Теорема о неявной функции - Implicit function theorem

В математике , более конкретно , в многофакторном исчислении , то теорема о неявной функции является инструментом , который позволяет отношения должны быть преобразованы в функцию нескольких вещественных переменных . Это достигается путем представления отношения в виде графика функции . Может не быть единственной функции, график которой может представлять все отношение, но такая функция может быть при ограничении области определения отношения. Теорема о неявной функции дает достаточное условие, гарантирующее, что такая функция существует.

Точнее, для системы m уравнений f _i  ( x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _m ) = 0, i = 1, ..., m (часто сокращенно F ( х , у ) = 0 ), то теорема утверждает , что, в мягких условиях на частных производных (по отношению к у _я ы) в точке, в т переменных у _я дифференцируемые функции х _J в некоторой окрестности из точка. Поскольку эти функции, как правило, не могут быть выражены в замкнутой форме , они неявно определяются уравнениями, что и послужило причиной названия теоремы.

Другими словами, в мягких условиях на частных производных, множество нулей системы уравнений является локально график функции .

История

Огюстен-Луи Коши (1789–1857) получил первую строгую форму теоремы о неявной функции. Улисс Дини (1845–1918) обобщил версию теоремы о неявных функциях для вещественных переменных на контекст функций любого числа действительных переменных.

Первый пример

Единичный круг может быть задан как линия уровня f ( x , y ) = 1 функции f ( x , y ) = x ² + y ² . Вокруг точки A y можно выразить как функцию y ( x ) . В этом примере эта функция может быть написана явно, поскольку во многих случаях такого явного выражения не существует, но можно ссылаться на неявную функцию y ( x ) . Вокруг точки B такой функции не существует.${\ displaystyle g_ {1} (x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}};}$

Если мы определим функцию f ( x , y ) = x ² + y ² , то уравнение f ( x , y ) = 1 вырежет единичный круг как набор уровней {( x , y ) | f ( x , y ) = 1} . Невозможно представить единичный круг как график функции одной переменной y = g ( x ), потому что для каждого выбора x ∈ (−1, 1) есть два выбора y , а именно . ${\ displaystyle \ pm {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$

Однако можно представить часть круга как график функции одной переменной. Если мы допустим для −1 ≤ x ≤ 1 , то график y = g ₁ ( x ) обеспечивает верхнюю половину круга. Аналогично, если , то график y = g ₂ ( x ) дает нижнюю половину круга. ${\ displaystyle g_ {1} (х) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$${\ displaystyle g_ {2} (x) = - {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$

Цель теоремы о неявной функции - сообщить нам о существовании таких функций, как g ₁ ( x ) и g ₂ ( x ) , даже в ситуациях, когда мы не можем записать явные формулы. Он гарантирует, что g ₁ ( x ) и g ₂ ( x ) дифференцируемы, и работает даже в ситуациях, когда у нас нет формулы для f ( x , y ) .

Определения

Позвольте быть непрерывно дифференцируемой функцией. Мы думаем об этом как о декартовом произведении и записываем точку этого произведения как Начиная с заданной функции f , наша цель состоит в том, чтобы построить функцию , график ( x , g ( x )) которой является в точности набором всех ( x , y ) такое, что f ( x , y ) = 0 . ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n + m} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п + м}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {m},}$${\ displaystyle (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, y_ {1}, \ ldots y_ {m}).}$${\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$

Как отмечалось выше, это не всегда возможно. Поэтому мы зафиксируем точку ( a , b ) = ( a ₁ , ..., a _n , b ₁ , ..., b _m ), которая удовлетворяет f ( a , b ) = 0 , и мы попросим a g, который работает около точки ( a , b ). Другими словами, нам нужно открытое множество, содержащее a , открытое множество, содержащее b , и функцию g  : U → V, такую, что график g удовлетворяет соотношению f = 0 на U × V , и что никакие другие точки внутри U × V сделай так. В символах ${\ Displaystyle U \ подмножество \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle V \ подмножество \ mathbb {R} ^ {m}}$

${\ displaystyle \ {(\ mathbf {x}, g (\ mathbf {x})) \ mid \ mathbf {x} \ in U \} = \ {(\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) \ в U \ times V \ mid f (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = \ mathbf {0} \}.}$

Чтобы сформулировать теорему о неявной функции, нужна матрица Якоби из F , который является матрицей частных производных от е . Сокращая ( a ₁ , ..., a _n , b ₁ , ..., b _m ) до ( a , b ), матрица Якоби имеет вид

${\ displaystyle (Df) (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) = \ left [{\ begin {matrix} {\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {1}}} ( \ mathbf {a}, \ mathbf {b}) & \ cdots & {\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {n}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) \ \\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ frac {\ partial f_ {m}} {\ partial x_ {1}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) & \ cdots & {\ frac {\ partial f_ {m}} {\ partial x_ {n}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) \ end {matrix}} \ right | \ left. {\ begin {matrix} { \ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial y_ {1}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) & \ cdots & {\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial y_ {m}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ frac {\ partial f_ {m}} {\ partial y_ {1}} } (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) & \ cdots & {\ frac {\ partial f_ {m}} {\ partial y_ {m}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b} ) \\\ end {matrix}} \ right] = [X | Y]}$

где X - матрица частных производных по переменным x _i, а Y - матрица частных производных по переменным y _j . Теорема о неявной функции гласит, что если Y - обратимая матрица, то есть U , V и g по желанию. Запись всех гипотез вместе дает следующее утверждение.

Формулировка теоремы

Позвольте быть непрерывно дифференцируемой функцией , и пусть имеет координаты ( x , y ). Зафиксируем точку ( a , b ) = ( a ₁ ,…, a _n , b ₁ ,…, b _m ) с f ( a , b ) = 0 , где - нулевой вектор. Если матрица Якоби (это правая панель матрицы Якоби, показанная в предыдущем разделе): ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n + m} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п + м}}$${\ displaystyle \ mathbf {0} \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$

${\ Displaystyle J_ {е, \ mathbf {y}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) = \ left [{\ frac {\ partial f_ {i}} {\ partial y_ {j}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) \ right]}$

является обратимой , то существует открытое множество , содержащее таким образом, что существует единственная непрерывно дифференцируемая функция такая , что , и .${\ Displaystyle U \ подмножество \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle g: U \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ Displaystyle г (\ mathbf {a}) = \ mathbf {b}}$${\ displaystyle f (\ mathbf {x}, g (\ mathbf {x})) = \ mathbf {0} ~ {\ text {для всех}} ~ \ mathbf {x} \ in U}$

Более того, частные производные g в U даются матричным произведением :${\ displaystyle {\ frac {\ partial g} {\ partial x_ {j}}} (\ mathbf {x}) = - \ left [J_ {f, \ mathbf {y}} (\ mathbf {x}, g (\ mathbf {x})) \ right] _ {m \ times m} ^ {- 1} \ left [{\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {j}}} (\ mathbf {x}, g (\ mathbf {x})) \ right] _ {m \ times 1}}$

Высшие производные

Если, кроме того, F является аналитическими или непрерывно дифференцируемые K раз в окрестности ( , б ), то можно выбрать U для того , что то же самое справедливо и для г внутри U . В аналитическом случае это называется теоремой об аналитической неявной функции .

Доказательство для 2D-случая

Предположим , это непрерывно дифференцируемая функция, определяющая кривую . Позвольте быть точкой на кривой. Утверждение теоремы выше для этого простого случая можно переписать следующим образом: ${\ Displaystyle F: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle F (\ mathbf {r}) = F (x, y) = 0}$${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$

Если

${\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} \ right | _ {(x_ {0}, y_ {0})} \ neq 0}$

тогда для кривой вокруг мы можем написать , где - действительная функция.${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$${\ Displaystyle у = е (х)}$${\ displaystyle f}$

Доказательство. Поскольку F дифференцируема, запишем дифференциал F через частные производные:

${\ displaystyle \ mathrm {d} F = \ operatorname {grad} F \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} = {\ frac {\ partial F} {\ partial x}} \ mathrm {d} x + { \ frac {\ partial F} {\ partial y}} \ mathrm {d} y.}$

Поскольку мы ограничены движением по кривой и предположением вокруг точки (поскольку непрерывна в точке и ). Таким образом, мы имеем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка : ${\ Displaystyle \ mathrm {d} F = 0}$${\ Displaystyle {\ tfrac {\ partial F} {\ partial y}} \ neq 0}$${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$${\ Displaystyle {\ tfrac {\ partial F} {\ partial y}}}$${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$${\ displaystyle \ left. {\ tfrac {\ partial F} {\ partial y}} \ right | _ {(x_ {0}, y_ {0})} \ neq 0}$

${\ displaystyle \ partial _ {x} F \ mathrm {d} x + \ partial _ {y} F \ mathrm {d} y = 0, \ quad y (x_ {0}) = y_ {0}}$

Теперь мы ищем решение этого ОДУ в открытом интервале вокруг точки, для которой в каждой его точке . Поскольку F непрерывно дифференцируема и по предположению имеем ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$${\ displaystyle \ partial _ {y} F \ neq 0}$

${\ displaystyle | \ partial _ {x} F | <\ infty, | \ partial _ {y} F | <\ infty, \ partial _ {y} F \ neq 0.}$

Отсюда мы знаем, что он непрерывен и ограничен с обоих концов. Отсюда мы знаем, что она липшицева как по x, так и по y . Следовательно, по теореме Коши-Липшица существует единственное y ( x ), которое является решением данного ОДУ с начальными условиями. ∎${\ displaystyle {\ tfrac {\ partial _ {x} F} {\ partial _ {y} F}}}$${\ displaystyle - {\ tfrac {\ partial _ {x} F} {\ partial _ {y} F}}}$

Пример круга

Вернемся к примеру с единичной окружностью . В этом случае n = m = 1 и . Матрица частных производных - это просто матрица размером 1 × 2, заданная формулой ${\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2} -1}$

${\ displaystyle (Df) (a, b) = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial f} {\ partial x}} (a, b) & {\ dfrac {\ partial f} {\ partial y }} (a, b) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 2a & 2b \ end {bmatrix}}}$

Таким образом, здесь Y в формулировке теоремы - это просто число 2 b ; линейное отображение, определяемое им, обратимо тогда и только тогда, когда b ≠ 0. По теореме о неявной функции мы видим, что мы можем локально записать окружность в виде y = g ( x ) для всех точек, где y 0. Для (± 1, 0) мы сталкиваемся с проблемой, как отмечалось ранее. Теорема о неявной функции все еще может быть применена к этим двум точкам, записав x как функцию от y , то есть ,; теперь график функции будет таким , поскольку где b = 0, мы имеем a = 1, и условия для локального выражения функции в этой форме выполнены. ${\ Displaystyle х = час (у)}$${\ Displaystyle \ влево (час (у), у \ вправо)}$

Неявная производная y по x и производная x по y может быть найдена путем полного дифференцирования неявной функции и приравнивания к 0: ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1}$

${\ Displaystyle 2x \, dx + 2y \, dy = 0,}$

давая

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - {\ frac {x} {y}}}$

и

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} = - {\ frac {y} {x}}.}$

Применение: изменение координат

Предположим, у нас есть m -мерное пространство, параметризованное набором координат . Мы можем ввести новую систему координат , задав m функций, каждая из которых непрерывно дифференцируема. Эти функции позволяют нам вычислять новые координаты точки, учитывая старые координаты точки, используя . Кто-то может захотеть проверить, возможно ли обратное: с учетом координат , можем ли мы «вернуться назад» и вычислить исходные координаты той же точки ? Теорема о неявной функции даст ответ на этот вопрос. Координаты (новые и старые) связаны соотношением f = 0 с ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {m})}$${\ Displaystyle (х '_ {1}, \ ldots, х' _ {м})}$${\ displaystyle h_ {1} \ ldots h_ {m}}$${\ Displaystyle (х '_ {1}, \ ldots, х' _ {м})}$${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {m})}$${\ displaystyle x '_ {1} = h_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {m}), \ ldots, x' _ {m} = h_ {m} (x_ {1}, \ ldots, x_ {m})}$${\ Displaystyle (х '_ {1}, \ ldots, х' _ {м})}$${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {m})}$${\ displaystyle (x '_ {1}, \ ldots, x' _ {m}, x_ {1}, \ ldots, x_ {m})}$

${\ displaystyle f (x '_ {1}, \ ldots, x' _ {m}, x_ {1}, \ ldots, x_ {m}) = (h_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {m}) - x '_ {1}, \ ldots, h_ {m} (x_ {1}, \ ldots, x_ {m}) - x' _ {m}).}$

Теперь матрица Якоби функции f в некоторой точке ( a , b ) [где ] задается формулой ${\ displaystyle a = (x '_ {1}, \ ldots, x' _ {m}), b = (x_ {1}, \ ldots, x_ {m})}$

${\ displaystyle (Df) (a, b) = \ left [{\ begin {matrix} -1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & -1 \ end {matrix}} \ left | {\ begin {matrix} {\ frac {\ partial h_ {1}} {\ partial x_ {1}}} (b) & \ cdots & {\ frac {\ partial h_ {1}} {\ partial x_ {m}}} (b) \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ frac {\ partial h_ {m}} {\ partial x_ {1}}} (b) & \ cdots & {\ frac {\ partial h_ {m}} {\ partial x_ {m}}} (b) \\\ end {matrix}} \ right. \ right] = [- I_ {m} | J].}$

где _т обозначает м × м единичной матрицы , и J представляет собой м × м матрица частных производных, оценивали при ( , б ). (Выше эти блоки были обозначены X и Y. Как оказалось, в этом конкретном применении теоремы ни одна матрица не зависит от a .) Теорема о неявной функции теперь утверждает, что мы можем локально выразить как функцию от if J обратимо. Требование обратимости J эквивалентно det J ≠ 0, таким образом, мы видим, что мы можем вернуться от координат со штрихом к координатам без штриха, если определитель якобиана J не равен нулю. Это утверждение также известно как теорема об обратной функции . ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {m})}$${\ Displaystyle (х '_ {1}, \ ldots, х' _ {м})}$

Пример: полярные координаты

В качестве простого применения вышеизложенного рассмотрим плоскость, параметризованную полярными координатами ( R , θ). Мы можем перейти в новую систему координат ( декартовы координаты ), определив функции x ( R , θ) = R cos (θ) и y ( R , θ) = R sin (θ). Это позволяет по любой точке ( R , θ) найти соответствующие декартовы координаты ( x , y ). Когда мы можем вернуться и преобразовать декартовы координаты в полярные? В предыдущем примере достаточно, чтобы det J ≠ 0, причем

${\ Displaystyle J = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial x (R, \ theta)} {\ partial R}} & {\ frac {\ partial x (R, \ theta)} {\ partial \ theta}} \\ {\ frac {\ partial y (R, \ theta)} {\ partial R}} & {\ frac {\ partial y (R, \ theta)} {\ partial \ theta}} \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & -R \ sin \ theta \\\ sin \ theta & R \ cos \ theta \ end {bmatrix}}.}$

Поскольку det J = R , преобразование обратно в полярные координаты возможно, если R ≠ 0. Итак, остается проверить случай R = 0. Легко видеть, что в случае R = 0 наше преобразование координат необратимо: при origin, значение θ не определено.

Обобщения

Банаховая космическая версия

На основе теоремы об обратной функции в банаховых пространствах можно распространить теорему о неявной функции на отображения со значениями в банаховых пространствах.

Пусть X , Y , Z - банаховы пространства . Пусть отображение f  : X × Y → Z непрерывно дифференцируемо по Фреше . Если , и банахово изоморфизм из Y на Z , то существуют окрестности U из й ₀ и V от у ₀ и Фреш дифференцируемой функции г  : U → V такие , что F ( х , г ( х )) = 0 и f ( x , y ) = 0 тогда и только тогда, когда y = g ( x ) для всех . ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ in X \ times Y}$${\ displaystyle f (x_ {0}, y_ {0}) = 0}$${\ Displaystyle у \ mapsto Df (x_ {0}, y_ {0}) (0, y)}$${\ Displaystyle (х, у) \ в U \ раз V}$

Неявные функции от недифференцируемых функций

Существуют различные формы теоремы о неявной функции для случая, когда функция f недифференцируема. Стандартно, что локальной строгой монотонности достаточно в одном измерении. Следующая более общая форма была доказана Кумагаем на основе наблюдения Джитторнтрума.

Рассмотрим непрерывную функцию такую, что . Там существуют открытые окрестности и из х ₀ и у ₀ , соответственно, такие , что для всех у в B , локально один-к-одному , если и только если существуют открытые окрестности и из х ₀ и у ₀ , такое , что для все уравнение f ( x , y ) = 0 имеет единственное решение ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {m} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle f (x_ {0}, y_ {0}) = 0}$${\ Displaystyle А \ подмножество \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle B \ подмножество \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ Displaystyle е (\ cdot, y): от А \ до \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle A_ {0} \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle B_ {0} \ subset \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ displaystyle y \ in B_ {0}}$

${\ Displaystyle х = г (у) \ в A_ {0},}$

где g - непрерывная функция из B ₀ в A ₀ .

Смотрите также

• Теорема об обратной функции
• Теорема о постоянном ранге : как теорему о неявной функции, так и теорему об обратной функции можно рассматривать как частные случаи теоремы о постоянном ранге.

Примечания

использованная литература

дальнейшее чтение

• Аллендорфер, Карл Б. (1974). «Теоремы о дифференцируемых функциях». Исчисление нескольких переменных и дифференцируемые многообразия . Нью-Йорк: Макмиллан. С. 54–88. ISBN 0-02-301840-2.
• Бинмор, KG (1983). «Неявные функции» . Исчисление . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 198–211. ISBN 0-521-28952-1.
• Лумис, Линн Х .; Штернберг, Шломо (1990). Advanced Calculus (Пересмотренное изд.). Бостон: Джонс и Бартлетт. С.  164–171 . ISBN 0-86720-122-3.
• Проттер, Мюррей Х .; Морри, Чарльз Б. мл. (1985). «Теоремы о неявных функциях. Якобианы» . Промежуточный исчисление (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 390–420. ISBN 0-387-96058-9.