Обратная функция - Inverse function

Функция f и обратная ей функция f  −1 . Поскольку f отображает a в 3, обратный f  −1 отображает 3 обратно в a .

В математике , обратная функция (или анти-функция ) является функцией , которая «переворачивает» другая функция: если функция F подается на вход х дает результат у , то , применяя свой обратную функцию г к у дает результат х , т.е. g ( y ) = x тогда и только тогда, когда f ( x ) = y . Функция, обратная f , также обозначается как .

В качестве примера рассмотрим действительную функцию действительной переменной, заданную формулой f ( x ) = 5 x - 7 . Думая об этом как о пошаговой процедуре (а именно, возьмите число x , умножьте его на 5, а затем вычтите 7 из результата), чтобы отменить это и получить x обратно из некоторого выходного значения, скажем y , мы бы отменили каждый шаг в обратном порядке. В данном случае это означает прибавление 7 к y , а затем разделение результата на 5. В функциональной записи эта обратная функция будет иметь вид,

При y = 5 x - 7 получаем, что f ( x ) = y и g ( y ) = x .

Не все функции имеют обратные функции. Те, что есть, называются обратимыми . Чтобы функция f : XY имела обратную, она должна обладать тем свойством, что для каждого y в Y существует ровно один x в X такой, что f ( x ) = y . Это свойство гарантирует, что функция g : YX существует с необходимой связью с f .

Определения

Если е отображает X в Y , то F  -1 отображает Y обратно в X .

Пусть F является функцией которого домен является множество X , и чей кообласть является множество Y . Тогда F является обратимым , если существует функция г с областью Y и областью значений X , со свойством:

Если е обратят, то функция г является уникальным , что означает , что существует ровно одна функции г , удовлетворяющий это свойство. Более того, также следует, что диапазоны значений g и f равны их соответствующим доменам. Функция г называется на обратное F , и, как правило , обозначают как F  -1 , нотации , введенной Джон Фредерик Вильям Гершель в 1813 году.

Иначе говоря, функция, рассматриваемая как бинарное отношение , имеет обратное тогда и только тогда, когда обратное отношение является функцией в области Y , и в этом случае обратное отношение является обратной функцией.

Не все функции имеют инверсию. Чтобы функция имела обратную, каждый элемент yY должен соответствовать не более чем одному xX ; функция f с этим свойством называется взаимно однозначной или инъекцией . Если F  -1 , чтобы быть функцией от Y , то каждый элемент уY должен соответствовать некоторым хХ . Функции с этим свойством называются сюръекциями . Это свойство выполняется по определению, если Y является изображением f , но может не выполняться в более общем контексте. Чтобы быть обратимой, функция должна быть как инъекцией, так и сюръекцией. Такие функции называются биекциями . Обратным инжекционного F : XY , который не является взаимно однозначное соответствие (то есть, не сюръекция), это лишь частичная функция на Y , что означает , что для некоторого уY , F -1 ( у ) не определено. Если функция f обратима, то и она, и обратная к ней функция f −1 являются биекциями.

Другое соглашение используется в определении функций, называемое "теоретико-множественным" или "графическим" определением с использованием упорядоченных пар , что делает кодобласть и образ функции одинаковыми. Согласно этому соглашению, все функции сюръективны, поэтому биективность и инъективность одинаковы. Авторы, использующие это соглашение, могут использовать формулировку, что функция обратима тогда и только тогда, когда это инъекция. Эти два соглашения не должны вызывать путаницу, если помнить, что в этом альтернативном соглашении кодомен функции всегда принимается как изображение функции.

Пример: функции возведения в квадрат и квадратного корня

Функция f : R → [0, ∞), заданная формулой f ( x ) = x 2 , не является инъективной, поскольку каждый возможный результат y (кроме 0) соответствует двум различным начальным точкам в X - одной положительной и одной отрицательной, и поэтому эта функция необратима. С помощью этого типа функции невозможно вывести (уникальный) ввод из его вывода. Такая функция называется неинъективной или, в некоторых приложениях, с потерей информации.

Если область определения функции ограничена неотрицательными действительными числами, то есть функция переопределяется как f : [0, ∞) → [0, ∞) с тем же правилом, что и раньше, то функция является биективной и, следовательно, обратимый. Обратная функция здесь называется (положительной) функцией квадратного корня .

Инверсии и композиция

Если f - обратимая функция с областью определения X и областью области Y , то

, для каждого ; и для каждого .

Используя композицию функций , мы можем переписать этот оператор следующим образом:

а также

где id X - функция идентичности на множестве X ; то есть функция, которая не изменяет свой аргумент. В теории категорий это утверждение используется как определение обратного морфизма .

Рассмотрение композиции функций помогает понять обозначение f  −1 . Повторное составление функции с самой собой называется итерацией . Если f применяется n раз, начиная со значения x , то это записывается как f n ( x ) ; поэтому f  2 ( x ) = f ( f ( x )) и т. д. Поскольку f  −1 ( f ( x )) = x , составление f  −1 и f n дает f n −1 , «отменяя» эффект одного применение ф .

Обозначение

В то время как обозначение F  -1 ( х ) может быть неправильно, ( е ( х )) -1 конечно же обозначает мультипликативный обратный из ф ( х ) и не имеет ничего общего с обратной функции F .

В соответствии с общими обозначениями, некоторые английские авторы используют такие выражения, как sin −1 ( x ), для обозначения обратной функции синуса, применяемой к x (на самом деле частично обратной ; см. Ниже). Другие авторы считают, что это можно спутать с обозначением мультипликативной обратной функции sin ( x ) , которую можно обозначить как (sin ( x )) −1 . Чтобы избежать путаницы, обратная тригонометрическая функция часто обозначается приставкой « arc » (от латинского arcus ). Например, функция, обратная синусу, обычно называется функцией арксинуса и записывается как arcsin ( x ) . Точно так же обратная гиперболическая функция обозначается префиксом « ar » (латинское ārea ). Например, функция , обратная гиперболическому синусу, обычно записывается как arsinh ( x ) . Другие обратные специальные функции иногда имеют префикс «inv», если следует избегать неоднозначности обозначения f  −1 .

Характеристики

Поскольку функция - это особый тип бинарного отношения , многие свойства обратной функции соответствуют свойствам обратных отношений .

Уникальность

Если обратная функция существует для данной функции f , то она уникальна. Это следует из того, что обратная функция должна быть обратным соотношением, которое полностью определяется функцией f .

Симметрия

Существует симметрия между функцией и ее обратной. В частности, если F является обратимой функцией с областью X и областью значений Y , то его обратная F  -1 есть домен Y и изображение X , а обратная F  -1 является исходной функцией F . В символах для функций f : XY и f −1 : YX ,

а также

Это утверждение является следствием импликации, что для обратимости f оно должно быть биективным. Инволютивная характер обратного может быть сжато выражена

Обратное к g  ∘  f есть f  −1  ∘  g  −1 .

Обратный к композиции функций дается формулой

Обратите внимание, что порядок g и f был изменен на обратный; чтобы отменить f, а затем g , мы должны сначала отменить g , а затем отменить f .

Например, пусть f ( x ) = 3 x и g ( x ) = x + 5 . Тогда композиция g  ∘  f - это функция, которая сначала умножается на три, а затем складывает пять,

Чтобы обратить этот процесс вспять, мы должны сначала вычесть пять, а затем разделить на три,

Это композиция ( f  −1  ∘  g  −1 ) ( x ) .

Самообращение

Если X - это множество, то функция идентичности на X является собственной инверсией:

В целом, функция F  : XX равна его собственной обратной, если и только если композиция е  ∘  е равно ид X . Такая функция называется инволюцией .

Инверсии в исчислении

Исчисление с одной переменной в первую очередь связано с функциями, которые отображают действительные числа в действительные числа. Такие функции часто определяются с помощью формул , например:

Сюръективная функция f от действительных чисел к действительным числам имеет обратную, если она взаимно однозначна. То есть график y = f ( x ) имеет для каждого возможного значения y только одно соответствующее значение x и, таким образом, проходит проверку горизонтальной линии .

В следующей таблице показаны несколько стандартных функций и их обратные:

Функция f ( x ) Обратная f  −1 ( y ) Примечания
х + а у - а
а - х а - у
mx у/м м ≠ 0
1/Икс(т.е. x −1 ) 1/у(т.е. y −1 ) х ,  у ≠ 0
х 2 y (т.е. y 1/2 ) х ,  у ≥ 0 только
х 3 3y (т.е. y 1/3 ) нет ограничений на x и y
х р p y (т.е. y 1 / p ) x ,  y ≥ 0, если p четно; целое число p > 0
2 х фунт у у > 0
e x ln y у > 0
10 х журнал y у > 0
а х войти в у у > 0 и а > 0
х е х W  ( г ) x ≥ −1 и y ≥ −1 / e
тригонометрические функции обратные тригонометрические функции различные ограничения (см. таблицу ниже)
гиперболические функции обратные гиперболические функции различные ограничения

Формула обратного

Один из подходов к поиску формулы для f  −1 , если она существует, состоит в том, чтобы решить уравнение y = f ( x ) относительно x . Например, если f - функция

тогда мы должны решить уравнение y = (2 x + 8) 3 относительно x :

Таким образом, обратная функция f  −1 задается формулой

Иногда обратная функция не может быть выражена формулой с конечным числом членов. Например, если f - функция

тогда f является биекцией и, следовательно, обладает обратной функцией f  −1 . Формула для этого обратного имеет бесконечное число слагаемых:

График обратного

Графики y = f ( x ) и y = f  −1 ( x ) . Пунктирная линия - y = x .

Если f обратима, то график функции

совпадает с графиком уравнения

Это идентично уравнению y = f ( x ), которое определяет график f , за исключением того, что роли x и y поменялись местами. Таким образом, график f  −1 может быть получен из графика f путем переключения положений осей x и y . Это эквивалентно отображению графика поперек линии y = x .

Обратные и производные

Непрерывная функция F обратит на его диапазоне (изображениях) , если и только если оно либо строго увеличением или уменьшение (без локальных максимумов или минимумов ). Например, функция

обратима, поскольку производная f ′ ( x ) = 3 x 2 + 1 всегда положительна.

Если функция F является дифференцируемой на интервале I и F ' ( х ) ≠ 0 для каждого хI , то обратная F  -1 дифференцируема на F ( I ) . Если y = f ( x ) , производная обратного дается теоремой об обратной функции ,

Используя обозначения Лейбница, приведенная выше формула может быть записана как

Этот результат следует из цепного правила (см. Статью об обратных функциях и дифференцировании ).

Теорема об обратной функции может быть обобщена на функции многих переменных. В частности, дифференцируемый многомерная функция F : R пR п обратит в окрестностях точки р при условии, что матрица Якоби из F на р является обратимой . В этом случае якобиан функции f  −1 в точке f ( p ) является матрицей, обратной якобиану функции f в точке p .

Примеры из реального мира

  • Пусть f будет функцией, которая преобразует температуру в градусах Цельсия в температуру в градусах Фаренгейта ,
    то его обратная функция преобразует градусы Фаренгейта в градусы Цельсия,
    поскольку
  • Предположим, f назначает каждому ребенку в семье год его рождения. Обратная функция выведет, какой ребенок родился в данном году. Однако, если в семье есть дети, родившиеся в одном году (например, двойня или тройня и т. Д.), То выходные данные не могут быть известны, если входными данными является общий год рождения. Также, если указан год, в котором не родился ни один ребенок, имя ребенка не может быть названо. Но если каждый ребенок родился в отдельном году, и если мы ограничим внимание тремя годами, в которые родился ребенок, то у нас действительно есть обратная функция. Например,
  • Пусть R будет функцией, которая приводит к увеличению некоторой величины на x процентов, а F - функцией, вызывающей падение на x процентов. Применительно к 100 долларам с x = 10% мы обнаруживаем, что применение первой функции, за которой следует вторая, не восстанавливает исходное значение 100 долларов, демонстрируя тот факт, что, несмотря на внешний вид, эти две функции не являются обратными друг другу.
  • Формула для расчета pH раствора: pH = -log10 [H +]. Во многих случаях нам нужно определить концентрацию кислоты на основе измерения pH. Используется обратная функция [H +] = 10 ^ -pH.

Обобщения

Частичные обратные

Квадратный корень из x является частичным обратным к f ( x ) = x 2 .

Даже если функция F не является взаимно однозначным, то можно определить частичный обратный из F путем ограничивая область. Например, функция

не взаимно однозначно, так как x 2 = (- x ) 2 . Однако функция становится взаимно однозначной, если мы ограничимся областью x ≥ 0 , и в этом случае

(Если вместо этого мы ограничимся областью x ≤ 0 , тогда обратная величина будет отрицательной величиной квадратного корня из y .) В качестве альтернативы, нет необходимости ограничивать область, если мы довольны тем, что обратная функция является многозначной функцией :

Обратный к этой кубической функции имеет три ветви.

Иногда это многозначное обратное значение называется полным обратным к f , а части (например, x и - x ) - ветвями . Наиболее важная ветвь многозначной функции (например , положительный квадратный корень) называется главной ветвью , и его значение при г называется главное значением из F  -1 ( у ) .

Для непрерывной функции на вещественной прямой требуется одна ветвь между каждой парой локальных экстремумов . Например, обратная кубической функции с локальным максимумом и локальным минимумом имеет три ветви (см. Рисунок рядом).

Арксинус является частичным обратным по отношению к синусоидальной функции.

Эти соображения особенно важны для определения обратных тригонометрических функций . Например, функция синуса не является взаимно однозначной, поскольку

для каждого действительного x (и в более общем случае sin ( x + 2 π n ) = sin ( x ) для каждого целого числа n ). Однако синус взаимно однозначен на интервале [-π/2, π/2] , а соответствующий частичный обратный называется арксинусом . Это считается главной ветвью обратного синуса, поэтому главное значение обратного синуса всегда находится между -π/2 а также π/2. В следующей таблице описана основная ветвь каждой обратной тригонометрической функции:

функция Диапазон обычной основной стоимости
Arcsin -π/2≤ грех −1 ( х ) ≤π/2
arccos 0 ≤ cos −1 ( x ) ≤ π
арктан -π/2<tan −1 ( x ) <π/2
арккот 0 <cot −1 ( x ) < π
arcsec 0 ≤ сек −1 ( x ) ≤ π
arccsc -π/2≤ csc −1 ( x ) ≤π/2

Левый и правый обратные

Левый и правый инверсии не обязательно одинаковы. Если g является левым обратным для f , то g может быть, а может и не быть правым обратным для f ; и если g является правым обратным для f , то g не обязательно является левым обратным для f . Например, пусть f : R[0, ∞) обозначает отображение в квадрат, такое, что f ( x ) = x 2 для всех x в R , и пусть g : [0, ∞)R обозначает отображение квадратного корня, такое, что g ( x ) = x для всех x ≥ 0 . Тогда f ( g ( x )) = x для всех x в [0, ∞) ; то есть g является правым обратным к f . Однако g не является левым обратным к f , так как, например, g ( f (−1)) = 1 ≠ −1 .

Левый обратный

Если F : XY , A левый обратный для F (или втягивания из F ) является функцией г : YX такие , что композиция п с г слева дает функцию тождества:

То есть функция g удовлетворяет правилу

Если , то

Таким образом, g должен быть равен обратному значению f на изображении f , но может принимать любые значения для элементов Y не на изображении.

Функция f инъективна тогда и только тогда, когда она имеет левый обратный или является пустой функцией.

Если g - левый обратный к f , то f инъективен. Если f (x) = f (y) , то .
Если f: X → Y инъективно, f либо пустая функция ( X = ∅ ), либо имеет левый обратный g: YX ( X ≠ ∅) , который можно построить следующим образом: для всех y ∈ Y , если y находится в образе f (существует x ∈ X такое, что f (x) = y ), пусть g (y) = x ( x уникален, поскольку f инъективен); в противном случае, пусть г (у) произвольный элемент X . Для всех x ∈ X , f (x) находится в образе f , поэтому g (f (x)) = x согласно вышеизложенному, поэтому g является левым обратным к f .

В классической математике каждая инъективная функция f с непустой областью обязательно имеет левую обратную; однако в конструктивной математике это может потерпеть неудачу . Например, левая инверсия включения {0,1} → R двухэлементного множества в вещественные числа нарушает неразложимость , давая втягивание вещественной прямой множеству {0,1}  .

Право обратное

Пример правого обратного с неинъективной сюръективной функцией

Правый обратный для F (или секции из F ) является функцией ч : YX таким образом, что

То есть функция h удовлетворяет правилу

Если , то

Таким образом, h ( y ) может быть любым из элементов X, которые отображаются в y при f .

Функция f имеет правую обратную тогда и только тогда, когда она сюръективна (хотя построение такой обратной в общем случае требует аксиомы выбора ).

Если h - правый обратный к f , то f сюръективен. Для всех есть такое что .
Если f сюръективен, f имеет правый обратный h , который можно построить следующим образом: для всех существует хотя бы один такой, что (поскольку f сюръективен), поэтому мы выбираем одно значение h (y) .

Двусторонние перевернутые

Обратный, который является как левым, так и правым обратным ( двусторонний обратный ), если он существует, должен быть уникальным. Фактически, если функция имеет левый обратный и правый обратный, они оба являются одним и тем же двусторонним обратным, поэтому его можно назвать обратным .

Если есть левый обратный и правый обратный , для всех , .

Функция имеет двустороннюю инверсию тогда и только тогда, когда она биективна.

Биективная функция f инъективна, поэтому у нее есть левая обратная функция (если f - пустая функция, это ее собственная левая обратная функция ). f сюръективен, поэтому имеет правый обратный. Согласно вышесказанному, левая и правая инверсия одинаковы.
Если f имеет двусторонний обратный g , то g является левым обратным и правым обратным к f , поэтому f инъективен и сюръективен.

Прообразы

Если f : XY - любая функция (не обязательно обратимая), прообраз (или прообраз ) элемента yY - это множество всех элементов X, которые отображаются в y :

Прообраз у можно рассматривать как изображения от у по (многозначной) полной обратной функции F .

Аналогичным образом , если S любое подмножество из Y , прообраз S , обозначается , есть множество всех элементов X , которые отображаются на S :

Например, возьмем функцию f : RR , где f : xx 2 . Эта функция не является обратимой по причинам, обсуждаемым в § Пример: функции возведения в квадрат и извлечения квадратного корня . Тем не менее, прообразы могут быть определены для подмножеств кодомена:

Прообраз одного элемента уY - это одноэлементные множества { у }  - иногда называют волокна из у . Когда Y представляет собой множество действительных чисел, он является общим для обозначения F  -1 ({ у }) в качестве установленного уровня .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Библиография

дальнейшее чтение

внешние ссылки