Унитарное преобразование - Unitary transformation

В математике унитарное преобразование - это преобразование, которое сохраняет внутренний продукт : внутренний продукт двух векторов до преобразования равен их внутреннему продукту после преобразования.

Формальное определение

Точнее, унитарное преобразование - это изоморфизм двух гильбертовых пространств . Другими словами, унитарное преобразование - это биективная функция

${\ Displaystyle U: H_ {1} \ to H_ {2} \,}$

где и - гильбертовы пространства, такие что ${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle H_ {2}}$

${\ displaystyle \ langle Ux, Uy \ rangle _ {H_ {2}} = \ langle x, y \ rangle _ {H_ {1}}}$

для всех и во . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle H_ {1}}$

Свойства

Унитарное преобразование - это изометрия , как можно увидеть, задав в этой формуле. ${\ displaystyle x = y}$

Унитарный оператор

В случае, когда и являются одним и тем же пространством, унитарное преобразование является автоморфизмом этого гильбертова пространства, и тогда оно также называется унитарным оператором . ${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle H_ {2}}$

Антиунитарная трансформация

Тесно родственное понятие - понятие антиунитарной трансформации , которое является биективной функцией.

${\ Displaystyle U: H_ {1} \ to H_ {2} \,}$

между двумя комплексными гильбертовыми пространствами такими, что

${\ displaystyle \ langle Ux, Uy \ rangle = {\ overline {\ langle x, y \ rangle}} = \ langle y, x \ rangle}$

для всех и в , где горизонтальная черта представляет комплексное сопряжение . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle H_ {1}}$

Смотрите также

• Антиунитарный
• Ортогональное преобразование
• Обратное время
• Унитарная группа
• Унитарный оператор
• Унитарная матрица
• Теорема Вигнера
• Унитарные преобразования в квантовой механике