Последовательность Коши - Cauchy sequence

${\ displaystyle a_ {n}}$

${\ displaystyle a_ {m} -a_ {n}> d.}$

${\ displaystyle m> \ left ({\ sqrt {n}} + d \ right) ^ {2}}$

Полезность последовательностей Коши заключается в том, что в полном метрическом пространстве (таком, где известно, что все такие последовательности сходятся к пределу ), критерий сходимости зависит только от членов самой последовательности, в отличие от определения сходимость, в которой используется предельное значение, а также условия. Это часто используется в алгоритмах , как теоретических, так и прикладных, где итерационный процесс можно относительно легко показать для создания последовательности Коши, состоящей из итераций, таким образом выполняя логическое условие, такое как завершение.

Обобщения последовательностей Коши в более абстрактных однородных пространств существуют в виде фильтров Коши и сеток Коши .

В реальных цифрах

Последовательность

$${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ ldots}$$

${\ displaystyle x_ {m} -x_ {n}}$

Для любого действительного числа r последовательность усеченных десятичных разложений r образует последовательность Коши. Например, когда эта последовательность равна (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...).

${\ Displaystyle г = \ пи,}$

${\ displaystyle 10 ^ {1-m}}$

${\ displaystyle \ varepsilon.}$

Модуль сходимости Коши

Если - последовательность в наборе, то

${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, ...)}$

${\ displaystyle X,}$

${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle k}$

${\ Displaystyle м, п> \ альфа (к),}$

${\ displaystyle | x_ {m} -x_ {n} | <1 / k.}$

Любая последовательность с модулем сходимости Коши является последовательностью Коши. Существование модуля для последовательности Коши следует из хорошо упорядочения собственности натуральных чисел (пусть будет наименьшим возможным в определении последовательности Коши, принимая быть ). Существование модуля также следует из принципа

${\ Displaystyle \ альфа (к)}$

${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle 1 / k}$

${\ Displaystyle \ альфа (к) = к}$

${\ Displaystyle \ альфа (к) = 2 ^ {к}}$

Модули сходимости Коши используются конструктивными математиками, которые не хотят использовать какую-либо форму выбора. Использование модуля сходимости Коши может упростить как определения, так и теоремы конструктивного анализа. Регулярные последовательности Коши были использованы Эрреттом Бишопом в его « Основах конструктивного анализа» и Дугласом Бриджесом в неконструктивном учебнике ( ISBN  978-0-387-98239-7 ).

В метрическом пространстве

Поскольку определение последовательности Коши включает в себя только метрические понятия, это просто обобщить его на любую метрическое пространстве X . Для этого абсолютное значение заменяется расстоянием (где

${\ displaystyle \ left | x_ {m} -x_ {n} \ right |}$

${\ displaystyle d \ left (x_ {m}, x_ {n} \ right)}$

${\ displaystyle x_ {m}}$

${\ displaystyle x_ {n}.}$

Формально для данного метрического пространства последовательность ${\ displaystyle (X, d),}$

$${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ ldots}$$

${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$

${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle m, n> N,}$

$${\ displaystyle d \ left (x_ {m}, x_ {n} \ right) <\ varepsilon.}$$

Грубо говоря, члены последовательности становятся все ближе и ближе друг к другу таким образом , который наводит на мысль , что последовательность должна иметь предел в X . Тем не менее, такой предел не всегда существует внутри X : свойство пространства, состоящее в том, что каждая последовательность Коши сходится в пространстве, называется полнотой и подробно описывается ниже.

Полнота

Метрическое пространство ( X , d ), в котором каждая последовательность Коши сходится к элементу X , называется полным .

Примеры

Эти действительные числа являются полными под метрикой , индуцированную обычной абсолютной величиной, и один из стандартных конструкций действительных чисел включают в себя последовательность Коши рациональных чисел . В этой конструкции каждый класс эквивалентности последовательностей Коши рациональных чисел с определенным поведением хвоста, то есть каждый класс последовательностей, которые сколь угодно близки друг к другу, является действительным числом.

Довольно другой тип примера предоставляется метрическим пространством X, которое имеет дискретную метрику (где любые две различные точки находятся на расстоянии 1 друг от друга). Любая последовательность Коши элементов X должна быть постоянной за пределами некоторой фиксированной точки и сходиться к повторяющемуся члену.

Не пример: рациональные числа

В рациональных числах не являются полными (для обычного расстояния): Есть последовательности рациональных чисел, сходящиеся (в ) для

${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$

${\ displaystyle \ mathbb {R},}$

• Последовательность, определяемая с помощью, состоит из рациональных чисел (1, 3/2, 17/12, ...), что ясно из определения; однако он сходится к

${\ Displaystyle х \ neq 0,}$

Не пример: открытый интервал

Открытый интервал в множестве действительных чисел с обычным расстоянием в не полное пространство: существует последовательность в нем, что Коши (при сколь угодно малом расстоянии связаны все условия о приступе в интервале), однако не сходится в - его 'предел', номер 0, не принадлежит пробелу${\ Displaystyle X = (0,2)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x_ {n} = 1 / n}$${\ displaystyle d> 0}$${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle n> 1 / d}$${\ displaystyle (0, d)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$

Прочие свойства

• Каждая последовательность сходится (с предельными сек , скажем) является последовательностью Коши, так как , учитывая любое действительное число вне некоторой фиксированной точки, каждый член последовательности находится на расстоянии от

${\ displaystyle x_ {n}}$

${\ displaystyle x_ {N}}$

${\ displaystyle M + 1}$

${\ displaystyle x_ {N}}$

Эти последние два свойства вместе с теоремой Больцано – Вейерштрасса дают одно стандартное доказательство полноты действительных чисел, тесно связанное как с теоремой Больцано – Вейерштрасса, так и с теоремой Гейне – Бореля . Каждая последовательность Коши действительных чисел ограничена, следовательно, согласно Больцано – Вейерштрассу имеет сходящуюся подпоследовательность, а значит, сама сходится. Это доказательство полноты действительных чисел неявно использует аксиому наименьшей верхней границы . Упомянутый выше альтернативный подход построения действительных чисел как дополнения рациональных чисел делает полноту действительных чисел тавтологической.

Одна из стандартных иллюстраций преимущества возможности работать с последовательностями Коши и использования полноты обеспечивается рассмотрением суммирования бесконечного ряда действительных чисел (или, в более общем смысле, элементов любого полного нормированного линейного пространства , или банахово пространство ). Такой ряд считается сходящимся тогда и только тогда, когда последовательность

${\ Displaystyle \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} х_ {п}}$

${\ displaystyle (s_ {m})}$

${\ displaystyle s_ {m} = \ sum _ {n = 1} ^ {m} x_ {n}.}$

${\ displaystyle p> q,}$

$${\ displaystyle s_ {p} -s_ {q} = \ sum _ {n = q + 1} ^ {p} x_ {n}.}$$

Если это

${\ displaystyle f: M \ to N}$

${\ Displaystyle (е (х_ {п}))}$

${\ displaystyle (x_ {n})}$

${\ Displaystyle (у_ {п})}$

${\ displaystyle (x_ {n} + y_ {n})}$

${\ Displaystyle (х_ {п} у_ {п})}$

Обобщения

В топологических векторных пространствах

Существует также концепция последовательности Коши для топологического векторного пространства : выберите

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle x_ {k}}$

${\ displaystyle V \ in B,}$

${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle n, m> N, x_ {n} -x_ {m}}$

${\ displaystyle V.}$

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle d,}$

В топологических группах

Поскольку определение последовательности Коши в топологическом векторном пространстве требует только непрерывной операции «вычитания», ее также можно сформулировать в контексте топологической группы : последовательность в топологической группе является последовательностью Коши, если для каждого открытого окрестности в

${\ displaystyle (x_ {k})}$

${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle m, n> N}$

${\ displaystyle x_ {n} x_ {m} ^ {- 1} \ в U.}$

${\ displaystyle G.}$

Как и в строительстве завершения метрического пространства , можно , кроме того , определить бинарное отношение на последовательности Кошей в том , что и являются эквивалентными , если для каждых открытых

${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle (x_ {k})}$

${\ displaystyle (y_ {k})}$

${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle m, n> N}$

${\ displaystyle x_ {n} y_ {m} ^ {- 1} \ in U.}$

${\ displaystyle y_ {n} x_ {m} ^ {- 1} = (x_ {m} y_ {n} ^ {- 1}) ^ {- 1} \ in U ^ {- 1}}$

${\ displaystyle x_ {n} z_ {l} ^ {- 1} = x_ {n} y_ {m} ^ {- 1} y_ {m} z_ {l} ^ {- 1} \ in U'U '' }$

${\ displaystyle U '}$

${\ displaystyle U ''}$

${\ displaystyle U'U '' \ substeq U}$

В группах

Существует также понятие последовательности Коши в группе : Пусть убывающая последовательность

${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle H = (H_ {r})}$

${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle (x_ {n})}$

${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle H}$

${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle m, n> N, x_ {n} x_ {m} ^ {- 1} \ in H_ {r}.}$

Технически это то же самое, что последовательность топологической группы Коши для определенного выбора топологии, а именно той, для которой является локальной базой. ${\ displaystyle G,}$${\ displaystyle H}$

Множество таких последовательностей Коши образует группу (для покомпонентного продукта), а также множество последовательностей нулевых (s.th. ) является нормальной подгруппой группы The

${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle C_ {0}}$

${\ Displaystyle \ forall r, \ существует N, \ forall n> N, x_ {n} \ in H_ {r}}$

${\ displaystyle C.}$

${\ displaystyle C / C_ {0}}$

${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle H.}$

Тогда можно показать, что это пополнение изоморфно обратному пределу последовательности${\ displaystyle (G / H_ {r}).}$

Примером такой конструкции, знакомой в теории чисел и алгебраической геометрии является построением

${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle p.}$

${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle H_ {r}}$

${\ displaystyle p_ {r}.}$

Если является

${\ displaystyle H}$

${\ displaystyle H_ {r}}$

${\ displaystyle (G / H) _ {H},}$

${\ displaystyle H}$

В гиперреальном континууме

Реальная последовательность имеет естественное

${\ Displaystyle \ langle и_ {п}: п \ в \ mathbb {N} \ rangle}$

${\ displaystyle u_ {H}}$

${\ displaystyle u_ {K}}$

${\ displaystyle \ mathrm {st} (u_ {H} -u_ {K}) = 0}$

где "st" - стандартная функция детали .

Пополнение категорий Коши

Краузе (2018) ввел понятие пополнения категории по Коши . Применительно к (категории, объекты которой являются рациональными числами, и существует морфизм от

${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle x \ leq y}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Смотрите также

• Способы сходимости (аннотированный указатель)
• Дедекинда вырезать

использованная литература

дальнейшее чтение

• Бурбаки, Николас (1972). Коммутативная алгебра (английский перевод ред.). Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-00644-8.
• Краузе, Хеннинг (2018), Завершение совершенных комплексов: с приложениями Тобиаса Бартеля и Бернхарда Келлера , arXiv : 1805.10751 , Bibcode : 2018arXiv180510751B
• Лэнг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Чтение, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848,13001
• Спивак, Майкл (1994). Исчисление (3-е изд.). Беркли, Калифорния: Опубликовать или погибнуть. ISBN 0-914098-89-6. Архивировано из оригинала на 2007-05-17 . Проверено 26 мая 2007 .
• Troelstra, AS ; Д. ван Дален . Конструктивизм в математике: Введение . (для использования в конструктивной математике)

внешние ссылки

• "Фундаментальная последовательность" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]