Основное состояние - Ground state

Уровни энергии в течение электрона в качестве атома : основное состояния и возбужденных состояний . После поглощения энергии электрон может перейти из основного состояния в возбужденное состояние с более высокой энергией.

Основное состояние из квантово-механической системы является ее lowest- энергии состояния ; энергия основного состояния известна как энергия нулевой точки системы. Возбужденное состояние любое состояние с энергией больше , чем состояние. В квантовой теории поля основное состояние обычно называют вакуумным состоянием или вакуумом .

Если существует более одного основного состояния, они называются вырожденными . Многие системы имеют вырожденные основные состояния. Вырождение происходит всякий раз, когда существует унитарный оператор, который нетривиально действует на основном состоянии и коммутирует с гамильтонианом системы.

Согласно третьему закону термодинамики система при абсолютной нулевой температуре существует в основном состоянии; таким образом, его энтропия определяется вырожденностью основного состояния. Многие системы, такие как идеальная кристаллическая решетка , имеют уникальное основное состояние и, следовательно, имеют нулевую энтропию при абсолютном нуле. Также возможно, что наивысшее возбужденное состояние имеет абсолютную нулевую температуру для систем с отрицательной температурой .

Отсутствие узлов в одном измерении

В одном измерении можно доказать , что основное состояние уравнения Шредингера не имеет узлов .

Вывод

Рассмотрим среднюю энергию состояния с узлом при x = 0 ; т.е. ψ (0) = 0 . Средняя энергия в этом состоянии будет

$${\ Displaystyle \ langle \ psi | H | \ psi \ rangle = \ int dx \, \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ psi ^ {*} {\ frac {d ^ {2} \ psi} {dx ^ {2}}} + V (x) | \ psi (x) | ^ {2} \ right),}$$

где V ( x ) - потенциал.

При интеграции по частям :

$${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ psi ^ {*} {\ frac {d ^ {2} \ psi} {dx ^ {2}}} dx = \ left [\ psi ^ {*} {\ frac {d \ psi} {dx}} \ right] _ {a} ^ {b} - \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {d \ psi ^ {*}} {dx}} {\ frac {d \ psi} {dx}} dx = \ left [\ psi ^ {*} {\ frac {d \ psi} {dx}} \ right] _ {a} ^ {b} - \ int _ {a} ^ {b} \ left | {\ frac {d \ psi} {dx}} \ right | ^ {2} dx}$$

Следовательно, в случае, если он равен нулю , получаем: ${\ displaystyle \ left [\ psi ^ {*} {\ frac {d \ psi} {dx}} \ right] _ {- \ infty} ^ {\ infty} = \ lim _ {b \ to \ infty} \ psi ^ {*} (b) {\ frac {d \ psi} {dx}} (b) - \ lim _ {a \ to - \ infty} \ psi ^ {*} (a) {\ frac {d \ psi} {dx}} (а)}$

$${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi ^ {*} {\ frac {d ^ {2} \ psi} {dx ^ {2}}} dx = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | {\ frac {d \ psi} { dx}} \ right | ^ {2} dx}$$

Теперь рассмотрим небольшой интервал вокруг ; то есть . Возьмем новую (деформированную) волновую функцию ψ ' ( x ), определяемую как , при ; и для ; и константа для . Если достаточно мало, это всегда возможно, так что ψ ' ( x ) непрерывна. ${\ displaystyle x = 0}$${\ Displaystyle х \ в [- \ varepsilon, \ varepsilon]}$${\ Displaystyle \ psi '(x) = \ psi (x)}$${\ Displaystyle х <- \ varepsilon}$${\ Displaystyle \ psi '(x) = - \ psi (x)}$${\ Displaystyle х> \ varepsilon}$${\ Displaystyle х \ в [- \ varepsilon, \ varepsilon]}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

Предполагая , что вокруг , можно написать ${\ Displaystyle \ psi (х) \ приблизительно -cx}$${\ displaystyle x = 0}$

$${\ Displaystyle \ psi '(x) = N {\ begin {cases} | \ psi (x) |, & | x |> \ varepsilon, \\ c \ varepsilon, & | x | \ leq \ varepsilon, \ end {случаи}}}$$

${\ displaystyle N = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + {\ frac {4} {3}} | c | ^ {2} \ varepsilon ^ {3}}}}}$

Обратите внимание, что плотности кинетической энергии сохраняются везде из-за нормировки. Что еще более важно, средняя кинетическая энергия снижается из-за деформации до ψ ' . ${\ textstyle {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ left | {\ frac {d \ psi '} {dx}} \ right | ^ {2} <{\ frac {\ hbar ^ { 2}} {2m}} \ left | {\ frac {d \ psi} {dx}} \ right | ^ {2}}$${\ Displaystyle О (\ varepsilon)}$

Теперь рассмотрим потенциальную энергию. Выберем для определенности . Тогда ясно, что вне интервала плотность потенциальной энергии меньше для ψ ', потому что там. ${\ Displaystyle V (х) \ geq 0}$${\ Displaystyle х \ в [- \ varepsilon, \ varepsilon]}$${\ displaystyle | \ psi '| <| \ psi |}$

С другой стороны, в интервале имеем ${\ Displaystyle х \ в [- \ varepsilon, \ varepsilon]}$

$${\ displaystyle {V _ {\ text {avg}} ^ {\ varepsilon}} '= \ int _ {- \ varepsilon} ^ {\ varepsilon} dx \, V (x) | \ psi' | ^ {2} = {\ frac {\ varepsilon ^ {2} | c | ^ {2}} {1 + {\ frac {4} {3}} | c | ^ {2} \ varepsilon ^ {3}}} \ int _ { - \ varepsilon} ^ {\ varepsilon} dx \, V (x) \ simeq 2 \ varepsilon ^ {3} | c | ^ {2} V (0) + \ cdots,}$$

${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {3}}$

Однако вклад в потенциальную энергию от этой области для состояния ψ с узлом равен

$${\ Displaystyle V _ {\ text {avg}} ^ {\ varepsilon} = \ int _ {- \ varepsilon} ^ {\ varepsilon} dx \, V (x) | \ psi | ^ {2} = | c | ^ {2} \ int _ {- \ varepsilon} ^ {\ varepsilon} dx \, x ^ {2} V (x) \ simeq {\ frac {2} {3}} \ varepsilon ^ {3} | c | ^ {2} V (0) + \ cdots,}$$

без узла, и изменение можно не учитывать. ${\ Displaystyle О (\ varepsilon ^ {3})}$${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {2}}$${\ displaystyle \ psi}$

Таким образом, мы можем удалить все узлы и уменьшить энергию на , что означает, что

не может быть основным состоянием. Таким образом, волновая функция основного состояния не может иметь узла. Это завершает доказательство. (Затем средняя энергия может быть дополнительно снижена путем устранения волн до вариационного абсолютного минимума.) ${\ Displaystyle О (\ varepsilon)}$

Последствия

Поскольку основное состояние не имеет узлов, оно является пространственно невырожденным, т.е. не существует двух стационарных квантовых состояний с собственным значением энергии основного состояния (назовем его ) и одним и тем же

. ${\ displaystyle E_ {g}}$

Рассуждения идут от противоречия : если бы основное состояние было вырожденным, тогда было бы два ортонормированных стационарных состояния и - позже представленные их комплекснозначными волновыми функциями пространственного положения и - и любая

с комплексными числами, удовлетворяющими условию, была бы также быть таким состоянием, т.е. иметь такое же собственное значение энергии и такое же спин-состояние. ${\ displaystyle \ left | \ psi _ {1} \ right \ rangle}$${\ displaystyle \ left | \ psi _ {2} \ right \ rangle}$${\ displaystyle \ psi _ {1} (x, t) = \ psi _ {1} (x, 0) \ cdot e ^ {- iE_ {g} t / \ hbar}}$${\ displaystyle \ psi _ {2} (x, t) = \ psi _ {2} (x, 0) \ cdot e ^ {- iE_ {g} t / \ hbar}}$ ${\ Displaystyle \ left | \ psi _ {3} \ right \ rangle: = c_ {1} \ left | \ psi _ {1} \ right \ rangle + c_ {2} \ left | \ psi _ {2} \ право \ rangle}$${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$${\ Displaystyle | c_ {1} | ^ {2} + | c_ {2} | ^ {2} = 1}$${\ displaystyle E_ {g}}$

Теперь позвольте быть некоторой случайной точкой (где определены обе волновые функции) и установите: ${\ displaystyle x_ {0}}$

$${\ displaystyle c_ {1} = {\ frac {\ psi _ {2} (x_ {0}, 0)} {a}}}$$

и

$${\ displaystyle c_ {2} = {\ frac {- \ psi _ {1} (x_ {0}, 0)} {a}}}$$

с

$${\ displaystyle a = {\ sqrt {| \ psi _ {1} (x_ {0}, 0) | ^ {2} + | \ psi _ {2} (x_ {0}, 0) | ^ {2} }}> 0}$$

(по помещению узлов нет ).

Следовательно, волновая функция пространственного положения равна ${\ displaystyle \ left | \ psi _ {3} \ right \ rangle}$

$${\ Displaystyle \ psi _ {3} (x, t) = c_ {1} \ psi _ {1} (x, t) + c_ {2} \ psi _ {2} (x, t) = {\ frac {1} {a}} \ left (\ psi _ {2} (x_ {0}, 0) \ cdot \ psi _ {1} (x, 0) - \ psi _ {1} (x_ {0}, 0) \ cdot \ psi _ {2} (x, 0) \ right) \ cdot e ^ {- iE_ {g} t / \ hbar}.}$$

Следовательно

$${\ Displaystyle \ psi _ {3} (x_ {0}, t) = {\ frac {1} {a}} \ left (\ psi _ {2} (x_ {0}, 0) \ cdot \ psi _ {1} (x_ {0}, 0) - \ psi _ {1} (x_ {0}, 0) \ cdot \ psi _ {2} (x_ {0}, 0) \ right) \ cdot e ^ { -iE_ {g} t / \ hbar} = 0}$$

для всех . ${\ displaystyle t}$

Но т. Е. Является

волновой функции основного состояния, а это противоречит предположению, что эта волновая функция не может иметь узла. ${\ displaystyle \ left \ langle \ psi _ {3} | \ psi _ {3} \ right \ rangle = | c_ {1} | ^ {2} + | c_ {2} | ^ {2} = 1}$${\ displaystyle x_ {0}}$

Обратите внимание, что основное состояние может быть вырожденным из-за разных спиновых состояний, таких как и при наличии одной и той же волновой функции в пространственно-позиционном пространстве: любая суперпозиция этих состояний создаст смешанное спиновое состояние, но оставит пространственную часть (как общий фактор обоих) неизменной. . ${\ Displaystyle \ влево | \ вверх \ вправо \ rangle}$${\ displaystyle \ left | \ downarrow \ right \ rangle}$

Примеры

Начальные волновые функции для первых четырех состояний одномерной частицы в ящике

• Волновая функция основного состояния частицы в одномерном поле является полупериод синусоидальной волной , которая стремится к нулю на два краях скважины. Энергия частицы определяется выражением , где

- ширина ямы. .${\ textstyle {\ frac {ч ^ {2} п ^ {2}} {8 мл ^ {2}}}}$

Волновая функция основного состояния атома водорода представляет собой сферически-симметричное распределение с центром в ядре , которое является наибольшим в центре и экспоненциально уменьшается на больших расстояниях. Электроны , скорее всего , можно найти на расстоянии от ядра равно к радиусу Боры . Эта функция известна как атомная орбиталь 1s . Для водорода (H) электрон в основном состоянии имеет энергию−13,6 эВ относительно порога ионизации . Другими словами, 13,6 эВ - это энергия, необходимая для того, чтобы электрон больше не был связан с атомом.

Точное определение одной секунды от времени с 1997 годом продолжительностью9 192 631 770 периодов излучения, соответствующих переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия -133 в состоянии покоя при температуре 0 К.

Примечания

Список используемой литературы

• Фейнман, Ричард ; Лейтон, Роберт; Пески, Мэтью (1965). «уровни энергии см. в разделе 2-5, а для атома водорода - 19» . Лекции Фейнмана по физике . 3 .