными производными , а калибровочные поля преобразуются как . Таким образом, с метрической сигнатурой (-, +, +, +) уравнение Клейна – Гордона принимает вид

в натуральных единицах , где А - векторный потенциал. Хотя можно добавить много терминов более высокого порядка, например,

эти члены нельзя перенормировать в размерности 3 + 1.

Уравнение поля для заряженного скалярного поля умножается на i , что означает, что поле должно быть комплексным. Чтобы поле было заряженным, оно должно иметь две компоненты, которые могут вращаться друг в друга, реальную и мнимую части.

Действие для безмассового заряженного скаляра является ковариантной версией незаряженного действия:

Гравитационное взаимодействие

В общую теорию относительности мы включаем эффект гравитации, заменяя частные производные ковариантными , и уравнение Клейна – Гордона становится (в сигнатуре в основном плюсов )

или эквивалентно,

где g αβ - обратный метрическому тензору, который является гравитационным потенциальным полем, g - определитель метрического тензора, μ - ковариантная производная , а Γ σ μν - символ Кристоффеля, который является гравитационным силовым полем .

Смотрите также

Замечания

Примечания

использованная литература

внешние ссылки