Квантовый гармонический осциллятор - Quantum harmonic oscillator

Некоторые траектории гармонического осциллятора согласно законам Ньютона в классических механик (А-В), и в соответствии с уравнением Шредингера в квантовой механике (C-H). В A – B частица (представленная в виде шара, прикрепленного к пружине ) колеблется взад и вперед. На C – H показаны некоторые решения уравнения Шредингера, где горизонтальная ось - положение, а вертикальная ось - действительная часть (синий цвет) или мнимая часть (красный цвет) волновой функции . C, D, E, F, но не G, H, являются собственными состояниями энергии . H - когерентное состояние - квантовое состояние, которое приближается к классической траектории.

Квантовый гармонический осциллятор является квантово-механическим аналогом классического гармонического осциллятора . Поскольку произвольный гладкий потенциал обычно можно аппроксимировать как гармонический потенциал в окрестности точки устойчивого равновесия , это одна из наиболее важных модельных систем в квантовой механике. Кроме того, это одна из немногих квантово-механических систем, для которых известно точное аналитическое решение .

Одномерный гармонический осциллятор

Гамильтониан и собственные состояния энергии

Представления волновой функции для первых восьми граничных собственных состояний, n = от 0 до 7. Горизонтальная ось показывает положение x .
Соответствующие плотности вероятности.

Гамильтониан частицы равен:

где m - масса частицы, k - силовая постоянная, - угловая частота осциллятора, - оператор положения (заданный как x в координатном базисе), и - оператор импульса (заданный как в координатном базисе). Первый член гамильтониана представляет кинетическую энергию частицы, а второй член представляет ее потенциальную энергию, как в законе Гука .

Можно записать не зависящее от времени уравнение Шредингера :

где E обозначает подлежащее определению действительное число, которое будет определять не зависящий от времени уровень энергии или собственное значение , а решение | г | обозначает энергию , что уровень в собственном состоянии .

Можно решить дифференциальное уравнение , представляющее эту задачу на собственные значения в координатной основе, для волновой функции х | г | ⟩ = г | ( х ) , используя спектральный метод . Оказывается, есть семейство решений. В этой основе они составляют функции Эрмита ,

Функции H n являются полиномами Эрмита физиков ,

Соответствующие уровни энергии:

Этот энергетический спектр заслуживает внимания по трем причинам. Во-первых, энергии квантуются, что означает, что возможны только дискретные значения энергии (целые плюс половинные кратные ħω ); это общая черта квантово-механических систем, когда частица удерживается. Во-вторых, эти дискретные уровни энергии расположены на одинаковом расстоянии, в отличие от модели атома Бора или частицы в ящике . В-третьих, наименьшая достижимая энергия (энергия состояния n = 0 , называемого основным состоянием ) не равна минимуму потенциальной ямы, а равна ħω / 2 над ним; это называется нулевой энергией . Из-за энергии нулевой точки положение и импульс осциллятора в основном состоянии не фиксированы (как в классическом осцилляторе), а имеют небольшой диапазон отклонений в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга .

Плотность вероятности основного состояния сосредоточена в начале координат, что означает, что частица проводит большую часть своего времени на дне потенциальной ямы, как и следовало ожидать от состояния с небольшой энергией. По мере увеличения энергии пик плотности вероятности приходится на классические «точки поворота», где энергия состояния совпадает с потенциальной энергией. (См. Обсуждение высоковозбужденных состояний ниже.) Это согласуется с классическим гармоническим осциллятором, в котором частица проводит больше времени (и, следовательно, с большей вероятностью может быть обнаружена) вблизи точек поворота, где она перемещает самый медленный. Таким образом, соблюдается принцип соответствия. Более того, специальные недисперсные волновые пакеты с минимальной неопределенностью, называемые когерентными состояниями, колеблются очень подобно классическим объектам, как показано на рисунке; они не являются собственными состояниями гамильтониана.

Метод лестничного оператора

Плотности вероятностей | ψ n ( x ) | 2 для связанных собственных состояний, начиная с основного состояния ( n = 0) внизу и возрастая по энергии кверху. Горизонтальная ось показывает положение x, а более яркие цвета представляют более высокие плотности вероятности.

Метод « лестничного оператора », разработанный Полем Дираком , позволяет извлекать собственные значения энергии без прямого решения дифференциального уравнения. Его можно обобщить на более сложные проблемы, особенно в квантовой теории поля . Следуя этому подходу, определим операторы a и сопряженный к нему a ,

Это приводит к полезному представлению и ,

Оператор a не эрмитов , поскольку он сам и сопряженный к нему a не равны. Собственные состояния энергии | п , при работе на этих операторов лестничных, дают

Тогда очевидно, что a , по сути, добавляет к осциллятору единичный квант энергии, а a удаляет квант. По этой причине их иногда называют операторами «создания» и «уничтожения».

Из приведенных выше соотношений мы также можем определить числовой оператор N , который обладает следующим свойством:

Следующие коммутаторы легко получить, подставив каноническое коммутационное соотношение :

А оператор Гамильтона можно выразить как

так что собственное состояние N также является собственным состоянием энергии.

Свойство коммутации дает

и аналогично,

Это означает , что действует на | п производить до мультипликативной константы | n –1⟩ , а a действует на | п для производства | п + 1⟩ . По этой причине a называется оператором уничтожения («оператором опускания»), а a - оператором создания («оператором возведения»). Эти два оператора вместе называются лестничными операторами . В квантовой теории поля a и a поочередно называются операторами «аннигиляции» и «созидания», поскольку они разрушают и создают частицы, соответствующие нашим квантам энергии.

Для любого собственного состояния энергии мы можем воздействовать на него с помощью понижающего оператора a , чтобы создать другое собственное состояние с на ω меньшей энергией. Путем многократного применения оператора понижения кажется, что мы можем получить собственные энергетические состояния вплоть до E = −∞ . Однако, поскольку

наименьшее собственное число равно 0, и

В этом случае последующие применения оператора понижения будут просто производить нулевые кеты вместо дополнительных собственных состояний энергии. Кроме того, мы показали выше, что

Наконец, воздействуя на | 0⟩ с повышающим оператором и умножая на подходящие нормировочные множители , мы можем создать бесконечный набор собственных состояний энергии

такой, что

что соответствует энергетическому спектру, приведенному в предыдущем разделе.

Произвольные собственные состояния могут быть выражены через | 0⟩,

Доказательство:

Аналитические вопросы

Предыдущий анализ является алгебраическим и использует только коммутационные соотношения между повышающими и понижающими операторами. После завершения алгебраического анализа следует обратиться к аналитическим вопросам. Сначала нужно найти основное состояние, то есть решение уравнения . В позиционном представлении это дифференциальное уравнение первого порядка

,

решение которой легко найти гауссовским

.

Концептуально важно, чтобы у этого уравнения было только одно решение; если бы было, скажем, два линейно независимых основных состояния, мы получили бы две независимые цепочки собственных векторов для гармонического осциллятора. После вычисления основного состояния можно индуктивно показать, что возбужденные состояния являются полиномами Эрмита, умноженными на гауссово основное состояние, используя явную форму повышающего оператора в позиционном представлении. Можно также доказать, что, как и следовало ожидать из уникальности основного состояния, собственные состояния энергии функций Эрмита, построенные лестничным методом, образуют полный ортонормированный набор функций.

Явно связываясь с предыдущим разделом, основное состояние | 0⟩ в представлении позиции определяется следующим образом :

следовательно

так что и так далее.

Естественная длина и шкала энергии

Квантовый гармонический осциллятор имеет естественные масштабы длины и энергии, которые можно использовать для упрощения задачи. Их можно найти путем обезразмеривания .

В результате, если энергия измеряется в единицах ω, а расстояние в единицах ħ / ( ) , то гамильтониан упрощается до

в то время как собственные функции энергии и собственные значения упрощаются до функций Эрмита и целых чисел, смещенных наполовину,

где H n ( x ) - полиномы Эрмита .

Во избежание недоразумений, эти «натуральные единицы» в данной статье не используются. Однако они часто пригодятся при выполнении расчетов, избегая беспорядка.

Например, фундаментальное решение ( пропагатор ) H − i∂ t , зависящего от времени оператора Шредингера для этого осциллятора, просто сводится к ядру Мелера :

где K ( x , y ; 0) = δ ( x - y ) . Тогда наиболее общее решение для данной начальной конфигурации ψ ( x , 0) просто

Когерентные состояния

Временная эволюция распределения вероятностей (и фазы, показанной цветом) когерентного состояния с | α | = 3.

В когерентных состояниях гармонического осциллятора специальные недиспергирующие волновые пакеты с минимальной неопределенностью σ х σ р = / 2 , чья наблюдаемое " ожидание значения эволюционирует как классическая система. Они являются собственными векторами оператора уничтожения, а не гамильтониана, и образуют сверхполный базис, которому, следовательно, не хватает ортогональности.

Когерентные состояния индексируются α ∈ ℂ и выражаются в | п основания , как

.

Потому и с помощью тождества Kermack-Mccrae, последняя форма эквивалентна унитарного перемещения оператора , действующего на состоянии: . В положении пространства волновых функций

.

Поскольку когерентные состояния не являются собственными состояниями энергии, их эволюция во времени не является простым сдвигом фазы волновой функции. Временные эволюционировали состояния, однако, также когерентные состояния , но с параметром фазового сдвига & alpha ; вместо того, чтобы : .

Сильновозбужденные состояния

Волновая функция (вверху) и плотность вероятности (внизу) для возбужденного состояния n  = 30 квантового гармонического осциллятора. Вертикальные пунктирные линии указывают классические поворотные точки, а пунктирная линия представляет классическую плотность вероятности.

Когда n велико, собственные состояния локализованы в классической разрешенной области, то есть в области, в которой может двигаться классическая частица с энергией E n . Собственные состояния достигают максимума около поворотных точек: точек на концах классически разрешенной области, где классическая частица меняет направление. Это явление можно проверить с помощью асимптотики полиномов Эрмита , а также с помощью приближения ВКБ .

Частота колебаний в точке x пропорциональна импульсу p ( x ) классической частицы с энергией E n и положением x . Кроме того, квадрат амплитуды (определяющий плотность вероятности) обратно пропорционален p ( x ) , отражая продолжительность времени, которое классическая частица проводит около x . Поведение системы в небольшой окрестности точки поворота не имеет простого классического объяснения, но может быть смоделировано с помощью функции Эйри . Используя свойства функции Эйри, можно приблизительно оценить вероятность нахождения частицы за пределами классически разрешенной области.

Это также асимптотически задается интегралом

Решения в фазовом пространстве

В формулировке фазового пространства квантовой механики, собственные состояния квантового гармонического осциллятора в нескольких различных представлениях о распределении квазивероятности можно записать в замкнутой форме. Наиболее широко они используются для распределения квазивероятностей Вигнера .

Распределение квазивероятностей Вигнера для собственного состояния энергии | п является, в естественных единицах описано выше,

где L n - полиномы Лагерра . Этот пример показывает, как полиномы Эрмита и Лагерра связаны через карту Вигнера .

Между тем Q-функция Хусими собственных состояний гармонического осциллятора имеет еще более простой вид. Если мы работаем в натуральных единицах, описанных выше, мы имеем

Это утверждение можно проверить с помощью преобразования Сигала – Баргмана . В частности, поскольку повышающий оператор в представлении Сигала – Баргмана представляет собой простое умножение на, а основное состояние является постоянной функцией 1, нормализованные состояния гармонического осциллятора в этом представлении являются простыми . На этом этапе мы можем обратиться к формуле для функции Хусими Q в терминах преобразования Сигала – Баргмана.

N- мерный изотропный гармонический осциллятор

Одномерный гармонический осциллятор легко распространен на N измерения, где N  = 1, 2, 3, ... . В одном измерении, положение частицы было определено с помощью одной координате , х . В N измерениях, это заменяется N координатами положения, которые мы будем обозначать х 1 , ..., х N . Каждой координате положения соответствует импульс; мы называем этот р 1 , ...,  р N . В канонических коммутационных соотношениях между этими операторами являются

Гамильтониан этой системы равен

Как видно из формы этого гамильтониана, N -мерный гармонический осциллятор в точности аналогичен N независимым одномерным гармоническим осцилляторам с той же массой и жесткостью пружины. В этом случае величины x 1 , ..., x N будут относиться к положению каждой из N частиц. Это удобное свойство потенциала r 2 , которое позволяет разделить потенциальную энергию на члены, каждая из которых зависит от одной координаты.

Это наблюдение делает решение простым. Для определенного набора квантовых чисел собственные функции энергии для N- мерного осциллятора выражаются через 1-мерные собственные функции как:

В методе лестничных операторов мы определяем N наборов лестничных операторов,

Затем, аналогично одномерному случаю, мы можем показать, что каждый из операторов a i и a i понижает и увеличивает энергию на ℏω соответственно. Гамильтониан

Этот гамильтониан инвариантен относительно динамической группы симметрии U ( N ) (унитарная группа в N измерениях), определяемой формулой

где - элемент в определяющем матричном представлении U ( N ) .

Уровни энергии системы

Как и в одномерном случае, энергия квантуется. Энергия основного состояния в N раз больше одномерной основной энергии, как и следовало ожидать, используя аналогию с N независимыми одномерными осцилляторами. Есть еще одно отличие: в одномерном случае каждому энергетическому уровню соответствует уникальное квантовое состояние. В N- измерениях, за исключением основного состояния, уровни энергии вырождены , что означает, что существует несколько состояний с одинаковой энергией.

Вырождение можно вычислить относительно легко. В качестве примера рассмотрим трехмерный случай: определим n  =  n 1  +  n 2  +  n 3 . Все состояния с одинаковым n будут иметь одинаковую энергию. Для данного n мы выбираем конкретное n 1 . Тогда n 2  +  n 3  =  n  -  n 1 . Есть n  -  n 1  + 1 возможных пар { n 2n 3 }. n 2 может принимать значения от 0 до n  -  n 1 , и для каждого n 2 значение n 3 является фиксированным. Таким образом, степень вырождения составляет:

Формула для общего N и n [ g n - размерность симметричного неприводимого n- го степенного представления унитарной группы U ( N ) ]:

Частный случай N = 3, указанный выше, непосредственно следует из этого общего уравнения. Однако это верно только для различимых частиц или одной частицы в N измерениях (поскольку размеры различимы). Для случая N бозонов в гармонической ловушке в одной размерности вырождения шкала , как число способов разбить целое число п , используя целые числа меньше или равно N .

Это возникает из-за ограничения помещения N квантов в состояние ket, где и , которые являются теми же ограничениями, что и в целочисленном разбиении.

Пример: трехмерный изотропный гармонический осциллятор

Решения Шредингера для трехмерных сферических гармонических орбиталей на двумерных графиках плотности; исходный код системы Mathematica, который использовался для создания графиков, находится вверху

Уравнение Шредингера для частицы в сферически-симметричном трехмерном гармоническом осцилляторе может быть решено явно путем разделения переменных; см. эту статью для настоящего дела. Эта процедура аналогична разделению, выполняемому в задаче водородоподобного атома , но с другим сферически-симметричным потенциалом

где μ - масса частицы. Поскольку m будет использоваться ниже для магнитного квантового числа, масса обозначается μ , а не m , как ранее в этой статье.

Решение гласит

куда

- нормировочная константа; ;

- обобщенные полиномы Лагерра ; Порядок k многочлена - целое неотрицательное число;

- сферическая гармоническая функция ;
ħ - приведенная постоянная Планка :  

Собственное значение энергии

Энергия обычно описывается одним квантовым числом

Поскольку k - неотрицательное целое число, для каждого четного n мы имеем ℓ = 0, 2, ..., n - 2, n, а для каждого нечетного n имеем = 1, 3, ..., n  - 2 , п . Магнитное квантовое число m является целым числом, удовлетворяющим условию −ℓ ≤ m ≤ ℓ , поэтому для каждого n и существует 2  + 1 различных квантовых состояний , обозначенных m . Таким образом, вырождение на уровне n равно

где сумма начинается с 0 или 1, в зависимости от того, является ли n четным или нечетным. Этот результат соответствует приведенной выше формуле размерности и составляет размерность симметричного представления SU (3) , соответствующей группы вырождения.

Приложения

Решетка гармонических осцилляторов: фононы

Мы можем распространить понятие гармонического осциллятора на одномерную решетку многих частиц. Рассмотрим одномерную квантово-механическую гармоническую цепочку из N одинаковых атомов. Это простейшая квантово-механическая модель решетки, и мы увидим, как из нее возникают фононы . Формализм, который мы разработаем для этой модели, легко обобщается для двух и трех измерений.

Как и в предыдущем разделе, мы обозначаем положения масс x 1 , x 2 , ... , измеренные от их положений равновесия (т.е. x i = 0, если частица i находится в своем положении равновесия). В двух или более измерениях x i - векторные величины. Гамильтониан для этой системы

где m - (предполагаемая однородная) масса каждого атома, а x i и p i - операторы положения и импульса для i- го атома, а сумма производится по ближайшим соседям (nn). Тем не менее, обычно переписать гамильтониан в терминах нормальных мод в волновой вектор , а не в терминах координат частиц , чтобы можно было работать в более удобном пространстве Фурье .

Введет, то множество N «нормальные координаты» Q к , определяется как дискретное преобразование Фурье из й с и Н «сопряженные импульсы» Π определяется как преобразование Фурье из р ы,

Величина k n окажется волновым числом фонона, то есть 2 π, деленным на длину волны . Он принимает квантованные значения, потому что количество атомов конечно.

Это сохраняет желаемые коммутационные соотношения либо в реальном пространстве, либо в пространстве волновых векторов.

Из общего результата

с помощью элементарной тригонометрии легко показать, что член потенциальной энергии

куда

Гамильтониан можно записать в пространстве волновых векторов как

Обратите внимание, что связи между переменными позиции были преобразованы; если бы Q s и Π s были эрмитовыми (а это не так), преобразованный гамильтониан описал бы N несвязанных гармонических осцилляторов.

Форма квантования зависит от выбора граничных условий; для простоты мы налагаем периодические граничные условия, определяя ( N + 1) -й атом как эквивалентный первому атому. Физически это соответствует соединению цепочки на ее концах. Результирующее квантование

Верхняя граница для n определяется минимальной длиной волны, которая в два раза больше шага решетки a , как обсуждалось выше.

Собственные значения гармонического осциллятора или уровни энергии для моды ω k равны

Если пренебречь нулевой энергией, то уровни будут равномерно расположены на

Таким образом, в решетку гармонического осциллятора должно быть подано точное количество энергии ω , чтобы подтолкнуть ее к следующему энергетическому уровню. По аналогии со случаем фотона, когда электромагнитное поле квантовано, квант колебательной энергии называется фононом .

Все квантовые системы проявляют волнообразные свойства и свойства частиц. Частично-подобные свойства фонона лучше всего понять, используя методы вторичного квантования и операторные техники, описанные ниже.

В континуальном пределе a → 0, N → ∞, а Na остается фиксированным. Канонические координаты Q k переходят к разделенным импульсным модам скалярного поля, в то время как индекс местоположения i ( не динамическая переменная смещения ) становится параметром x аргументом скалярного поля .

Молекулярные колебания

  • Колебания двухатомной молекулы являются примером двухчастичной версии квантового гармонического осциллятора. В этом случае угловая частота определяется выражением
где это приведенная масса , и и являются массы двух атомов.
  • В атоме Гук является простой моделью гелия атома с помощью квантового гармонического осциллятора.
  • Моделирование фононов, о чем говорилось выше.
  • Заряд с массой в однородном магнитном поле является примером одномерного квантового гармонического осциллятора: квантования Ландау .

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки