Функция, действующая в пространстве физических состояний в физике
В физике оператор - это функция из пространства физических состояний в другое пространство физических состояний. Простейшим примером полезности операторов является изучение симметрии (что делает понятие группы полезным в данном контексте). Из-за этого они являются очень полезными инструментами в классической механике . Операторы даже более важны в квантовой механике , где они составляют неотъемлемую часть формулировки теории.
Операторы в классической механике
В классической механике движение частицы (или системы частиц) полностью определяется лагранжианом или, что эквивалентно, гамильтонианом , функцией обобщенных координат q , обобщенных скоростей и их сопряженных импульсов :
Если либо L, либо H не зависят от обобщенной координаты q , то есть L и H не изменяются при изменении q , что, в свою очередь, означает, что динамика частицы остается той же самой, даже когда q изменяется, соответствующие импульсы сопряжены с импульсами. координаты будут сохранены (это часть теоремы Нётер , а инвариантность движения относительно координаты q является симметрией ). С этими симметриями связаны операторы классической механики.
Более технически, когда H инвариантен относительно действия некоторой группы преобразований G :
-
.
элементы G являются физическими операторами, которые отображают физические состояния между собой.
Таблица операторов классической механики
Трансформация
|
Оператор
|
Позиция
|
Импульс
|
Поступательная симметрия
|
|
|
|
Симметрия перевода времени
|
|
|
|
Вращательная инвариантность
|
|
|
|
Галилеевы преобразования
|
|
|
|
Паритет
|
|
|
|
Т-симметрия
|
|
|
|
где - матрица вращения вокруг оси, определяемой единичным вектором и углом θ .
Генераторы
Если преобразование бесконечно малое , действие оператора должно иметь вид
где - оператор идентичности, - параметр с небольшим значением, который будет зависеть от выполняемого преобразования, и называется генератором группы . Опять же, в качестве простого примера, мы выведем генератор пространственных трансляций для одномерных функций.
Как уже было сказано, . Если бесконечно мала, то мы можем написать
Эту формулу можно переписать как
где - генератор группы трансляций, которая в данном случае является производным оператором. Таким образом, говорят, что генератор переводов - это производная.
Экспоненциальная карта
При нормальных обстоятельствах вся группа может быть восстановлена от генераторов с помощью экспоненциальной карты . В случае с переводами идея работает так.
Перевод для конечного значения может быть получен повторным применением бесконечно малого перевода:
с указанием времени применения . Если велико, каждый из факторов можно считать бесконечно малым:
Но этот предел можно переписать в виде экспоненты:
Чтобы убедиться в справедливости этого формального выражения, мы можем разложить экспоненту в ряд по степеням:
Правую часть можно переписать как
что является просто разложением Тейлора , которое было нашим исходным значением .
Математические свойства физических операторов - тема очень важная сама по себе. Для получения дополнительной информации см. C * -алгебру и теорему Гельфанда-Наймарка .
Операторы в квантовой механике
Математическая формулировка квантовой механики (QM) построена на концепции оператора.
Физические чистые состояния в квантовой механике представлены как векторы единичной нормы (вероятности нормированы на единицу) в специальном комплексном гильбертовом пространстве . Временная эволюция в этом векторном пространстве задается применением оператора эволюции .
Любая наблюдаемая , т. Е. Любая величина, которую можно измерить в физическом эксперименте, должна быть связана с самосопряженным линейным оператором . Операторы должны давать действительные собственные значения , так как они могут появиться в результате эксперимента. Математически это означает, что операторы должны быть эрмитовыми . Вероятность каждого собственного значения связана с проекцией физического состояния на подпространство, связанное с этим собственным значением. См. Ниже математические подробности об эрмитовых операторах.
В формулировке QM волновой механикой волновая функция изменяется в зависимости от пространства и времени или, что эквивалентно, от импульса и времени (см. Подробности в пространстве положения и импульса ), поэтому наблюдаемые являются дифференциальными операторами .
В формулировке матричной механики норма физического состояния должна оставаться фиксированной, поэтому оператор эволюции должен быть унитарным , а операторы могут быть представлены в виде матриц. Любая другая симметрия, отображающая физическое состояние в другое, должна сохранять это ограничение.
Волновая функция
Волновая функция должна быть квадратично интегрируемой (см. Пространства L p ), что означает:
и нормализуемый, так что:
Два случая собственных состояний (и собственных значений):
- для дискретных собственных состояний, образующих дискретный базис, поэтому любое состояние представляет собой сумму
где c i - такие комплексные числа, что | c i | 2 = c i * c i - вероятность измерения состояния , и соответствующий набор собственных значений a i также дискретен - либо конечен, либо счетно бесконечен . В этом случае скалярное произведение двух собственных состояний равно , где обозначает дельту Кронекера . Однако,
- для континуума собственных состояний, образующих непрерывный базис, любое состояние является интегральным
где c (φ) - такая комплексная функция, что | c (φ) | 2 = c (φ) * c (φ) - вероятность измерения состояния , и существует несчетное бесконечное множество собственных значений a . В этом случае внутреннее произведение двух собственных состояний определяется как , где здесь обозначает дельту Дирака .
Линейные операторы в волновой механике
Пусть ψ - волновая функция квантовой системы и любой линейный оператор для некоторой наблюдаемой A (такой как положение, импульс, энергия, угловой момент и т. Д.). Если ψ - собственная функция оператора , то
где a - собственное значение оператора, соответствующее измеренному значению наблюдаемого, т.е. наблюдаемое A имеет измеренное значение a .
Если ψ является собственной функцией данного оператора , то определенная величина (собственное значение a ) будет наблюдаться, если измерение наблюдаемой A выполняется в состоянии ψ . И наоборот, если ψ не является собственной функцией , то у нее нет собственного значения для , и наблюдаемая в этом случае не имеет единственного определенного значения. Вместо этого измерения наблюдаемой A будут давать каждое собственное значение с определенной вероятностью (связанной с разложением ψ относительно ортонормированного собственного базиса ).
Все вышесказанное можно записать в скобках;
которые равны , если есть собственный вектор , или eigenket наблюдаемой A .
Из-за линейности векторы могут быть определены в любом количестве измерений, поскольку каждый компонент вектора действует на функцию отдельно. Одним из математических примеров является оператор del , который сам по себе является вектором (используется в квантовых операторах, связанных с импульсом, в таблице ниже).
Оператор в n -мерном пространстве можно записать:
где e j - базисные векторы, соответствующие каждому компонентному оператору A j . Каждый компонент даст соответствующее собственное значение . Действуя таким образом на волновую функцию ψ :
в котором мы использовали
В обозначениях бюстгальтера:
Коммутация операторов Ф
Если две наблюдаемые A и B имеют линейные операторы и , коммутатор определяется следующим образом:
Коммутатор сам по себе является (составным) оператором. Действие коммутатора на ψ дает:
Если ψ - собственная функция с собственными значениями a и b для наблюдаемых A и B соответственно, и если операторы коммутируют:
то наблюдаемые и Б могут быть измерены одновременно с бесконечной точностью т.е. неопределенности , одновременно. Тогда ψ называется одновременной собственной функцией A и B. Чтобы проиллюстрировать это:
Это показывает, что измерение A и B не вызывает сдвига состояния, т.е. начальное и конечное состояния одинаковы (нет помех из-за измерения). Предположим, мы измеряем A, чтобы получить значение a. Затем мы измеряем B, чтобы получить значение b. Мы снова измеряем A. Мы по-прежнему получаем то же значение a. Очевидно, что состояние ( ψ ) системы не разрушается, и поэтому мы можем измерять A и B одновременно с бесконечной точностью.
Если операторы не ездят на работу:
они не могут быть подготовлены одновременно с произвольной точностью, и между наблюдаемыми существует соотношение неопределенности ,
даже если ψ является собственной функцией, указанное выше соотношение сохраняется. Примечательными парами являются отношения неопределенности положения и импульса, энергии и времени, а также угловые моменты (спиновый, орбитальный и полный) относительно любых двух ортогональных осей (таких как L x и L y , или s y и s z и т. д.).
Ожидаемые значения операторов на Ψ
Среднее значение (эквивалентно среднее или среднее значение) представляет собой среднее измерение наблюдаемого для частицы в области R . Ожидаемое значение оператора рассчитывается по формуле:
Это можно обобщить на любую функцию F оператора:
Примером F является 2-кратное действие A на ψ , то есть возведение оператора в квадрат или выполнение его дважды:
Эрмитовы операторы
Определение эрмитова оператора :
Исходя из этого, в обозначениях бюстгальтера:
К важным свойствам эрмитовых операторов относятся:
- действительные собственные значения,
- собственные векторы с разными собственными значениями ортогональны ,
- собственные векторы могут быть выбраны как полный ортонормированный базис ,
Операторы в матричной механике
Оператор может быть записан в матричной форме для отображения одного базисного вектора в другой. Поскольку операторы линейны, матрица представляет собой линейное преобразование (также известное как матрица перехода) между базами. Каждый базовый элемент может быть связан с другим выражением:
который является матричным элементом:
Еще одно свойство эрмитова оператора состоит в том, что собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. В матричной форме операторы позволяют находить действительные собственные значения, соответствующие измерениям. Ортогональность позволяет использовать подходящий базисный набор векторов для представления состояния квантовой системы. Собственные значения оператора также вычисляются так же, как и для квадратной матрицы, путем решения характеристического полинома :
где I - единичная матрица размера n × n , как оператор она соответствует единичному оператору. Для дискретной основы:
а на постоянной основе:
Обратный к оператору
Неособый оператор имеет обратный, определяемый следующим образом:
Если у оператора нет обратного, это сингулярный оператор. В конечномерном пространстве оператор неособен тогда и только тогда, когда его определитель отличен от нуля:
а значит, для сингулярного оператора определитель равен нулю.
Таблица операторов QM
Операторы, используемые в квантовой механике, собраны в таблице ниже (см., Например,). Векторы, выделенные жирным шрифтом с циркумфлексами, не являются единичными векторами , это 3-векторные операторы; все три пространственных компонента вместе взятые.
Оператор (общее имя / имена)
|
Декартова компонента
|
Общее определение
|
Единица СИ
|
Измерение
|
Позиция
|
|
|
м
|
[L]
|
Импульс
|
Общий
|
Общий
|
Дж см −1 = N s
|
[M] [L] [T] -1
|
Электромагнитное поле
|
Электромагнитное поле (использует кинетический импульс ; A , векторный потенциал)
|
Дж см −1 = N s
|
[M] [L] [T] -1
|
Кинетическая энергия
|
Перевод
|
|
J
|
[M] [L] 2 [T] −2
|
Электромагнитное поле
|
Электромагнитное поле ( А , векторный потенциал )
|
J
|
[M] [L] 2 [T] −2
|
Вращение ( I , момент инерции )
|
Вращение
|
J
|
[M] [L] 2 [T] −2
|
Потенциальная энергия
|
N / A
|
|
J
|
[M] [L] 2 [T] −2
|
Общая энергия
|
N / A
|
Зависящий от времени потенциал:
Независимо от времени:
|
J
|
[M] [L] 2 [T] −2
|
Гамильтониан
|
|
|
J
|
[M] [L] 2 [T] −2
|
Оператор углового момента
|
|
|
J s = N см
|
[M] [L] 2 [T] -1
|
Спиновый угловой момент
|
куда
- матрицы Паули для частиц со спином 1/2 .
|
где σ - вектор, компонентами которого являются матрицы Паули.
|
J s = N см
|
[M] [L] 2 [T] -1
|
Полный угловой момент
|
|
|
J s = N см
|
[M] [L] 2 [T] -1
|
Переходный дипольный момент (электрический)
|
|
|
См
|
[I] [T] [L]
|
Примеры применения квантовых операторов
Процедура извлечения информации из волновой функции следующая. Рассмотрим в качестве примера импульс p частицы. Оператор импульса в базисе позиции в одном измерении:
Допуская это действие на ψ, получим:
если ψ является собственной функцией , то собственное значение импульса p является значением импульса частицы, определяемым по формуле:
Для трех измерений оператор импульса использует оператор набла, чтобы стать:
В декартовых координатах (используя стандартные декартовы базисные векторы e x , e y , e z ) это можно записать;
это:
Процесс поиска собственных значений такой же. Поскольку это векторное и операторное уравнение, если ψ - собственная функция, то каждая компонента оператора импульса будет иметь собственное значение, соответствующее этой компоненте импульса. Действуя на ψ, получаем:
Смотрите также
использованная литература