Квантовая статистическая механика - Quantum statistical mechanics

Квантовая статистическая механика - это статистическая механика, применяемая к квантово-механическим системам . В квантовой механике статистический ансамбль (распределение вероятностей над возможными квантовыми состояниями ) описывается оператором плотности S , которая является неотрицательным, самосопряженная , след класса оператор следа 1 на гильбертовом пространстве Н , описывающей квантовую систему. Это можно показать с помощью различных математических формализмов квантовой механики . Один из таких формализмов обеспечивается квантовой логикой .

Ожидание

Из классической теории вероятностей, мы знаем , что ожидание из случайной величины X определяется его распределение D _X по

{\ displaystyle \ mathbb {E} (X) = \ int _ {\ mathbb {R}} \ lambda \, d \, \ operatorname {D} _ {X} (\ lambda)}

при условии, конечно, что случайная величина интегрируема или что случайная величина неотрицательна. Аналогично, пусть A - наблюдаемая квантово-механической системы. Задаются плотно заданным самосопряженным оператором на H . Спектральная мера из А определяется

{\ displaystyle \ operatorname {E} _ {A} (U) = \ int _ {U} \ lambda d \ operatorname {E} (\ lambda),}

однозначно определяет A и , наоборот, однозначно определяется A . Е является булевым гомоморфизмом из борелевских подмножеств R в решетке Q самосопряженных проекций H . По аналогии с теорией вероятностей, учитывая состояние S , мы вводим распределение по А под S , которая является вероятностной мерой , определенной на борелевских подмножествах R по

{\ displaystyle \ operatorname {D} _ {A} (U) = \ operatorname {Tr} (\ operatorname {E} _ {A} (U) S).}

Точно так же ожидаемое значение A определяется в терминах распределения вероятностей D _A по формуле

{\ displaystyle \ mathbb {E} (A) = \ int _ {\ mathbb {R}} \ lambda \, d \, \ operatorname {D} _ {A} (\ lambda).}

Обратите внимание , что это ожидание по отношению к смешанному состоянию S , который используется в определении D _A .

Замечание . По техническим причинам необходимо отдельно рассматривать положительную и отрицательную части A, определенные функциональным исчислением Бореля для неограниченных операторов.

Легко показать:

{\ displaystyle \ mathbb {E} (A) = \ operatorname {Tr} (AS) = \ operatorname {Tr} (SA).}

Заметим, что если S - чистое состояние, соответствующее вектору ψ, то:

{\ Displaystyle \ mathbb {E} (A) = \ langle \ psi | A | \ psi \ rangle.}

След оператора A записывается следующим образом:

{\ displaystyle \ operatorname {Tr} (A) = \ sum _ {m} \ langle m | A | m \ rangle.}

Энтропия фон Неймана

Особое значение для описания случайности состояния имеет энтропия фон Неймана для S, формально определяемая формулой

{\ Displaystyle \ OperatorName {H} (S) = - \ OperatorName {Tr} (S \ log _ {2} S)}

.

На самом деле оператор S log ₂ S не обязательно является классом трассировки. Однако, если S - неотрицательный самосопряженный оператор, не принадлежащий к классу следов, мы определяем Tr ( S ) = + ∞. Также обратите внимание, что любой оператор плотности S можно диагонализовать, что он может быть представлен в некотором ортонормированном базисе (возможно, бесконечной) матрицей вида

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} & 0 & \ cdots & 0 & \ cdots \\ 0 & \ lambda _ {2} & \ cdots & 0 & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \\ 0 & 0 && \ lambda _ {n} & \\\ vdots & \ vdots &&& \ ddots \ end {bmatrix}}}

и мы определяем

{\ displaystyle \ operatorname {H} (S) = - \ sum _ {i} \ lambda _ {i} \ log _ {2} \ lambda _ {i}.}

По соглашению , поскольку событие с нулевой вероятностью не должно вносить вклад в энтропию. Это значение представляет собой расширенное действительное число (то есть в [0, ∞]) , и это, очевидно , унитарный инвариант S . ${\ Displaystyle \; 0 \ журнал _ {2} 0 = 0}$

Замечание . Это действительно возможно , что H ( S ) = + ∞ для некоторого оператора плотности S . Фактически T - диагональная матрица

{\ displaystyle T = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {2 (\ log _ {2} 2) ^ {2}}} & 0 & \ cdots & 0 & \ cdots \\ 0 & {\ frac {1} { 3 (\ log _ {2} 3) ^ {2}}} & \ cdots & 0 & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \\ 0 & 0 && {\ frac {1} {n (\ log _ {2 } n) ^ {2}}} & \\\ vdots & \ vdots &&& \ ddots \ end {bmatrix}}}

T - неотрицательный класс трассировки, и можно показать, что T log ₂ T не является классом трассировки.

Теорема . Энтропия - унитарный инвариант.

По аналогии с классической энтропией (обратите внимание на сходстве в определениях), Н ( S ) измеряет количество случайности в государственном S . Чем более разбросаны собственные значения, тем больше энтропия системы. Для системы, в которой пространство H конечномерно, энтропия максимальна для состояний S, которые в диагональной форме имеют представление

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {n}} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & {\ frac {1} {n}} & \ dots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & {\ frac {1} {n}} \ end {bmatrix}}}

Для такого S H ( S ) = log ₂ n . Состояние S называется максимально смешанным.

Напомним, что чистое состояние - это одна из форм

{\ Displaystyle S = | \ psi \ rangle \ langle \ psi |,}

для ψ вектор нормы 1.

Теорема . H ( S ) = 0 тогда и только тогда, когда S - чистое состояние.

Ибо S является чистым состоянием тогда и только тогда, когда его диагональная форма имеет ровно одну ненулевую запись, которая равна 1.

Энтропию можно использовать как меру квантовой запутанности .

Канонический ансамбль Гиббса

Рассмотрим ансамбль систем , описываемых гамильтонианом H со средней энергией Е . Если Н имеет спектр чисто точечный и собственные значения из H перейти к + ∞ достаточно быстро, е ^-^{R H} будет оператором неотрицательного следа класса для каждого положительного г . ${\ displaystyle E_ {n}}$

Гиббс канонический ансамбль описывается состояние

{\ displaystyle S = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- \ beta H}} {\ operatorname {Tr} (\ mathrm {e} ^ {- \ beta H})}}.}.

Где β таково, что среднее по ансамблю энергии удовлетворяет

{\ displaystyle \ operatorname {Tr} (SH) = E}

а также

{\ displaystyle \ operatorname {Tr} (\ mathrm {e} ^ {- \ beta H}) = \ sum _ {n} \ mathrm {e} ^ {- \ beta E_ {n}} = Z (\ beta) }

Это называется функцией распределения ; это квантово-механическая версия канонической статистической суммы классической статистической механики. Вероятность того, что случайным образом выбранная из ансамбля система окажется в состоянии, соответствующем собственному значению энергии, равна ${\ displaystyle E_ {m}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} (E_ {m}) = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- \ beta E_ {m}}} {\ sum _ {n} \ mathrm {e} ^ {- \ beta E_ {n}}}}.}

При определенных условиях канонический ансамбль Гиббса максимизирует энтропию фон Неймана состояния, подчиненного требованию сохранения энергии.

Большой канонический ансамбль

Для открытых систем, в которых энергия и количество частиц могут колебаться, система описывается большим каноническим ансамблем , описываемым матрицей плотности

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {\ beta (\ sum _ {i} \ mu _ {i} N_ {i} -H)}} {\ operatorname {Tr} \ left ( \ mathrm {e} ^ {\ beta (\ sum _ {i} \ mu _ {i} N_ {i} -H)} \ right)}}.}

где N ₁ , N ₂ , ... - операторы числа частиц для различных видов частиц, которыми обменивается резервуар. Обратите внимание, что это матрица плотности, включающая намного больше состояний (с различным N) по сравнению с каноническим ансамблем.

Большая статистическая сумма равна

{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (\ beta, \ mu _ {1}, \ mu _ {2}, \ cdots) = \ operatorname {Tr} (\ mathrm {e} ^ {\ beta (\ sum _ {i} \ mu _ {i} N_ {i} -H)})}

Смотрите также

использованная литература

Дж. Фон Нейман, Математические основы квантовой механики , Princeton University Press , 1955.
Ф. Рейф, Статистическая и тепловая физика , McGraw-Hill, 1965.

Languages

In other projects