Базельская проблема - Basel problem

Проблема Базель является проблемой в математическом анализе , имеющих отношение к теории чисел , первой создаваемой Пьетро Менголи в 1650 году и решаемой Леонарда Эйлера в 1734 году, и читать 5 декабря 1735 в Санкт - Петербургской Академии наук . Поскольку задача выдержала нападки ведущих математиков того времени, решение Эйлера сразу же принесло ему известность, когда ему было двадцать восемь лет. Эйлер значительно обобщил проблему, и его идеи были поддержаны годами позже Бернхардом Риманом в его основополагающей статье 1859 года « О числе простых чисел, меньших заданной величины », в которой он определил своидзета-функцию и доказали ее основные свойства. Проблема названа в честь Базеля , родного города Эйлера, а также семьи Бернулли, которая безуспешно взялась за решение этой проблемы.

Проблема Базеля просит для точного суммирования из обратных этих квадратов этих натуральных чисел , то есть точная суммы бесконечного ряда :

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac { 1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + \ cdots.}

Сумма ряда примерно равна 1,644934. Задача Базеля требует точной суммы этого ряда (в замкнутой форме ), а также доказательства того, что эта сумма верна. Эйлер нашел точную сумму $π$ ²/6и объявил об этом открытии в 1735 году. Его аргументы были основаны на манипуляциях, которые в то время не были оправданы, хотя позже он оказался прав. В 1741 году он представил действительно строгое доказательство.

Решение этой проблемы можно использовать для оценки вероятности того, что два больших случайных числа являются относительно простыми . Два случайных целых числа в диапазоне от 1 до $n$ являются взаимно простыми с вероятностью, которая в пределе, когда $n$ стремится к бесконечности, переходит в6/ $π$ ², обратное к решению Базельской задачи.

Подход Эйлера

Первоначальный вывод Эйлера значения $π$ ²/6существенно расширил наблюдения о конечных многочленах и предположил, что те же свойства верны для бесконечных рядов.

Конечно, первоначальное рассуждение Эйлера требует обоснования (100 лет спустя Карл Вейерштрасс доказал, что представление Эйлера синус-функции как бесконечного произведения справедливо с помощью теоремы факторизации Вейерштрасса ), но даже без обоснования, просто получив правильное значение, он удалось проверить это численно на частичных суммах ряда. Согласие, которое он наблюдал, вселило в него достаточно уверенности, чтобы объявить свой результат математическому сообществу.

Чтобы следовать аргументу Эйлера, вспомним разложение синусоидальной функции в ряд Тейлора

{\ displaystyle \ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ frac {x ^ {7} } {7!}} + \ Cdots}

Разделив на $x$ , имеем

{\ displaystyle {\ frac {\ sin x} {x}} = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {3!}} + {\ frac {x ^ {4}} {5!}} - {\ frac {x ^ {6}} {7!}} + \ cdots}

Используя теорему факторизации Вейерштрасса , можно также показать, что правая часть является произведением линейных множителей, заданных его корнями, точно так же, как мы делаем для конечных многочленов (что Эйлер принял как эвристику для разложения многочлена бесконечной степени в терминах своих корней, но на самом деле не всегда верно для общих ): ${\ Displaystyle P (x)}$

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ sin x} {x}} & = \ left (1 - {\ frac {x} {\ pi}} \ right) \ left (1 + {\ frac {x} {\ pi}} \ right) \ left (1 - {\ frac {x} {2 \ pi}} \ right) \ left (1 + {\ frac {x} {2 \ pi}} \ right ) \ left (1 - {\ frac {x} {3 \ pi}} \ right) \ left (1 + {\ frac {x} {3 \ pi}} \ right) \ cdots \\ & = \ left ( 1 - {\ frac {x ^ {2}} {\ pi ^ {2}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {4 \ pi ^ {2}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {9 \ pi ^ {2}}} \ right) \ cdots \ end {align}}}

Если мы формально умножим это произведение и соберем все члены $x 2$ (нам разрешено это сделать из-за тождества Ньютона ), мы увидим по индукции, что коэффициент $x 2$ при $грех х / Икс$ является

{\ displaystyle - \ left ({\ frac {1} {\ pi ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 \ pi ^ {2}}} + {\ frac {1} {9 \ pi ^ {2}}} + \ cdots \ right) = - {\ frac {1} {\ pi ^ {2}}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}}.}

Но из исходной бесконечной серии разложения $грех х / Икс$ , коэффициент при $x 2$ равен $- 1 / 3! = - 1 / 6$ . Эти два коэффициента должны быть равны; таким образом,

{\ displaystyle - {\ frac {1} {6}} = - {\ frac {1} {\ pi ^ {2}}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}}.}

Умножение обеих частей этого уравнения на - $π$ ² дает сумму, обратную положительным целым квадратным числам.

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}.}

Этот метод вычисления подробно описан в пояснительной форме, в частности, в книге Хэвила « Гамма», в которой подробно описаны многие дзета-функции и логарифмические ряды и интегралы, а также историческая перспектива, связанная с гамма-константой Эйлера . ${\ displaystyle \ zeta (2)}$

Обобщения метода Эйлера с использованием элементарных симметричных многочленов

Используя формулы, полученные из элементарных симметричных полиномов , этот же подход можно использовать для перечисления формул для четных дзета-констант с четными индексами, которые имеют следующую известную формулу, расширенную числами Бернулли :

{\ displaystyle \ zeta (2n) = {\ frac {(-1) ^ {n-1} (2 \ pi) ^ {2n}} {2 \ cdot (2n)!}} B_ {2n}.}

Например, пусть частичный продукт для расширенного, как указано выше, определяется как . Затем, используя известные формулы для элементарных симметричных многочленов (иначе говоря, формулы Ньютона, расширенные в терминах тождеств степенной суммы ), мы можем увидеть (например), что ${\ Displaystyle \ грех (х)}$ ${\ displaystyle {\ frac {S_ {n} (x)} {x}}: = \ prod \ limits _ {k = 1} ^ {n} \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}}) {к ^ {2} \ cdot \ pi ^ {2}}} \ right)}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left [x ^ {4} \ right] {\ frac {S_ {n} (x)} {x}} & = {\ frac {1} {2 \ pi ^ { 4}}} \ left (\ left (H_ {n} ^ {(2)} \ right) ^ {2} -H_ {n} ^ {(4)} \ right) \ qquad \ xrightarrow {n \ rightarrow \ infty} \ qquad {\ frac {1} {2}} \ left (\ zeta (2) ^ {2} - \ zeta (4) \ right) \\ & \ qquad \ подразумевает \ zeta (4) = {\ frac {\ pi ^ {4}} {90}} = - 2 \ pi ^ {2} \ cdot [x ^ {4}] {\ frac {\ sin (x)} {x}} + {\ frac { \ pi ^ {4}} {36}} \\\ left [x ^ {6} \ right] {\ frac {S_ {n} (x)} {x}} & = - {\ frac {1} { 6 \ pi ^ {6}}} \ left (\ left (H_ {n} ^ {(2)} \ right) ^ {3} -2H_ {n} ^ {(2)} H_ {n} ^ {( 4)} + 2H_ {n} ^ {(6)} \ right) \ qquad \ xrightarrow {n \ rightarrow \ infty} \ qquad {\ frac {1} {6}} \ left (\ zeta (2) ^ { 3} -3 \ zeta (2) \ zeta (4) +2 \ zeta (6) \ right) \\ & \ qquad \ подразумевает \ zeta (6) = {\ frac {\ pi ^ {6}} {945 }} = - 3 \ cdot \ pi ^ {6} [x ^ {6}] {\ frac {\ sin (x)} {x}} - {\ frac {2} {3}} {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} {\ frac {\ pi ^ {4}} {90}} + {\ frac {\ pi ^ {6}} {216}}, \ end {align}}}

и так далее для последующих коэффициентов . Существуют и другие формы тождеств Ньютона, выражающие (конечные) степенные суммы в терминах элементарных симметричных многочленов , но мы можем пойти более прямым путем к выражению нерекурсивных формул для использования метода элементарных симметричных многочленов . А именно, у нас есть рекуррентное соотношение между элементарными симметричными полиномами и полиномами степенной суммы, указанными на этой странице как ${\ displaystyle [x ^ {2k}] {\ frac {S_ {n} (x)} {x}}}$ ${\ displaystyle H_ {n} ^ {(2k)}}$ ${\ displaystyle e_ {i} \ Equiv e_ {i} \ left (- {\ frac {\ pi ^ {2}} {1 ^ {2}}}, - {\ frac {\ pi ^ {2}} { 2 ^ {2}}}, - {\ frac {\ pi ^ {2}} {3 ^ {2}}}, - {\ frac {\ pi ^ {2}} {4 ^ {2}}}, \ cdots \ right),}$ ${\ displaystyle \ zeta (2k)}$

{\ displaystyle (-1) ^ {k} ke_ {k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ {kj- 1} p_ {j} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) e_ {kj} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}),}

что в нашей ситуации приравнивается к предельному рекуррентному отношению (или свертке производящей функции , или произведению ), разложенному как

{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2k}} {2}} \ cdot {\ frac {(2k) \ cdot (-1) ^ {k}} {(2k + 1)!}} = - [ x ^ {2k}] {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}} \ times \ sum _ {i \ geq 1} \ zeta (2i) x ^ {i}.}

Тогда путем дифференцирования и перестановки слагаемых в предыдущем уравнении получаем, что

{\ displaystyle \ zeta (2k) = [x ^ {2k}] {\ frac {1} {2}} \ left (1- \ pi x \ cot (\ pi x) \ right).}

Последствия доказательства Эйлера

К доказательству Эйлера для пояснялось выше и расширение его метода по элементарных симметрических многочленов в предыдущем пункте, можно сделать вывод , что это всегда рационально кратен . Таким образом, по сравнению с относительно неизвестными или, по крайней мере, неизученными до сих пор свойствами дзета-констант с нечетным индексом , включая константу Апери , мы можем сделать гораздо больше об этом классе дзета-констант . В частности, поскольку его целочисленные силы трансцендентны , мы можем сделать вывод, что здесь иррационально , а точнее, трансцендентно для всех . ${\ displaystyle \ zeta (2)}$ ${\ displaystyle \ zeta (2k)}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {2k}}$ ${\ displaystyle \ zeta (3)}$ ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle \ zeta (2k)}$ ${\ Displaystyle к \ geq 1}$

Дзета-функция Римана

Дзета - функция Римана $ζ (s)$ является одним из наиболее важных функций в математике из - за его связь с распределением простых чисел . Дзета-функция определяется для любого комплексного числа $s,$ действительная часть которого больше 1, по следующей формуле:

{\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}}.}.

Взяв $s = 2$ , мы видим, что $ζ (2)$ равно сумме обратных квадратов всех положительных целых чисел:

{\ displaystyle \ zeta (2) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}} } + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \ приблизительно 1.644934.}

Сходимость может быть доказана интегральным тестом или следующим неравенством:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {n = 1} ^ {N} {\ frac {1} {n ^ {2}}} & <1+ \ sum _ {n = 2} ^ {N } {\ frac {1} {n (n-1)}} \\ & = 1+ \ sum _ {n = 2} ^ {N} \ left ({\ frac {1} {n-1}} - {\ frac {1} {n}} \ right) \\ & = 1 + 1 - {\ frac {1} {N}} \; {\ stackrel {N \ to \ infty} {\ longrightarrow}} \; 2. \ end {align}}}

Это дает нам верхнюю границу 2, и поскольку бесконечная сумма не содержит отрицательных членов, она должна сходиться к значению строго между 0 и 2. Можно показать, что $ζ (s)$ имеет простое выражение в терминах чисел Бернулли всякий раз, когда $s$ - четное положительное целое число. При $s = 2 n$ :

{\ displaystyle \ zeta (2n) = {\ frac {(2 \ pi) ^ {2n} (- 1) ^ {n + 1} B_ {2n}} {2 \ cdot (2n)!}}.}

Строгое доказательство с использованием формулы Эйлера и правила Лопиталя.

Функция sinc имеет представление факторизации Вейерштрасса как бесконечное произведение: ${\ displaystyle {\ text {sinc}} (x) = {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {n ^ {2}}} \ right).}

Бесконечное произведение является аналитическим , поэтому, используя натуральный логарифм обеих частей и дифференцируя выходы

{\ displaystyle {\ frac {\ pi \ cos (\ pi x)} {\ sin (\ pi x)}} - {\ frac {1} {x}} = - \ sum _ {n = 1} ^ { \ infty} {\ frac {2x} {n ^ {2} -x ^ {2}}}.}

После деления уравнения на и перегруппировки получается ${\ displaystyle 2x}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {2x ^ {2}}} - {\ frac {\ pi \ cot (\ pi x)} {2x}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2} -x ^ {2}}}.}

Делаем замену переменных ( ): ${\ displaystyle x = -it}$

{\ displaystyle - {\ frac {1} {2t ^ {2}}} + {\ frac {\ pi \ cot (- \ pi it)} {2it}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2} + t ^ {2}}}.}

Формулу Эйлера можно использовать для вывода, что

{\ displaystyle {\ frac {\ pi \ cot (- \ pi it)} {2it}} = {\ frac {\ pi} {2it}} {\ frac {i \ left (e ^ {2 \ pi t}) +1 \ right)} {e ^ {2 \ pi t} -1}} = {\ frac {\ pi} {2t}} + {\ frac {\ pi} {t \ left (e ^ {2 \ pi t} -1 \ right)}}.}

или используя гиперболическую функцию :

{\ displaystyle {\ frac {\ pi \ cot (- \ pi it)} {2it}} = {\ frac {\ pi} {2t}} {i \ cot (\ pi it)} = {\ frac {\ pi} {2t}} \ coth (\ pi t).}

потом

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2} + t ^ {2}}} = {\ frac {\ pi \ left (te ^ {2 \ pi t} + t \ right) -e ^ {2 \ pi t} +1} {2 \ left (t ^ {2} e ^ {2 \ pi t} -t ^ {2} \ right)}} = - {\ frac {1} {2t ^ {2}}} + {\ frac {\ pi} {2t}} \ coth (\ pi t).}

Теперь мы возьмем предел в ноль подходы и использовать правило Лопиталя трижды: ${\ displaystyle t}$

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {\ pi} {4} } {\ frac {2 \ pi te ^ {2 \ pi t} -e ^ {2 \ pi t} +1} {\ pi t ^ {2} e ^ {2 \ pi t} + te ^ {2 \ пи t} -t}}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {\ pi ^ {3} te ^ {2 \ pi t}} {2 \ pi \ left (\ pi t ^ {2} e ^ {2 \ pi t} + 2te ^ {2 \ pi t} \ right) + e ^ {2 \ pi t} -1}}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {\ pi ^ {2} (2 \ pi t + 1)} {4 \ pi ^ {2} t ^ {2} +12 \ pi t + 6}}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}.}

Строгое доказательство с использованием ряда Фурье

Используйте тождество Парсеваля (примененное к функции $f (x) = x$ ), чтобы получить

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} x ^ {2} \, dx,}

куда

{\ displaystyle {\ begin {align} c_ {n} & = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} xe ^ {- inx} \, dx \ \ [4pt] & = {\ frac {n \ pi \ cos (n \ pi) - \ sin (n \ pi)} {\ pi n ^ {2}}} i \\ [4pt] & = {\ frac {\ cos (n \ pi)} {n}} i \\ [4pt] & = {\ frac {(-1) ^ {n}} {n}} i \ end {выровнено}}}

для $n \neq 0$ и $c 0 = 0$ . Таким образом,

{\ displaystyle | c_ {n} | ^ {2} = {\ begin {cases} {\ dfrac {1} {n ^ {2}}}, & {\ text {for}} n \ neq 0, \\ 0, & {\ text {for}} n = 0, \ end {case}}}

а также

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2} = 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} { n ^ {2}}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} x ^ {2} \, dx.}

Следовательно,

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {- \ pi } ^ {\ pi} x ^ {2} \, dx = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}

как требуется.

Еще одно строгое доказательство личности Парсеваля.

Учитывая полный ортонормированный базис в пространстве в L2 периодических функций над (т.е. подпространство квадратично интегрируемых функций , которые также являются периодическими ), обозначаемых , идентичность замкнутости говорит нам , что ${\ Displaystyle L _ {\ OperatorName {per}} ^ {2} (0,1)}$ ${\ displaystyle (0,1)}$ ${\ Displaystyle \ {е_ {я} \} _ {я = - \ infty} ^ {\ infty}}$

{\ displaystyle \ | x \ | ^ {2} = \ sum _ {i = - \ infty} ^ {\ infty} | \ langle e_ {i}, x \ rangle | ^ {2},}

где определяется в терминах скалярного произведения на этом гильбертовом пространстве, задаваемого формулой ${\ Displaystyle \ | х \ |: = {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}}}$

{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {0} ^ {1} f (x) {\ overline {g (x)}} \, dx, \ f, g \ in L _ {\ operatorname { per}} ^ {2} (0,1).}

Мы можем рассматривать ортонормированный базис на этом пространстве, определяемый таким образом, что . Тогда, если мы возьмем , мы сможем вычислить и то, что ${\ Displaystyle е_ {к} \ эквив е_ {к} (\ вартета): = \ ехр (2 \ пи \ имат к \ вартета)}$ ${\ displaystyle \ langle e_ {k}, e_ {j} \ rangle = \ int _ {0} ^ {1} e ^ {2 \ pi \ imath (kj) \ vartheta} \, d \ vartheta = \ delta _ {k, j}}$ ${\ Displaystyle F (\ vartheta): = \ vartheta}$

{\ Displaystyle {\ begin {align} \ | е \ | ^ {2} & = \ int _ {0} ^ {1} \ vartheta ^ {2} \, d \ vartheta = {\ frac {1} {3 }} \\\ langle f, e_ {k} \ rangle & = \ int _ {0} ^ {1} \ vartheta e ^ {- 2 \ pi \ imath k \ vartheta} \, d \ vartheta = {\ Biggl \ {} {\ begin {array} {ll} {\ frac {1} {2}}, & k = 0 \\ - {\ frac {1} {2 \ pi \ imath k}} & k \ neq 0, \ конец {массив}} \ конец {выровненный}}}

элементарным исчислением и интегрированием по частям соответственно. Наконец, по тождеству Парсеваля, сформулированному в приведенной выше форме, получаем, что

{\ displaystyle {\ begin {align} \ | f \ | ^ {2} = {\ frac {1} {3}} & = \ sum _ {\ stackrel {k = - \ infty} {k \ neq 0} } ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2 \ pi k) ^ {2}}} + {\ frac {1} {4}} = 2 \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty } {\ frac {1} {(2 \ pi k) ^ {2}}} + {\ frac {1} {4}} \\ & \ подразумевает {\ frac {\ pi ^ {2}} {6} } = {\ frac {2 \ pi ^ {2}} {3}} - {\ frac {\ pi ^ {2}} {2}} = \ zeta (2). \ end {align}}}

Обобщения и рекуррентные соотношения

Обратите внимание, что, рассматривая степени более высокого порядка, мы можем использовать интегрирование по частям, чтобы расширить этот метод до перечисления формул для когда . В частности, предположим, что мы положили ${\ displaystyle f_ {j} (\ vartheta): = \ vartheta ^ {j} \ in L _ {\ operatorname {per}} ^ {2} (0,1)}$ ${\ displaystyle \ zeta (2j)}$ ${\ displaystyle j> 1}$

{\ Displaystyle I_ {j, k}: = \ int _ {0} ^ {1} \ vartheta ^ {j} e ^ {- 2 \ pi \ imath k \ vartheta} \, d \ vartheta,}

так что интегрирование по частям дает рекуррентное соотношение, что

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {j, k} & = {\ Biggl \ {} {\ begin {array} {ll} {\ frac {1} {j + 1}}, & k = 0; \ \ - {\ frac {1} {2 \ pi \ imath \ cdot k}} + {\ frac {j} {2 \ pi \ imath \ cdot k}} I_ {j-1, k}, & k \ neq 0 \ end {array}} \\ & = {\ Biggl \ {} {\ begin {array} {ll} {\ frac {1} {j + 1}}, & k = 0; \\ - \ sum \ limits _ {m = 1} ^ {j} {\ frac {j!} {(j + 1-m)!}} \ cdot {\ frac {1} {(2 \ pi \ imath \ cdot k) ^ {m} }}, & k \ neq 0 \ end {array}}. \ end {align}}}

Затем, применяя тождество Парсеваля, как мы сделали для первого случая выше, вместе с линейностью внутреннего продукта дает, что

{\ displaystyle {\ begin {align} \ | f_ {j} \ | ^ {2} = {\ frac {1} {2j + 1}} & = 2 \ sum _ {k \ geq 1} I_ {j, k} {\ bar {I}} _ {j, k} + {\ frac {1} {(j + 1) ^ {2}}} \\ & = 2 \ sum _ {m = 1} ^ {j } \ sum _ {r = 1} ^ {j} {\ frac {j! ^ {2}} {(j + 1-m)! (j + 1-r)!}} {\ frac {(-1 ) ^ {r}} {\ imath ^ {m + r}}} {\ frac {\ zeta (m + r)} {(2 \ pi) ^ {m + r}}} + {\ frac {1} {(j + 1) ^ {2}}}. \ end {выравнивается}}}

Доказательство Коши

Хотя в большинстве доказательств используются результаты продвинутой математики , такие как анализ Фурье , комплексный анализ и многомерное исчисление , нижеследующее даже не требует исчисления одной переменной (до тех пор, пока в конце не будет взят единственный предел ).

Доказательство с использованием теоремы о вычетах см. В связанной статье.

История этого доказательства

Доказательство восходит к Огюстену Луи Коши (Cours d'Analyse, 1821, примечание VIII). В 1954 году это доказательство появилось в книге Акивы и Исаака Яглома «Неэлементарные задачи в элементарном изложении». Позже, в 1982 году, оно появилось в журнале Eureka , приписываемом Джону Скоулзу, но Скоулз утверждает, что узнал доказательство от Питера Суиннертон-Дайера , и в любом случае он утверждает, что доказательство было «общеизвестным в Кембридже в конце 1960-х».

Доказательство

Показано неравенство . Возврат и возведение в квадрат дают .

{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} r ^ {2} \ tan \ theta> {\ tfrac {1} {2}} r ^ {2} \ theta> {\ tfrac {1} {2} } г ^ {2} \ sin \ theta}

{\ displaystyle \ cot ^ {2} \ theta <{\ tfrac {1} {\ theta ^ {2}}} <\ csc ^ {2} \ theta}

Основная идея доказательства - оценить частные (конечные) суммы

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {1} {k ^ {2}}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1 } {2 ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {m ^ {2}}}}

между двумя выражениями, каждое из которых будет стремиться к $π$ ²/6когда $m$ стремится к бесконечности. Эти два выражения являются производными от тождеств, включающих функции котангенса и косеканса . Эти идентичности, в свою очередь, происходят из формулы де Муавра , и теперь мы переходим к установлению этих идентичностей.

Пусть $x$ будет действительным числом с $0 < x < π / 2$ , и пусть $n$ - положительное нечетное целое число. Тогда из формулы де Муавра и определения функции котангенса имеем

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ cos (nx) + i \ sin (nx)} {\ sin ^ {n} x}} & = {\ frac {(\ cos x + i \ sin x) ^ {n}} {\ sin ^ {n} x}} \\ [4pt] & = \ left ({\ frac {\ cos x + i \ sin x} {\ sin x}} \ right) ^ {n} \\ [4pt] & = (\ cot x + i) ^ {n}. \ end {align}}}

Из биномиальной теоремы имеем

{\ displaystyle {\ begin {align} (\ cot x + i) ^ {n} = & {n \ choose 0} \ cot ^ {n} x + {n \ choose 1} (\ cot ^ {n-1} x) i + \ cdots + {n \ choose {n-1}} (\ cot x) i ^ {n-1} + {n \ choose n} i ^ {n} \\ [6pt] = & {\ Bigg (} {n \ choose 0} \ cot ^ {n} x- {n \ choose 2} \ cot ^ {n-2} x \ pm \ cdots {\ Bigg)} \; + \; i {\ Bigg ( } {n \ choose 1} \ cot ^ {n-1} x- {n \ choose 3} \ cot ^ {n-3} x \ pm \ cdots {\ Bigg)}. \ end {align}}}

Объединение двух уравнений и приравнивание мнимых частей дает тождество

{\ displaystyle {\ frac {\ sin (nx)} {\ sin ^ {n} x}} = {\ Bigg (} {n \ choose 1} \ cot ^ {n-1} x- {n \ choose 3 } \ cot ^ {n-3} x \ pm \ cdots {\ Bigg)}.}

Возьмем это тождество, зафиксируем натуральное число $m$ , положим $n = 2 m + 1$ и рассмотрим $x r = г π / 2 м + 1$ для $r = 1, 2, ..., m$ . Тогда $nx r$ $делится$ на $π$ и, следовательно, $sin (nx r) = 0$ . Так,

{\ displaystyle 0 = {{2m + 1} \ choose 1} \ cot ^ {2m} x_ {r} - {{2m + 1} \ choose 3} \ cot ^ {2m-2} x_ {r} \ pm \ cdots + (- 1) ^ {m} {{2m + 1} \ choose {2m + 1}}}

для каждого $r = 1, 2, ..., m$ . Значения $x r = x 1, x 2, ..., x m$ являются различными числами в интервале $0 < x r < π / 2$ . Поскольку функция $кровати 2 х$ это один-к-одному на этом интервале, число $т г = кроватка 2 х г$ различны при $г = 1, 2, ..., м$ . По приведенному выше уравнению эти $m$ чисел являются корнями многочлена $m-$ й степени

{\ displaystyle p (t) = {{2m + 1} \ choose 1} t ^ {m} - {{2m + 1} \ choose 3} t ^ {m-1} \ pm \ cdots + (- 1) ^ {m} {{2m + 1} \ choose {2m + 1}}.}

По формулам Виета мы можем вычислить сумму корней непосредственно, исследуя первые два коэффициента многочлена, и это сравнение показывает, что

{\ displaystyle \ cot ^ {2} x_ {1} + \ cot ^ {2} x_ {2} + \ cdots + \ cot ^ {2} x_ {m} = {\ frac {\ binom {2m + 1} {3}} {\ binom {2m + 1} {1}}} = {\ frac {2m (2m-1)} {6}}.}

Подставляя тождество $csc 2 x = cot 2 x + 1$ , имеем

{\ Displaystyle \ csc ^ {2} x_ {1} + \ csc ^ {2} x_ {2} + \ cdots + \ csc ^ {2} x_ {m} = {\ frac {2m (2m-1)} {6}} + m = {\ frac {2m (2m + 2)} {6}}.}

Теперь рассмотрим неравенство $cot 2 x < 1 / х 2 <csc 2 x$ (геометрически показано выше). Если сложить все эти неравенства для каждого из чисел $x r = г π / 2 м + 1$ , и если мы воспользуемся двумя приведенными выше тождествами, мы получим

{\ displaystyle {\ frac {2m (2m-1)} {6}} <\ left ({\ frac {2m + 1} {\ pi}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac { 2m + 1} {2 \ pi}} \ right) ^ {2} + \ cdots + \ left ({\ frac {2m + 1} {m \ pi}} \ right) ^ {2} <{\ frac { 2 м (2 м + 2)} {6}}.}

Умножая на $(π / 2 м + 1) 2$ , это становится

{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \ left ({\ frac {2m} {2m + 1}} \ right) \ left ({\ frac {2m-1} {2m + 1}} \ right) <{\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {m ^ { 2}}} <{\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \ left ({\ frac {2m} {2m + 1}} \ right) \ left ({\ frac {2m + 2} { 2m + 1}} \ right).}

Когда $m$ приближается к бесконечности, каждое из левых и правых выражений приближается $π$ ²/6, Поэтому по теореме гармони ,

{\ displaystyle \ zeta (2) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k ^ {2}}} = \ lim _ {m \ to \ infty} \ left ( {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {m ^ {2}}} \ right) = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}

и это завершает доказательство.

Другие личности

См. Специальные случаи тождеств для дзета-функции Римана, когда в разделах ниже появляются другие, особенно специальные тождества и представления этой константы. ${\ displaystyle s = 2.}$

Представления серий

Ниже приведены представления константы в серии:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ zeta (2) & = 3 \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k ^ {2} {\ binom {2k} {k }}}} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(i-1)! (j-1)! } {(i + j)!}}. \\\ конец {выровнен}}}

Существуют также разложения в ряды типа BBP для $ζ (2)$ .

Интегральные представления

Ниже приведены интегральные представления ${\ displaystyle \ zeta (2) {\ text {:}}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ zeta (2) & = - \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ log x} {1-x}} \, dx \\ [6pt] & = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {x} {e ^ {x} -1}} \, dx \\ [6pt] & = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {(\ log x) ^ {2}} {(1 + x) ^ {2}}} \, dx \\ [6pt] & = 2 + 2 \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lfloor x \ rfloor -x} {x ^ {3}}} \, dx \\ [6pt] & = \ exp \ left (2 \ int _ {2} ^ {\ infty} {\ frac {\ pi (x)} {x (x ^ {2} -1)}} \, dx \ right) \\ [6pt] & = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1 } {\ frac {dx \, dy} {1-xy}} \\ [6pt] & = {\ frac {4} {3}} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {dx \, dy} {1- (xy) ^ {2}}} \\ [6pt] & = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1 } {\ frac {1-x} {1-xy}} \, dx \, dy + {\ frac {2} {3}}. \ end {align}}}

Непрерывные дроби

В классической статье ван дер Пуртена, описывающей доказательство Апери иррациональности ${\ displaystyle \ zeta (3)}$ , автор отмечает несколько параллелей в доказательстве иррациональности доказательства Апери. В частности, он документирует рекуррентные отношения для почти целочисленных последовательностей, сходящихся к константе, и непрерывные дроби для константы. Другие непрерывные дроби для этой константы включают ${\ displaystyle \ zeta (2)}$

{\ Displaystyle {\ frac {\ zeta (2)} {2}} = {\ cfrac {1} {v_ {1} - {\ cfrac {1 ^ {4}} {v_ {2} - {\ cfrac { 2 ^ {4}} {v_ {3} - {\ cfrac {3 ^ {4}} {v_ {4} - \ ddots}}}}}}}},}