Квантовая декогеренция - Quantum decoherence

При классическом рассеянии тела-мишени фотонами окружающей среды движение тела-мишени в среднем не будет изменяться рассеянными фотонами. При квантовом рассеянии взаимодействие между рассеянными фотонами и наложенным целевым телом заставляет их запутываться, тем самым делокализуя фазовую когерентность от целевого тела ко всей системе, делая интерференционную картину ненаблюдаемой.

Часть цикла статей о
Квантовая механика
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История
Задний план Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Комплементарность Декогеренция Запутанность Уровень энергии Измерение Нелокальность Квантовое число государство Суперпозиция Симметрия Туннелирование Неопределенность Волновая функция  ( коллапс )
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Гейзенберг Взаимодействие Матрица Фазовое пространство Шредингер Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Кляйн – Гордон Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Множественные миры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Транзакционный
Дополнительные темы Релятивистская квантовая механика Квантовая теория поля Квантовая информатика Квантовые вычисления Квантовый хаос Матрица плотности Теория рассеяния Квантовая статистическая механика Квантовое машинное обучение
Ученые Ааронов Колокол Blackett Блох Бом Бор Родился Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер
v т е

Квантовая декогеренция - это потеря квантовой когерентности . В квантовой механике , частицы , такие как электроны описываются волновой функцией , математического представления квантового состояния системы; вероятностная интерпретация волновой функции используется для объяснения различных квантовых эффектов. Пока существует определенное фазовое соотношение между различными состояниями, система называется когерентной. Определенное фазовое соотношение необходимо для выполнения квантовых вычислений с квантовой информацией, закодированной в квантовых состояниях. Согласованность сохраняется по законам квантовой физики.

Если бы квантовая система была полностью изолирована, она могла бы поддерживать когерентность бесконечно долго, но было бы невозможно манипулировать или исследовать ее. Если он не изолирован идеально, например, во время измерения, когерентность разделяется с окружающей средой и, кажется, теряется со временем; процесс, называемый квантовой декогеренцией. В результате этого процесса квантовое поведение, по-видимому, теряется, так же как в классической механике теряется энергия из-за трения.

Впервые декогеренция была введена в 1970 году немецким физиком Х. Дитером Це и стала предметом активных исследований с 1980-х годов. Декогеренция была разработана в целостную структуру, но есть разногласия относительно того, решает ли она проблему измерения , как признают основатели теории декогеренции в своих основополагающих статьях.

Декогеренцию можно рассматривать как потерю информации из системы в окружающую среду (часто моделируемую как тепловая ванна ), поскольку каждая система слабо связана с энергетическим состоянием окружающей среды. Если рассматривать изолированно, динамика системы не унитарна (хотя объединенная система плюс окружающая среда развивается унитарным образом). Таким образом, сама по себе динамика системы необратима . Как и при любом взаимодействии, между системой и окружающей средой возникают зацепления . Они имеют эффект обмена квантовой информацией с окружающей средой или ее передачи.

Декогеренция использовалась для понимания возможности коллапса волновой функции в квантовой механике. Декогеренция не вызывает фактического коллапса волновой функции. Это только обеспечивает основу для очевидного коллапса волновой функции, поскольку квантовая природа системы «просачивается» в окружающую среду. То есть компоненты волновой функции отделены от когерентной системы и получают фазы от их непосредственного окружения. Полная суперпозиция глобальной или универсальной волновой функции все еще существует (и остается согласованной на глобальном уровне), но ее конечная судьба остается вопросом интерпретации . Что касается проблемы измерения , декогеренция обеспечивает объяснение перехода системы к смеси состояний, которые кажутся соответствующими тем состояниям, которые воспринимают наблюдатели. Более того, наше наблюдение говорит нам, что эта смесь выглядит как правильный квантовый ансамбль в ситуации измерения, поскольку мы наблюдаем, что измерения приводят к «реализации» ровно одного состояния в «ансамбле».

Декогеренция представляет собой проблему для практической реализации квантовых компьютеров , поскольку ожидается, что такие машины будут во многом полагаться на непрерывную эволюцию квантовых когерентностей. Проще говоря, они требуют сохранения когерентности состояний и управления декогеренцией, чтобы фактически выполнять квантовые вычисления. Таким образом, сохранение когерентности и смягчение эффектов декогеренции связано с концепцией квантовой коррекции ошибок .

Механизмы

Чтобы изучить, как работает декогеренция, представлена ​​«интуитивная» модель. Модель требует некоторого знакомства с основами квантовой теории. Проводятся аналогии между визуализируемыми классическими фазовыми пространствами и гильбертовыми пространствами . Более строгий вывод в обозначениях Дирака показывает, как декогеренция разрушает эффекты интерференции и «квантовую природу» систем. Далее для перспективы представлен подход с использованием матрицы плотности .

Воспроизвести медиа

Квантовая суперпозиция состояний и измерение декогеренции через осцилляции Раби

Фазово-пространственная картина

Система N- частиц может быть представлена ​​в нерелятивистской квантовой механике волновой функцией , где каждый x _i является точкой в ​​3-мерном пространстве. Это имеет аналогию с классическим фазовым пространством . Классическое фазовое пространство содержит действительную функцию в 6 N измерениях (каждая частица вносит 3 пространственных координаты и 3 импульса). С другой стороны, наше «квантовое» фазовое пространство включает комплекснозначную функцию в 3 N -мерном пространстве. Положение и импульсы представлены операторами , которые не коммутируют , и жизнью в математической структуре гильбертова пространство . Однако, помимо этих различий, сохраняется грубая аналогия. ${\ displaystyle \ psi (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {N})}$${\ displaystyle \ psi}$

Различные ранее изолированные, невзаимодействующие системы занимают разные фазовые пространства. В качестве альтернативы мы можем сказать, что они занимают разные подпространства меньшей размерности в фазовом пространстве совместной системы. Эффективная размерность фазового пространства системы , является количеством степеней свободы настоящее, что в нерелятивистской модели, в 6 раз количество системы в свободных частицах. Для макроскопической системы это будет очень большая размерность. Однако, когда две системы (и среда была бы системой) начинают взаимодействовать, связанные с ними векторы состояния больше не ограничиваются подпространствами. Вместо этого объединенный вектор состояния эволюционирует во времени по пути через «больший объем», размерность которого является суммой размерностей двух подпространств. Степень, в которой два вектора интерферируют друг с другом, является мерой того, насколько они «близки» друг к другу (формально их перекрытие или гильбертово пространство умножается вместе) в фазовом пространстве. Когда система соединяется с внешней средой, размерность и, следовательно, «объем», доступный для вектора совместного состояния, значительно возрастают. Каждая экологическая степень свободы вносит дополнительный вклад в измерение.

Волновая функция исходной системы может быть разложена множеством различных способов как сумма элементов в квантовой суперпозиции. Каждое разложение соответствует проекции волнового вектора на базис. Основание можно выбрать по желанию. Давайте выберем расширение, в котором результирующие базовые элементы взаимодействуют с окружающей средой определенным для элемента образом. Такие элементы - с огромной вероятностью - будут быстро отделены друг от друга своей естественной унитарной временной эволюцией по их собственным независимым путям. После очень короткого взаимодействия вероятность дальнейшего вмешательства практически отсутствует. Процесс фактически необратим . Различные элементы фактически «теряются» друг от друга в расширенном фазовом пространстве, создаваемом за счет взаимодействия с окружающей средой; в фазовом пространстве эта развязка отслеживается с помощью квазивероятностного распределения Вигнера . Считается, что оригинальные элементы декогерированы . Среда эффективно отобрала те расширения или разложения исходного вектора состояния, которые декогерируются (или теряют фазовую когерентность) друг с другом. Это называется «суперселекция, вызванная воздействием окружающей среды» или einselection . Декогерированные элементы системы больше не проявляют квантовую интерференцию друг с другом, как в эксперименте с двумя щелями . Любые элементы, которые декогерентируются друг от друга посредством взаимодействия с окружающей средой, считаются квантово запутанными с окружающей средой. Обратное неверно: не все запутанные состояния отделены друг от друга.

Любое измерительное устройство или устройство действует как среда, поскольку на каком-то этапе измерительной цепочки оно должно быть достаточно большим, чтобы его могли прочитать люди. Он должен обладать очень большим количеством скрытых степеней свободы. Фактически, взаимодействия можно рассматривать как квантовые измерения . В результате взаимодействия волновые функции системы и измерительного прибора запутываются друг с другом. Декогеренция происходит, когда разные части волновой функции системы по-разному запутываются в измерительном устройстве. Чтобы два выбранных элемента состояния запутанной системы мешали, как исходная система, так и измерения в устройстве обоих элементов должны значительно перекрываться в смысле скалярного произведения. Если измерительный прибор имеет много степеней свободы, это очень маловероятно , чтобы это произошло.

Как следствие, система ведет себя как классический статистический ансамбль различных элементов, а не как их единственная когерентная квантовая суперпозиция . С точки зрения измерительного устройства каждого члена ансамбля, кажется, что система необратимо обрушилась на состояние с точным значением измеренных атрибутов относительно этого элемента. И это при условии, что кто-то объясняет, как коэффициенты правила Борна эффективно действуют как вероятности согласно постулату измерения, составляет решение проблемы квантового измерения.

Обозначение Дирака

Используя обозначения Дирака , пусть система изначально находится в состоянии

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ sum _ {i} | i \ rangle \ langle i | \ psi \ rangle,}$

где s образуют произвольно выбранный базис ( выбранный собственный базис, вызванный окружающей средой ), и пусть окружающая среда изначально находится в этом состоянии . Векторный базис комбинации системы и окружающей среды состоит из тензорных произведений базисных векторов двух подсистем. Таким образом, до любого взаимодействия между двумя подсистемами совместное состояние можно записать как ${\ displaystyle | я \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ epsilon \ rangle}$

${\ displaystyle | {\ text {before}} \ rangle = \ sum _ {i} | i \ rangle | \ epsilon \ rangle \ langle i | \ psi \ rangle,}$

где - сокращение для тензорного произведения . Есть две крайности в способе взаимодействия системы с окружающей средой: либо (1) система теряет свою отличительную идентичность и сливается с окружающей средой (например, фотоны в холодной темной полости преобразуются в молекулярные возбуждения внутри стенок полости), или (2) система вообще не нарушается, даже если нарушается окружающая среда (например, идеализированное измерение без помех). В общем, взаимодействие - это смесь этих двух крайностей, которые мы исследуем. ${\ Displaystyle | я \ rangle | \ epsilon \ rangle}$${\ displaystyle | я \ rangle \ otimes | \ epsilon \ rangle}$

Система поглощена окружающей средой

Если среда поглощает систему, каждый элемент основы всей системы взаимодействует с окружающей средой таким образом, что

${\ Displaystyle | я \ rangle | \ epsilon \ rangle}$ превращается в ${\ displaystyle | \ epsilon _ {i} \ rangle,}$

так что

${\ displaystyle | {\ text {до}} \ rangle}$ превращается в ${\ displaystyle | {\ text {after}} \ rangle = \ sum _ {i} | \ epsilon _ {i} \ rangle \ langle i | \ psi \ rangle.}$

Унитарности временных требований эволюции , что общее состояние базисные остается ортонормированным , то есть скалярные или скалярные произведения базисных векторов должны исчезать, так как : ${\ displaystyle \ langle i | j \ rangle = \ delta _ {ij}}$

${\ displaystyle \ langle \ epsilon _ {i} | \ epsilon _ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}.}$

Эта ортонормированность состояний среды является определяющей характеристикой, необходимой для einselection .

Система не нарушена окружающей средой

В идеализированном измерении система нарушает окружающую среду, но сама она не нарушается. В этом случае каждый элемент базиса взаимодействует с окружающей средой так, что

${\ Displaystyle | я \ rangle | \ epsilon \ rangle}$ превращается в продукт ${\ displaystyle | i, \ epsilon _ {i} \ rangle = | i \ rangle | \ epsilon _ {i} \ rangle,}$

так что

${\ displaystyle | {\ text {до}} \ rangle}$ превращается в ${\ displaystyle | {\ text {after}} \ rangle = \ sum _ {i} | i, \ epsilon _ {i} \ rangle \ langle i | \ psi \ rangle.}$

В этом случае унитарность требует, чтобы

${\ displaystyle \ langle i, \ epsilon _ {i} | j, \ epsilon _ {j} \ rangle = \ langle i | j \ rangle \ langle \ epsilon _ {i} | \ epsilon _ {j} \ rangle = \ delta _ {ij} \ langle \ epsilon _ {i} | \ epsilon _ {j} \ rangle = \ delta _ {ij} \ langle \ epsilon _ {i} | \ epsilon _ {i} \ rangle = \ delta _ {ij},}$

где был использован. Кроме того , декогеренция требует, в силу большого количества скрытых степеней свободы в окружающей среде, что ${\ Displaystyle \ langle \ epsilon _ {я} | \ epsilon _ {я} \ rangle = 1}$

${\ displaystyle \ langle \ epsilon _ {i} | \ epsilon _ {j} \ rangle \ приблизительно \ delta _ {ij}.}$

Как и раньше, это определяющая характеристика того, что декогеренция становится einselection . Приближение становится более точным по мере увеличения числа затронутых степеней свободы окружающей среды.

Обратите внимание, что если базис системы не был выбранным базисом, то последнее условие тривиально, поскольку возмущенная среда не является функцией , и у нас есть тривиальный базис возмущенной среды . Это соответствовало бы вырождению системной основы по отношению к наблюдаемому измерению, определяемому окружающей средой. Для сложного взаимодействия с окружающей средой (чего можно было бы ожидать для типичного взаимодействия на макроуровне) невыбранный базис было бы трудно определить. ${\ displaystyle | я \ rangle}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle | \ epsilon _ {j} \ rangle = | \ epsilon '\ rangle}$

Потеря интерференции и переход от квантовых к классическим вероятностям

Полезность декогеренции заключается в ее применении к анализу вероятностей до и после взаимодействия с окружающей средой и, в частности, к исчезновению членов квантовой интерференции после того, как декогеренция произошла. Если мы спросим, ​​какова вероятность наблюдения системы, совершающей переход из состояния в состояние до того, как она взаимодействовала с окружающей средой, то применение правила вероятности Борна утверждает, что вероятность перехода - это квадрат модуля скалярного произведения двух состояний: ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle \ operatorname {prob} _ {\ text {before}} (\ psi \ to \ phi) = \ left | \ langle \ psi | \ phi \ rangle \ right | ^ {2} = \ left | \ sum _ {i} \ psi _ {i} ^ {*} \ phi _ {i} \ right | ^ {2} = \ sum _ {i} | \ psi _ {i} ^ {*} \ phi _ {i } | ^ {2} + \ sum _ {ij; i \ neq j} \ psi _ {i} ^ {*} \ psi _ {j} \ phi _ {j} ^ {*} \ phi _ {i} ,}$

где , и т.д. ${\ Displaystyle \ psi _ {i} = \ langle i | \ psi \ rangle}$${\ Displaystyle \ psi _ {я} ^ {*} = \ langle \ psi | я \ rangle}$${\ displaystyle \ phi _ {i} = \ langle i | \ phi \ rangle}$

Вышеупомянутое расширение вероятности перехода включает в себя следующие термины : их можно рассматривать как интерференцию между различными базисными элементами или квантовыми альтернативами. Это чисто квантовый эффект, который отражает неаддитивность вероятностей квантовых альтернатив. ${\ displaystyle i \ neq j}$

Чтобы вычислить вероятность наблюдения за системой, совершающей квантовый скачок от до того, как она взаимодействовала с окружающей средой, тогда применение правила вероятности Борна утверждает, что мы должны просуммировать все соответствующие возможные состояния окружающей среды перед возведением модуля в квадрат: ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle | \ epsilon _ {я} \ rangle}$

${\ displaystyle \ operatorname {prob} _ {\ text {after}} (\ psi \ to \ phi) = \ sum _ {j} \, \ left | \ langle {\ text {after}} \ right | \ phi , \ epsilon _ {j} \ rangle | ^ {2} = \ sum _ {j} \, \ left | \ sum _ {i} \ psi _ {i} ^ {*} \ langle i, \ epsilon _ { i} | \ phi, \ epsilon _ {j} \ rangle \ right | ^ {2} = \ sum _ {j} \ left | \ sum _ {i} \ psi _ {i} ^ {*} \ phi _ {i} \ langle \ epsilon _ {i} | \ epsilon _ {j} \ rangle \ right | ^ {2}.}$

Внутреннее суммирование исчезает, когда мы применяем условие декогеренции / повторного выбора , и формула упрощается до ${\ displaystyle \ langle \ epsilon _ {i} | \ epsilon _ {j} \ rangle \ приблизительно \ delta _ {ij}}$

${\ displaystyle \ operatorname {prob} _ {\ text {after}} (\ psi \ to \ phi) \ приблизительно \ sum _ {j} | \ psi _ {j} ^ {*} \ phi _ {j} | ^ {2} = \ sum _ {i} | \ psi _ {i} ^ {*} \ phi _ {i} | ^ {2}.}$

Если мы сравним это с формулой, которую мы вывели до того, как среда ввела декогеренцию, мы увидим, что эффект декогеренции заключается в перемещении знака суммы изнутри знака модуля наружу. В результате все термины перекрестной или квантовой интерференции${\ Displaystyle \ textstyle \ сумма _ {я}}$

${\ displaystyle \ sum _ {ij; i \ neq j} \ psi _ {i} ^ {*} \ psi _ {j} \ phi _ {j} ^ {*} \ phi _ {i}}$

исчезли из расчета вероятности перехода. Декогеренция необратимо преобразовала квантовое поведение (аддитивные амплитуды вероятностей ) в классическое (аддитивные вероятности).

С точки зрения матриц плотности, потеря интерференционных эффектов соответствует диагонализации матрицы плотности, «отслеживаемой с точки зрения окружающей среды» .

Матричный подход

Эффект декогеренции на матрицах плотности , по существу , распад или быстрое исчезновение в недиагональных элементах в частичном следе совместной системы в матрице плотности , т.е. след , по отношению к любой окружающей основе матрицы плотности комбинированной системы и его окружение. Декогеренция необратимо преобразует «усредненную» или «отслеживаемую окружающей средой» матрицу плотности из чистого состояния в уменьшенную смесь; именно это дает вид на коллапс волновой функции . Опять же, это называется «суперселекция, вызванная окружающей средой» или einselection . Преимущество частичного следа в том, что эта процедура не зависит от выбранной экологической основы.

Первоначально матрицу плотности комбинированной системы можно обозначить как

${\ displaystyle \ rho = | {\ text {before}} \ rangle \ langle {\ text {before}} | = | \ psi \ rangle \ langle \ psi | \ otimes | \ epsilon \ rangle \ langle \ epsilon |, }$

где состояние окружающей среды. Затем, если переход происходит до того, как произойдет какое-либо взаимодействие между системой и средой, подсистема среды не имеет никакого отношения и может быть отслежена , оставляя для системы уменьшенную матрицу плотности: ${\ displaystyle | \ epsilon \ rangle}$

${\ displaystyle \ rho _ {\ text {sys}} = \ operatorname {Tr} _ {\ textrm {env}} (\ rho) = | \ psi \ rangle \ langle \ psi | \ langle \ epsilon | \ epsilon \ rangle = | \ psi \ rangle \ langle \ psi |.}$

Теперь вероятность перехода будет выражена как

${\ displaystyle \ operatorname {prob} _ {\ text {before}} (\ psi \ to \ phi) = \ langle \ phi | \ rho _ {\ text {sys}} | \ phi \ rangle = \ langle \ phi | \ psi \ rangle \ langle \ psi | \ phi \ rangle = {\ big |} \ langle \ psi | \ phi \ rangle {\ big |} ^ {2} = \ sum _ {i} | \ psi _ { i} ^ {*} \ phi _ {i} | ^ {2} + \ sum _ {ij; i \ neq j} \ psi _ {i} ^ {*} \ psi _ {j} \ phi _ {j } ^ {*} \ phi _ {i},}$

где , и т.д. ${\ Displaystyle \ psi _ {i} = \ langle i | \ psi \ rangle}$${\ Displaystyle \ psi _ {я} ^ {*} = \ langle \ psi | я \ rangle}$${\ displaystyle \ phi _ {i} = \ langle i | \ phi \ rangle}$

Теперь случай, когда переход происходит после взаимодействия системы с окружающей средой. Комбинированная матрица плотности будет

${\ displaystyle \ rho = | {\ text {after}} \ rangle \ langle {\ text {after}} | = \ sum _ {i, j} \ psi _ {i} \ psi _ {j} ^ {* } | i, \ epsilon _ {i} \ rangle \ langle j, \ epsilon _ {j} | = \ sum _ {i, j} \ psi _ {i} \ psi _ {j} ^ {*} | i \ rangle \ langle j | \ otimes | \ epsilon _ {i} \ rangle \ langle \ epsilon _ {j} |.}$

Чтобы получить приведенную матрицу плотности системы, мы отслеживаем окружающую среду и используем условие декогеренции / повторного выбора и видим, что недиагональные члены исчезают (результат, полученный Эрихом Джоосом и HD Zeh в 1985 году):

${\ displaystyle \ rho _ {\ text {sys}} = \ operatorname {Tr} _ {\ text {env}} {\ Big (} \ sum _ {i, j} \ psi _ {i} \ psi _ { j} ^ {*} | i \ rangle \ langle j | \ otimes | \ epsilon _ {i} \ rangle \ langle \ epsilon _ {j} | {\ Big)} = \ sum _ {i, j} \ psi _ {i} \ psi _ {j} ^ {*} | i \ rangle \ langle j | \ langle \ epsilon _ {j} | \ epsilon _ {i} \ rangle = \ sum _ {i, j} \ psi _ {i} \ psi _ {j} ^ {*} | i \ rangle \ langle j | \ delta _ {ij} = \ sum _ {i} | \ psi _ {i} | ^ {2} | i \ rangle \ langle i |.}$

Точно так же окончательная приведенная матрица плотности после перехода будет

${\ displaystyle \ sum _ {j} | \ phi _ {j} | ^ {2} | j \ rangle \ langle j |.}$

Тогда вероятность перехода будет выражена как

${\ displaystyle \ operatorname {prob} _ {\ text {after}} (\ psi \ to \ phi) = \ sum _ {i, j} | \ psi _ {i} | ^ {2} | \ phi _ { j} | ^ {2} \ langle j | i \ rangle \ langle i | j \ rangle = \ sum _ {i} | \ psi _ {i} ^ {*} \ phi _ {i} | ^ {2} ,}$

который не имеет вклада из-за интерференционных членов

${\ displaystyle \ sum _ {ij; i \ neq j} \ psi _ {i} ^ {*} \ psi _ {j} \ phi _ {j} ^ {*} \ phi _ {i}.}$

Подход матрицы плотности был объединен с подходом Бома для получения подхода с уменьшенной траекторией , принимая во внимание приведенную матрицу плотности системы и влияние окружающей среды.

Оператор-сумма представления

Рассмотрим систему S и среду (ванну) B , которые замкнуты и могут рассматриваться квантово-механически. Позвольте и быть системы и гильбертова пространства ванны соответственно. Тогда гамильтониан комбинированной системы равен ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {S}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {B}}$

${\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {H}} _ {S} \ otimes {\ hat {I}} _ {B} + {\ hat {I}} _ {S} \ otimes { \ hat {H}} _ {B} + {\ hat {H}} _ {I},}$

где - гамильтонианы системы и термостата соответственно, - гамильтониан взаимодействия между системой и термостатом, - тождественные операторы в гильбертовом пространстве системы и термостата соответственно. Временная эволюция оператора плотности этой замкнутой системы унитарна и, как таковая, дается выражением ${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {S}, {\ hat {H}} _ {B}}$${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {I}}$${\ displaystyle {\ hat {I}} _ {S}, {\ hat {I}} _ {B}}$

${\ Displaystyle \ rho _ {SB} (t) = {\ hat {U}} (t) \ rho _ {SB} (0) {\ hat {U}} ^ {\ dagger} (t),}$

где унитарный оператор . Если система и ванна изначально не перепутались , то можно писать . Таким образом, эволюция системы становится ${\ Displaystyle {\ шляпа {U}} = е ^ {- я {\ шляпа {H}} т / \ hbar}}$${\ Displaystyle \ rho _ {SB} = \ rho _ {S} \ otimes \ rho _ {B}}$

${\ Displaystyle \ rho _ {SB} (t) = {\ hat {U}} (t) [\ rho _ {S} (0) \ otimes \ rho _ {B} (0)] {\ hat {U }} ^ {\ dagger} (t).}$

Гамильтониан взаимодействия системы и ванны в общем виде можно записать как

${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {I} = \ sum _ {i} {\ hat {S}} _ {i} \ otimes {\ hat {B}} _ {i},}$

где - оператор, действующий в комбинированном гильбертовом пространстве система – ванна, и - операторы, действующие на систему и ванну соответственно. Это соединение системы и ванны является причиной декогеренции только в системе. Чтобы убедиться в этом, выполняется частичный след над ванной, чтобы дать описание одной только системы: ${\ displaystyle {\ hat {S}} _ {i} \ otimes {\ hat {B}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ hat {S}} _ {i}, {\ hat {B}} _ {i}}$

${\ displaystyle \ rho _ {S} (t) = \ operatorname {Tr} _ {B} {\ big [} {\ hat {U}} (t) [\ rho _ {S} (0) \ otimes \ rho _ {B} (0)] {\ hat {U}} ^ {\ dagger} (t) {\ big]}.}$

${\ Displaystyle \ rho _ {S} (т)}$называется приведенной матрицей плотности и дает информацию только о системе. Если ванна записана в терминах набора ортогональных базисных кетов, то есть если она изначально была диагонализована, то . Вычисление частичного следа относительно этого (вычислительного) базиса дает ${\ displaystyle \ textstyle \ rho _ {B} (0) = \ sum _ {j} a_ {j} | j \ rangle \ langle j |}$

${\ displaystyle \ rho _ {S} (t) = \ sum _ {l} {\ hat {A}} _ {l} \ rho _ {S} (0) {\ hat {A}} _ {l} ^ {\ dagger},}$

где определены как операторы Крауса и представлены как (индекс объединяет индексы и ): ${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {l}, {\ hat {A}} _ {l} ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle j}$

${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {l} = {\ sqrt {a_ {j}}} \ langle k | {\ hat {U}} | j \ rangle.}$

Это известно как представление суммы операторов (OSR). Условие на операторы Крауса можно получить, используя тот факт, что ; это тогда дает ${\ Displaystyle \ OperatorName {Tr} [\ rho _ {S} (t)] = 1}$

${\ displaystyle \ sum _ {l} {\ hat {A}} _ {l} ^ {\ dagger} {\ hat {A}} _ {l} = {\ hat {I}} _ {S}.}$

Это ограничение определяет, произойдет ли декогеренция в OSR. В частности, когда в сумме присутствует более одного члена , тогда динамика системы будет неунитарной, и, следовательно, произойдет декогеренция. ${\ Displaystyle \ rho _ {S} (т)}$

Полугрупповой подход

Более общее рассмотрение существования декогеренции в квантовой системе дается основным уравнением , которое определяет, как только матрица плотности системы эволюционирует во времени (см. Также уравнение Белавкина для эволюции при непрерывном измерении). Здесь используется картина Шредингера , где рассматривается эволюция состояния (представленного его матрицей плотности). Основное уравнение

${\ displaystyle \ rho '_ {S} (t) = {\ frac {-i} {\ hbar}} {\ big [} {\ tilde {H}} _ {S}, \ rho _ {S} ( t) {\ big]} + L_ {D} {\ big [} \ rho _ {S} (t) {\ big]},}$

где - гамильтониан системы вместе с (возможным) унитарным вкладом от ванны, и - член декогерентизации Линдблада . Декогеренции Термин линдбладовский представлен как ${\ Displaystyle {\ тильда {H}} _ {S} = H_ {S} + \ Delta}$${\ displaystyle H_ {S}}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle L_ {D}}$

${\ Displaystyle L_ {D} {\ big [} \ rho _ {S} (t) {\ big]} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ alpha, \ beta = 1} ^ {M} b _ {\ alpha \ beta} {\ Big (} {\ big [} \ mathbf {F} _ {\ alpha}, \ rho _ {S} (t) \ mathbf {F} _ {\ beta} ^ {\ dagger} {\ big]} + {\ big [} \ mathbf {F} _ {\ alpha} \ rho _ {S} (t), \ mathbf {F} _ {\ beta} ^ {\ dagger }{\большой большой )}.}$

Это базисные операторы для M -мерного пространства ограниченных операторов, которые действуют в гильбертовом пространстве системы и являются генераторами ошибок . Матричные элементы представляют собой элементы положительно полуопределенной эрмитовой матрицы ; они характеризуют процессы декогерентизации и, как таковые, называются параметрами шума . Полугрупповой подход особенно хорош, поскольку он различает унитарные и декогерентные (неунитарные) процессы, чего нельзя сказать о OSR. В частности, неунитарная динамика представлена , тогда как унитарная динамика состояния представлена ​​обычным коммутатором Гейзенберга . Обратите внимание, что когда , динамическая эволюция системы унитарна. Условия эволюции матрицы плотности системы, описываемой основным уравнением, следующие: ${\ Displaystyle \ {\ mathbf {F} _ {\ alpha} \} _ {\ alpha = 1} ^ {M}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {S}}$${\ displaystyle b _ {\ alpha \ beta}}$ ${\ displaystyle L_ {D}}$${\ Displaystyle L_ {D} {\ big [} \ rho _ {S} (т) {\ big]} = 0}$

1. эволюция матрицы плотности системы определяется однопараметрической полугруппой ,
2. эволюция «полностью положительна» (т.е. вероятности сохраняются),
3. матрицы плотности системы и ванны изначально развязаны.

Примеры неунитарного моделирования декогеренции

Декогеренция может быть смоделирована как не- унитарного процесс , посредством которого системы пара с его окружением (хотя и комбинированной система плюс среды развивается в унитарной моде). Таким образом, динамика системы сама по себе, рассматриваемая изолированно, не унитарна и, как таковая, представлена необратимыми преобразованиями, действующими в гильбертовом пространстве системы . Поскольку динамика системы представлена ​​необратимыми представлениями, любая информация, присутствующая в квантовой системе, может быть потеряна для окружающей среды или термостата . В качестве альтернативы, распад квантовой информации, вызванный связью системы с окружающей средой, называется декогеренцией. Таким образом, декогеренция - это процесс, с помощью которого информация квантовой системы изменяется из-за взаимодействия системы с окружающей средой (которая образует замкнутую систему), тем самым создавая запутанность между системой и термостатом (окружающей средой). Таким образом, поскольку система каким-то неизвестным образом связана со своим окружением, описание самой системы не может быть выполнено без ссылки на окружающую среду (то есть без описания состояния окружающей среды). ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Вращательная декогеренция

Рассмотрим систему из N кубитов, симметрично подключенную к ванне. Предположим, что эта система из N кубитов вращается вокруг собственных состояний . Тогда при таком повороте, случайная фаза будет создана между собственными состояниями , из . Таким образом, эти базовые кубиты и преобразуются следующим образом: ${\ displaystyle | {\ uparrow} \ rangle \ langle {\ uparrow} |, | {\ downarrow} \ rangle \ langle {\ downarrow} |}$ ${\ displaystyle {\ big (} | 0 \ rangle \ langle 0 |, | 1 \ rangle \ langle 1 | {\ big)}}$${\ displaystyle {\ hat {J_ {z}}}}$ ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle | 1 \ rangle}$${\ displaystyle {\ hat {J_ {z}}}}$${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle | 1 \ rangle}$

${\ displaystyle | 0 \ rangle \ to | 0 \ rangle, \ quad | 1 \ rangle \ to e ^ {i \ phi} | 1 \ rangle.}$

Это преобразование выполняется оператором вращения

${\ displaystyle R_ {z} (\ phi) = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e ^ {i \ phi} \ end {pmatrix}}.}$

Поскольку любой кубит в этом пространстве может быть выражен через базовые кубиты, то все такие кубиты будут преобразованы при этом повороте. Рассмотрим кубит в чистом виде . Это состояние будет декогерировано, так как оно не "закодировано" коэффициентом дефазировки . В этом можно убедиться, изучив матрицу плотности, усредненную по всем значениям : ${\ displaystyle | \ psi _ {j} \ rangle = a | 0_ {j} \ rangle + b | 1_ {j} \ rangle}$${\ Displaystyle е ^ {я \ фи}}$${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle \ rho _ {j} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int \ limits _ {0} ^ {2 \ pi} R_ {z} (\ phi) | \ psi _ {j } \ rangle \ langle \ psi _ {j} | R_ {z} ^ {\ dagger} (\ phi) p (\ phi) \, d \ phi,}$

где - плотность вероятности . Если задано как распределение Гаусса${\ Displaystyle р (\ фи)}$${\ Displaystyle р (\ фи)}$

${\ Displaystyle п (\ фи) = (4 \ пи \ альфа) ^ {- 1/2} е ^ {\ гидроразрыва {- \ фи ^ {2}} {4 \ альфа}},}$

тогда матрица плотности

${\ displaystyle \ rho _ {j} = {\ begin {pmatrix} | a | ^ {2} & ab ^ {*} e ^ {- \ alpha} \\ a ^ {*} be ^ {- \ alpha} & | b | ^ {2} \ end {pmatrix}}.}$

Поскольку недиагональные элементы - члены когерентности - убывают с возрастанием , то матрицы плотности для различных кубитов системы будут неразличимы. Это означает, что никакие измерения не могут различить кубиты, тем самым создавая декогеренцию между различными состояниями кубитов. В частности, этот процесс расфазировки заставляет кубиты схлопываться на оси. Вот почему этот тип процесса декогеренции называется коллективной дефазировкой , потому что взаимные фазы между всеми кубитами системы N -кубитов разрушаются. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle | 0 \ rangle \ langle 0 |, | 1 \ rangle \ langle 1 |}$

Деполяризация

Деполяризация - это неунитарное преобразование квантовой системы, которое отображает чистые состояния в смешанные. Это неунитарный процесс, потому что любое преобразование, которое обращает этот процесс, будет отображать состояния из их соответствующего гильбертова пространства, таким образом, не сохраняя положительность (то есть исходные вероятности отображаются на отрицательные вероятности, что недопустимо). Двумерный случай такого преобразования состоял бы в отображении чистых состояний на поверхности сферы Блоха в смешанные состояния внутри сферы Блоха. Это сузит сферу Блоха на некоторую конечную величину, и обратный процесс расширит сферу Блоха, чего не может произойти.

Рассеивание

Диссипация - это процесс декогерентизации, при котором населенности квантовых состояний изменяются из-за сцепления с ванной. Примером этого может быть квантовая система, которая может обмениваться своей энергией с ванной через гамильтониан взаимодействия . Если система не находится в основном состоянии, а температура ванны ниже, чем у системы, то система будет отдавать энергию ванне, и, таким образом, собственные состояния гамильтониана с более высокой энергией декогерентируются в основное состояние. после охлаждения и как таковые все будут невырожденными . Поскольку состояния больше не являются вырожденными, они неразличимы, и, следовательно, этот процесс необратим (неунитарен).

Сроки

Декогеренция представляет собой чрезвычайно быстрый процесс для макроскопических объектов, поскольку они взаимодействуют со многими микроскопическими объектами с огромным количеством степеней свободы в своей естественной среде. Этот процесс необходим, если мы хотим понять, почему мы не склонны наблюдать квантовое поведение в повседневных макроскопических объектах и ​​почему мы действительно видим, как классические поля возникают из свойств взаимодействия между материей и излучением для больших количеств материи. Время, необходимое для эффективного обращения в нуль недиагональных компонентов матрицы плотности, называется временем декогеренции . Обычно это очень мало для повседневных процессов на макроуровне. Современное независимое от базиса определение времени декогеренции основывается на кратковременном поведении верности между начальным и зависящим от времени состоянием или, что то же самое, на спаде чистоты.

Математические детали

На данный момент мы предполагаем, что рассматриваемая система состоит из изучаемой подсистемы A и «среды» , а полное гильбертово пространство является тензорным произведением гильбертова пространства, описывающего A, и гильбертова пространства, описывающего , т. Е. ${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {A}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ epsilon}}$${\ displaystyle \ epsilon}$

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ mathcal {H}} _ {A} \ otimes {\ mathcal {H}} _ {\ epsilon}.}$

Это достаточно хорошее приближение в случае, когда A и относительно независимы (например, нет ничего лучше, чем части A, смешанные с частями или наоборот). Дело в том, что взаимодействие с окружающей средой для всех практических целей неизбежно (например, даже один возбужденный атом в вакууме испустил бы фотон, который затем взорвался бы). Допустим, это взаимодействие описывается унитарным преобразованием U, на которое действует . Предположим, что начальное состояние среды равно , а начальное состояние A - это состояние суперпозиции ${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ epsilon}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle | {\ text {in}} \ rangle}$

${\ displaystyle c_ {1} | \ psi _ {1} \ rangle + c_ {2} | \ psi _ {2} \ rangle,}$

где и ортогональны, и изначально нет запутанности . Кроме того, выберите ортонормированный базис для . (Это может быть «непрерывно индексируемый базис» или смесь непрерывных и дискретных индексов, и в этом случае нам придется использовать оснащенное гильбертово пространство и быть более осторожными с тем, что мы подразумеваем под ортонормированным, но это несущественная деталь для пояснительных целей. .) Тогда мы можем расширить ${\ displaystyle | \ psi _ {1} \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi _ {2} \ rangle}$${\ Displaystyle \ {| е_ {я} \ rangle \} _ {я}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {A}}$

${\ displaystyle U {\ big (} | \ psi _ {1} \ rangle \ otimes | {\ text {in}} \ rangle {\ big)}}$

и

${\ displaystyle U {\ big (} | \ psi _ {2} \ rangle \ otimes | {\ text {in}} \ rangle {\ big)}}$

уникально как

${\ displaystyle \ sum _ {i} | e_ {i} \ rangle \ otimes | f_ {1i} \ rangle}$

и

${\ displaystyle \ sum _ {i} | e_ {i} \ rangle \ otimes | f_ {2i} \ rangle}$

соответственно. Следует понимать, что среда содержит огромное количество степеней свободы, многие из которых постоянно взаимодействуют друг с другом. Это делает следующее предположение разумным с точки зрения махания рукой, которое может быть показано на некоторых простых моделях игрушек. Предположим, что существует такой базис , что и все приблизительно ортогональны в хорошей степени, если i ≠ j и то же самое для и, а также для и для любых i и j (свойство декогеренции). ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ epsilon}}$${\ displaystyle | f_ {1i} \ rangle}$${\ displaystyle | f_ {1j} \ rangle}$${\ displaystyle | f_ {2i} \ rangle}$${\ displaystyle | f_ {2j} \ rangle}$${\ displaystyle | f_ {1i} \ rangle}$${\ displaystyle | f_ {2j} \ rangle}$

Это часто оказывается правдой (как разумная гипотеза) в позиционном основе , потому как A взаимодействует с окружающей средой часто в решающей степени зависеть от положения объектов в A . Затем, если мы возьмем частичный след по окружающей среде, мы обнаружим, что состояние плотности приблизительно описывается следующим образом:

${\ displaystyle \ sum _ {i} {\ big (} \ langle f_ {1i} | f_ {1i} \ rangle + \ langle f_ {2i} | f_ {2i} \ rangle {\ big)} | e_ {i } \ rangle \ langle e_ {i} |,}$

то есть у нас диагональное смешанное состояние , нет никаких конструктивных или деструктивных помех, и «вероятности» складываются классическим образом. Время, необходимое U ( t ) (унитарный оператор как функция времени) для отображения свойства декогеренции, называется временем декогеренции .

Экспериментальные наблюдения

Количественное измерение

Скорость декогеренции зависит от ряда факторов, включая температуру или неопределенность положения, и во многих экспериментах пытались измерить ее в зависимости от внешней среды.

Процесс квантовой суперпозиции, постепенно стирающейся из-за декогеренции, был впервые количественно измерен Сержем Гарошем и его сотрудниками в École Normale Supérieure в Париже в 1996 году. Их подход заключался в отправке отдельных атомов рубидия , каждый из которых находился в суперпозиции двух состояний. через резонатор, заполненный микроволновым излучением. Оба квантовых состояния вызывают сдвиги в фазе микроволнового поля, но на разную величину, так что само поле также находится в суперпозиции двух состояний. Из-за рассеяния фотонов на несовершенстве резонатора-зеркала поле резонатора теряет фазовую когерентность с окружающей средой.

Гарош и его коллеги измерили результирующую декогеренцию с помощью корреляций между состояниями пар атомов, проходящих через полость с различными временными задержками между атомами.

Уменьшение декогеренции окружающей среды

В июле 2011 года исследователи из Университета Британской Колумбии и Калифорнийского университета в Санта-Барбаре смогли снизить уровень декогеренции окружающей среды «до уровней, намного ниже порога, необходимого для обработки квантовой информации», применив в своем эксперименте сильные магнитные поля.

В августе 2020 года ученые сообщили, что ионизирующее излучение от радиоактивных материалов окружающей среды и космических лучей может существенно ограничить время когерентности кубитов, если они не экранированы должным образом, что может иметь решающее значение для реализации отказоустойчивых сверхпроводящих квантовых компьютеров в будущем.

Критика

Критика адекватности теории декогеренции для решения проблемы измерения была выражена Энтони Леггеттом : «Я слышу, как люди бормочут страшное слово« декогеренция ». Но я утверждаю, что это серьезный отвлекающий маневр». Относительно экспериментальной значимости теории декогеренции Леггетт заявил: «Давайте теперь попробуем оценить аргумент декогеренции. На самом деле, наиболее экономичной тактикой на данном этапе было бы перейти непосредственно к результатам следующего раздела, а именно к тому, что это экспериментально опровергнуты! Тем не менее, интересно потратить время на то, чтобы выяснить, почему было разумно предвидеть это до фактических экспериментов. Фактически, аргумент содержит несколько серьезных лазеек ».

В интерпретациях квантовой механики

До того, как было развито понимание декогеренции, копенгагенская интерпретация квантовой механики рассматривала коллапс волновой функции как фундаментальный априорный процесс. Декогеренция как возможная пояснительная механизм для появления коллапса волновой функции впервые была разработана Дэвид Бом в 1952 году, который применил его к Луи де Бройль «s пилот-волновая теории, производя бомовские механики , первые успешные скрытого переменные интерпретации квантовой механики. Затем в 1957 году Хью Эверетт использовал декогеренцию, чтобы сформировать ядро ​​его многомировой интерпретации . Однако декогеренция в значительной степени игнорировалась в течение многих лет (за исключением работы Зе), и только в 1980-х годах объяснения появления коллапса волновой функции, основанные на декогерентности, стали популярными, с более широким признанием использования уменьшенных матриц плотности. . Диапазон декогерентных интерпретаций был впоследствии расширен вокруг этой идеи, например, последовательные истории . Некоторые версии копенгагенской интерпретации были изменены, чтобы включить декогеренцию.

Декогеренция не претендует на то, чтобы обеспечить механизм некоторого реального коллапса волновой функции; скорее, он предлагает разумную основу для возникновения коллапса волновой функции. Квантовая природа системы просто «просачивается» в окружающую среду, так что полная суперпозиция волновой функции все еще существует, но существует - по крайней мере для всех практических целей - за пределами области измерения. Конечно, по определению утверждение, что объединенная, но неизмеримая волновая функция все еще существует, не может быть доказано экспериментально. Декогеренция необходима, чтобы понять, почему квантовая система начинает подчиняться классическим вероятностным правилам после взаимодействия с окружающей средой (из-за подавления интерференционных членов при применении вероятностных правил Борна к системе).

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

• Шлосгауэр, Максимилиан (2007). Декогеренция и переход от кванта к классике (1-е изд.). Берлин / Гейдельберг: Springer.
• Joos, E .; и другие. (2003). Декогеренция и появление классического мира в квантовой теории (2-е изд.). Берлин: Springer.
• Омнес, Р. (1999). Понимание квантовой механики . Принстон: Издательство Принстонского университета.
• Журек, Войцех Х. (2003). «Декогеренция и переход от квантовой к классической - ПЕРЕСМОТРЕННОЕ», arXiv : Quant-ph / 0306072 (обновленная версия статьи PHYSICS TODAY, 44: 36–44 (1991))
• Шлосгауэр, Максимилиан (23 февраля 2005 г.). «Декогеренция, проблема измерения и интерпретации квантовой механики». Обзоры современной физики . 76 (2004): 1267–1305. arXiv : квант-ph / 0312059 . Bibcode : 2004RvMP ... 76.1267S . DOI : 10.1103 / RevModPhys.76.1267 . S2CID  7295619 .
• Дж. Дж. Холливелл, Дж. Перес-Меркадер, Войцех Х. Зурек , редакторы, Физические истоки временной асимметрии , Часть 3: Декогеренция, ISBN  0-521-56837-4
• Бертольд-Георг Энглерт , Марлан О. Скалли и Герберт Вальтер , Квантово-оптические тесты комплементарности , Nature, том 351, стр. 111–116 (9 мая 1991 г.) и (те же авторы) The Duality in Matter and Light Scientific American, стр. 56– 61, (декабрь 1994 г.). Демонстрирует, что дополнительность усиливается, а эффекты квантовой интерференции разрушаются необратимыми корреляциями объект-аппарат , а не самим принципом неопределенности Гейзенберга, как раньше считалось широко .
• Марио Кастаньино, Себастьян Фортин, Роберто Лаура и Олимпия Ломбарди, Общая теоретическая основа декогеренции в открытых и закрытых системах , Классическая и квантовая гравитация, 25, стр. 154002–154013, (2008). Предлагается общая теоретическая основа для декогеренции, которая включает формализмы, первоначально разработанные для работы только с открытыми или закрытыми системами.

внешние ссылки

• Decoherence.info Эрих Джоос
• http://plato.stanford.edu/entries/qm-decoherence/
• Шлосгауэр, Максимилиан (2005). «Декогеренция, проблема измерения и интерпретации квантовой механики». Обзоры современной физики . 76 (4): 1267–1305. arXiv : квант-ph / 0312059 . DOI : 10.1103 / RevModPhys.76.1267 . S2CID  7295619 .
• Дасс, Тулси (2005). «Измерения и декогеренция». arXiv : квант-ph / 0505070 .
• Подробное введение с веб-сайта аспиранта Дрексельского университета
• Квантовая ошибка: кубиты могут самопроизвольно распадаться за секунды Scientific American (октябрь 2005 г.)
• Квантовая декогеренция и проблема измерения