Шредингер картина - Schrödinger picture
Часть цикла статей о |
Квантовая механика |
---|
В физике , то картина Шредингера является формулировкой из квантовой механики , в которой векторы состояния развиваются во время, но операторы (наблюдаемые и другие) являются постоянными по времени. Это отличается от картины Гейзенберга, в которой состояния остаются постоянными, в то время как наблюдаемые эволюционируют во времени, и от картины взаимодействия, в которой и состояния, и наблюдаемые развиваются во времени. Картины Шредингера и Гейзенберга связаны между собой, поскольку активные и пассивные преобразования и коммутационные соотношения между операторами сохраняются в переходе между двумя изображениями.
В картине Шредингера состояние системы меняется со временем. Эволюция замкнутой квантовой системы осуществляется унитарным оператором , оператором временной эволюции . Для эволюции во времени от вектора состояния в момент времени t 0 до вектора состояния в момент времени t обычно записывают оператор эволюции во времени , и один имеет
В случае, когда гамильтониан системы не меняется во времени, оператор временной эволюции имеет вид
где показатель степени оценивается через его ряд Тейлора .
Картина Шредингера полезна при работе с не зависящим от времени гамильтонианом H ; то есть .
Фон
В элементарной квантовой механике состояние квантово-механической системы представляется комплексной волновой функцией ψ ( x , t ) . Более абстрактно, состояние может быть представлено в виде вектора состояния, или кета , . Этот кет является элементом гильбертова пространства , векторного пространства, содержащего все возможные состояния системы. Квантово-механический оператор - это функция, которая принимает кет и возвращает другой кет .
Различия между картинами квантовой механики Шредингера и Гейзенберга связаны с тем, как поступать с системами, которые развиваются во времени: зависящий от времени характер системы должен поддерживаться некоторой комбинацией векторов состояния и операторов. Например, квантовый гармонический осциллятор может находиться в состоянии, для которого математическое ожидание импульса колеблется во времени синусоидально. Тогда можно спросить, должно ли это синусоидальное колебание отражаться в векторе состояния , в операторе импульса или в обоих. Все три варианта действительны; первая дает картину Шредингера, вторая - картину Гейзенберга, а третья - картину взаимодействия.
Оператор эволюции во времени
Определение
Оператор эволюции во времени U ( t , t 0 ) определяется как оператор, который действует на кет в момент времени t 0, чтобы произвести кет в какой-то другой момент времени t :
Для бюстгальтеров ,
Характеристики
- Унитарность
Оператор временной эволюции должен быть унитарным . Это норма государства, не должна меняться со временем. То есть,
Следовательно,
- Личность
Когда t = t 0 , U - тождественный оператор , поскольку
- Закрытие
Временную эволюцию от t 0 до t можно рассматривать как двухэтапную временную эволюцию, сначала от t 0 до промежуточного времени t 1 , а затем от t 1 до конечного момента t . Следовательно,
Дифференциальное уравнение для оператора временной эволюции
Мы опускаем индекс t 0 в операторе временной эволюции с условием, что t 0 = 0, и записываем его как U ( t ). Уравнение Шредингера имеет вид
где H - гамильтониан . Теперь, используя оператор эволюции во времени U, запишем :
Поскольку это постоянный кет (состояние кет при t = 0 ), и поскольку приведенное выше уравнение верно для любого постоянного кет в гильбертовом пространстве, оператор временной эволюции должен подчиняться уравнению
Если гамильтониан не зависит от времени, решение приведенного выше уравнения будет
Поскольку H является оператором, это экспоненциальное выражение должно оцениваться через его ряд Тейлора :
Следовательно,
Обратите внимание, что это произвольный кет. Однако, если исходный кет-код является собственным состоянием гамильтониана с собственным значением E :
Собственные состояния гамильтониана - это стационарные состояния : они принимают только общий фазовый фактор по мере того, как они развиваются со временем.
Если гамильтониан зависит от времени, но гамильтонианы в разное время коммутируют, то оператор временной эволюции можно записать как
Если гамильтониан зависит от времени, но гамильтонианы в разное время не коммутируют, то оператор временной эволюции можно записать как
где T - оператор временного порядка , который иногда называют серией Дайсона в честь Фримена Дайсона .
Альтернативой картине Шредингера является переключение на вращающуюся систему отсчета, которая сама вращается пропагатором. Поскольку волнообразное вращение теперь принимается самой системой отсчета, функция невозмущенного состояния кажется действительно статической. Это картина Гейзенберга .
Сводное сравнение эволюции на всех картинках
Для не зависящего от времени гамильтониана H S , где H 0, S - свободный гамильтониан,
Эволюция | Изображение ( ) | ||
из: | Гейзенберг | Взаимодействие | Шредингер |
Кетское государство | постоянный | ||
Наблюдаемый | постоянный | ||
Матрица плотности | постоянный |
Смотрите также
- Уравнение Гамильтона – Якоби
- Картинка взаимодействия
- Картинка Гейзенберга
- Формулировка фазового пространства
- POVM
- Математическая формулировка квантовой механики
Примечания
использованная литература
- Коэн-Таннуджи, Клод ; Бернар Диу; Фрэнк Лало (1977). Квантовая механика (Том первый) . Пэрис: Вайли. С. 312–314. ISBN 0-471-16433-X.
- Альберт Мессия , 1966. Квантовая механика (Том I), английский перевод с французского, сделанный Г.М. Теммером. Северная Голландия, John Wiley & Sons.
- Мерцбахер Э. , Квантовая механика (3-е изд., Джон Вили, 1998) с. 430-1 ISBN 0-471-88702-1
-
Ландау Л.Д. , Лифшиц Е.М. (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Vol. 3 (3-е изд.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1.
|volume=
имеет дополнительный текст ( справка ) Интернет-копия - Р. Шанкар (1994); Принципы квантовой механики , Plenum Press, ISBN 978-0-306-44790-7 .
- Дж. Дж. Сакураи (1993); Современная квантовая механика (пересмотренное издание), ISBN 978-0-201-53929-5 .