Шредингер картина - Schrödinger picture

В физике , то картина Шредингера является формулировкой из квантовой механики , в которой векторы состояния развиваются во время, но операторы (наблюдаемые и другие) являются постоянными по времени. Это отличается от картины Гейзенберга, в которой состояния остаются постоянными, в то время как наблюдаемые эволюционируют во времени, и от картины взаимодействия, в которой и состояния, и наблюдаемые развиваются во времени. Картины Шредингера и Гейзенберга связаны между собой, поскольку активные и пассивные преобразования и коммутационные соотношения между операторами сохраняются в переходе между двумя изображениями.

В картине Шредингера состояние системы меняется со временем. Эволюция замкнутой квантовой системы осуществляется унитарным оператором , оператором временной эволюции . Для эволюции во времени от вектора состояния в момент времени t 0 до вектора состояния в момент времени t обычно записывают оператор эволюции во времени , и один имеет

В случае, когда гамильтониан системы не меняется во времени, оператор временной эволюции имеет вид

где показатель степени оценивается через его ряд Тейлора .

Картина Шредингера полезна при работе с не зависящим от времени гамильтонианом H ; то есть .

Фон

В элементарной квантовой механике состояние квантово-механической системы представляется комплексной волновой функцией ψ ( x , t ) . Более абстрактно, состояние может быть представлено в виде вектора состояния, или кета , . Этот кет является элементом гильбертова пространства , векторного пространства, содержащего все возможные состояния системы. Квантово-механический оператор - это функция, которая принимает кет и возвращает другой кет .

Различия между картинами квантовой механики Шредингера и Гейзенберга связаны с тем, как поступать с системами, которые развиваются во времени: зависящий от времени характер системы должен поддерживаться некоторой комбинацией векторов состояния и операторов. Например, квантовый гармонический осциллятор может находиться в состоянии, для которого математическое ожидание импульса колеблется во времени синусоидально. Тогда можно спросить, должно ли это синусоидальное колебание отражаться в векторе состояния , в операторе импульса или в обоих. Все три варианта действительны; первая дает картину Шредингера, вторая - картину Гейзенберга, а третья - картину взаимодействия.

Оператор эволюции во времени

Определение

Оператор эволюции во времени U ( t , t 0 ) определяется как оператор, который действует на кет в момент времени t 0, чтобы произвести кет в какой-то другой момент времени t :

Для бюстгальтеров ,

Характеристики

  • Унитарность

Оператор временной эволюции должен быть унитарным . Это норма государства, не должна меняться со временем. То есть,

Следовательно,

  • Личность

Когда t  = t 0 , U - тождественный оператор , поскольку

  • Закрытие

Временную эволюцию от t 0 до t можно рассматривать как двухэтапную временную эволюцию, сначала от t 0 до промежуточного времени t 1 , а затем от t 1 до конечного момента t . Следовательно,

Дифференциальное уравнение для оператора временной эволюции

Мы опускаем индекс t 0 в операторе временной эволюции с условием, что t 0 = 0, и записываем его как U ( t ). Уравнение Шредингера имеет вид

где H - гамильтониан . Теперь, используя оператор эволюции во времени U, запишем :

Поскольку это постоянный кет (состояние кет при t = 0 ), и поскольку приведенное выше уравнение верно для любого постоянного кет в гильбертовом пространстве, оператор временной эволюции должен подчиняться уравнению

Если гамильтониан не зависит от времени, решение приведенного выше уравнения будет

Поскольку H является оператором, это экспоненциальное выражение должно оцениваться через его ряд Тейлора :

Следовательно,

Обратите внимание, что это произвольный кет. Однако, если исходный кет-код является собственным состоянием гамильтониана с собственным значением E :

Собственные состояния гамильтониана - это стационарные состояния : они принимают только общий фазовый фактор по мере того, как они развиваются со временем.

Если гамильтониан зависит от времени, но гамильтонианы в разное время коммутируют, то оператор временной эволюции можно записать как

Если гамильтониан зависит от времени, но гамильтонианы в разное время не коммутируют, то оператор временной эволюции можно записать как

где T - оператор временного порядка , который иногда называют серией Дайсона в честь Фримена Дайсона .

Альтернативой картине Шредингера является переключение на вращающуюся систему отсчета, которая сама вращается пропагатором. Поскольку волнообразное вращение теперь принимается самой системой отсчета, функция невозмущенного состояния кажется действительно статической. Это картина Гейзенберга .

Сводное сравнение эволюции на всех картинках

Для не зависящего от времени гамильтониана H S , где H 0, S - свободный гамильтониан,

Эволюция Изображение ()
из: Гейзенберг Взаимодействие Шредингер
Кетское государство постоянный
Наблюдаемый постоянный
Матрица плотности постоянный


Смотрите также

Примечания

использованная литература