Наблюдаемый - Observable

В физике , наблюдаемый является физической величиной , которую можно измерить. Примеры включают позицию и импульс . В системах, управляемых классической механикой , это действительная «функция» на множестве всех возможных состояний системы. В квантовой физике это оператор или калибровка , где свойство квантового состояния может быть определено с помощью некоторой последовательности операций . Например, эти операции могут включать в себя воздействие на систему различных электромагнитных полей и, в конечном итоге, считывание значения.

Физически значимые наблюдаемые должны также удовлетворять законам преобразования, которые связывают наблюдения, выполненные разными наблюдателями в разных системах отсчета . Эти законы преобразования являются автоморфизмами пространства состояний, то есть биективными преобразованиями , сохраняющими определенные математические свойства рассматриваемого пространства.

Квантовая механика

В квантовой физике наблюдаемые проявляются как линейные операторы в гильбертовом пространстве, представляющем пространство состояний квантовых состояний. Собственные значения наблюдаемых - это действительные числа, которые соответствуют возможным значениям, которые динамическая переменная, представленная наблюдаемым, может быть измерена как имеющая. То есть наблюдаемые в квантовой механике присваивают действительные числа результатам конкретных измерений , соответствующие собственному значению оператора относительно измеренного квантового состояния системы . Как следствие, только определенные измерения могут определить значение наблюдаемой для некоторого состояния квантовой системы. В классической механике можно произвести любое измерение, чтобы определить значение наблюдаемой.

Связь между состоянием квантовой системы и значением наблюдаемой требует некоторой линейной алгебры для ее описания. В математической формулировке квантовой механики , состояния задаются ненулевыми векторами в пространстве Гильберта V . Считается, что два вектора v и w задают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда для некоторого ненулевого значения . Наблюдаемые задаются самосопряжёнными операторами на V . Однако, как указано ниже, не каждый самосопряженный оператор соответствует физически значимой наблюдаемой. В случае системы частиц пространство V состоит из функций, называемых волновыми функциями или векторами состояния . ${\displaystyle \mathbf {w} =c\mathbf {v} }$${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$

В случае законов преобразования в квантовой механике, требуемые автоморфизмы являются унитарными (или антиунитарными ) линейными преобразованиями пространства Гильберта V . В рамках теории относительности Галилея или специальной теории относительности математика систем отсчета особенно проста, что значительно ограничивает набор физически значимых наблюдаемых.

В квантовой механике измерение наблюдаемых проявляет некоторые, казалось бы, неинтуитивные свойства. В частности, если система находится в состоянии, описываемом вектором в гильбертовом пространстве , процесс измерения влияет на состояние недетерминированным, но статистически предсказуемым образом. В частности, после применения измерения описание состояния одним вектором может быть уничтожено и заменено статистическим ансамблем . Необратим характер операций измерения в квантовой физике иногда называют измерительной задачей и описывается математически квантовыми операциями . По структуре квантовых операций это описание математически эквивалентно описанию, предлагаемому интерпретацией относительного состояния, когда исходная система рассматривается как подсистема более крупной системы, а состояние исходной системы задается частичным следом состояния системы. система большего размера.

В квантовой механике динамические переменные, такие как положение, поступательный (линейный) момент , орбитальный угловой момент , спин и полный угловой момент , связаны с эрмитовым оператором, который действует на состояние квантовой системы. Собственные значения оператора соответствуют возможным значениям, которые может иметь динамическая переменная. Например, предположим, что это собственный набор ( собственный вектор ) наблюдаемого с собственным значением , существующий в гильбертовом пространстве . потом ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle |\psi _{a}\rangle }$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\hat {A}}|\psi _{a}\rangle =a|\psi _{a}\rangle .}$

Это собственное уравнение говорит о том, что если измерение наблюдаемого выполняется в то время, когда интересующая система находится в состоянии , то наблюдаемое значение этого конкретного измерения должно с уверенностью возвращать собственное значение . Однако, если интересующая система находится в общем состоянии , то собственное значение возвращается с вероятностью по правилу Борна . ${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle |\psi _{a}\rangle }$${\displaystyle a}$${\displaystyle |\phi \rangle \in {\mathcal {H}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle |\langle \psi _{a}|\phi \rangle |^{2}}$

Приведенное выше определение в некоторой степени зависит от нашего соглашения о выборе действительных чисел для представления реальных физических величин . В самом деле, то, что динамические переменные «реальны», а не «нереальны» в метафизическом смысле, не означает, что они должны соответствовать действительным числам в математическом смысле.

Чтобы быть более точным, динамическая переменная / наблюдаемая является самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве.

Операторы в конечномерных и бесконечномерных гильбертовых пространствах

Наблюдаемые могут быть представлены эрмитовой матрицей, если гильбертово пространство конечномерно. В бесконечномерном гильбертовом пространстве наблюдаемое представлено симметричным оператором , который не может быть определен везде . Причина такого изменения заключается в том, что в бесконечномерном гильбертовом пространстве наблюдаемый оператор может стать неограниченным , что означает, что он больше не имеет наибольшего собственного значения. В конечномерном гильбертовом пространстве дело обстоит иначе: оператор может иметь не больше собственных значений, чем размерность состояния, в котором он действует, и благодаря свойству хорошей упорядоченности любой конечный набор действительных чисел имеет наибольший элемент. Так , например, положение точечной частицы , двигающейся вдоль линия может принимать любое действительное число в качестве значения, а множество действительных чисел является несчетным бесконечным . Поскольку собственное значение наблюдаемой представляет собой возможную физическую величину, которую может принимать соответствующая динамическая переменная, мы должны заключить, что не существует наибольшего собственного значения для наблюдаемой позиции в этом несчетно бесконечномерном гильбертовом пространстве.

Несовместимость наблюдаемых в квантовой механике

Ключевое различие между классическими величинами и квантово-механическими наблюдаемыми состоит в том, что последние не могут быть измерены одновременно, свойство, называемое дополнительностью . Математически это выражается некоммутативностью соответствующих операторов, так что коммутатор

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]:={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}\neq {\hat {0}}.}$

Это неравенство выражает зависимость результатов измерений от порядка, в котором выполняются измерения наблюдаемых и . Наблюдаемые, соответствующие некоммутирующим операторам, называются несовместимыми наблюдаемыми . Несовместимые наблюдаемые не могут иметь полный набор общих собственных функций . Обратите внимание, что может быть несколько одновременных собственных векторов и , но их недостаточно, чтобы составить полный базис . ${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$

Смотрите также

• Мера (физика)
• Наблюдаемая Вселенная
• Наблюдатель (квантовая физика)
• Таблица операторов QM
• Ненаблюдаемый

дальнейшее чтение