Проблема Бернсайда - Burnside problem

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый действие Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Кляйн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Бесплатная группа Модульные группы PSL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

Проблема Бернсайда , поставленная Уильямом Бернсайдом в 1902 г. и являющаяся одним из старейших и наиболее влиятельных вопросов теории групп , ставит вопрос о том , должна ли конечно порожденная группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок, обязательно быть конечной группой . Евгений Голод и Игорь Шафаревич представили контрпример в 1964 году. Задача имеет множество вариантов (см. Ограниченные и ограниченные ниже), которые отличаются дополнительными условиями, налагаемыми на порядки элементов группы.

Краткая история

Первоначальная работа указала на утвердительный ответ. Например, если группа G конечно порождена и порядок каждого элемента группы G является делителем 4, то группа G конечна. Более того, А.И. Кострикину в 1958 г. удалось доказать, что среди конечных групп с данным числом образующих и данным простым показателем существует наибольшая. Это обеспечивает решение ограниченной проблемы Бернсайда для случая простого показателя. (Позже, в 1989 г., Ефим Зельманов смог решить ограниченную задачу Бернсайда для произвольной экспоненты.) Иссай Шур показал в 1911 г., что любая конечно порожденная периодическая группа, являющаяся подгруппой группы обратимых комплексных матриц размера n × n, конечна. ; он использовал эту теорему для доказательства теоремы Жордана – Шура .

Тем не менее общий ответ на проблему Бернсайда оказался отрицательным. В 1964 году Голод и Шафаревич построили бесконечную группу типа Бернсайда, не предполагая, что все элементы имеют равномерно ограниченный порядок. В 1968 году Петр Новиков и Сергей Адиан подают отрицательное решение ограниченной задачи показателя для всех нечетных показателей больше , чем 4381. В 1982 г. А. Ю.. Ольшанский нашел несколько поразительных контрпримеров для достаточно больших нечетных показателей (больше 10 ¹⁰ ) и дал значительно более простое доказательство, основанное на геометрических идеях.

Дело даже с показателями оказалось сложнее уладить. В 1992 г. С. В. Иванов объявил отрицательное решение для достаточно больших четных показателей, кратных большой степени двойки (подробные доказательства были опубликованы в 1994 г. и заняли около 300 страниц). Позднее совместная работа Ольшанского и Иванова установила отрицательное решение аналога проблемы Бернсайда для гиперболических групп при условии, что показатель достаточно велик. Напротив, когда показатель небольшой и отличается от 2, 3, 4 и 6, известно очень мало.

Общая проблема Бернсайда

Группа G называется периодической, если каждый элемент имеет конечный порядок; другими словами, для каждого g в G существует некоторое натуральное число n такое, что g ⁿ = 1. Ясно, что каждая конечная группа периодична. Существуют легко определяемые группы, такие как p ^∞ -группа, которые являются бесконечными периодическими группами; но последняя группа не может быть конечно порожденной.

Общая проблема Бернсайда. Если G - конечно порожденная периодическая группа, то обязательно ли G конечна?

На этот вопрос в 1964 г. ответили отрицательно Евгений Голод и Игорь Шафаревич , которые привели пример бесконечной p -группы, которая конечно порождена (см. Теорему Голода – Шафаревича ). Однако порядки элементов этой группы априори не ограничены одной константой.

Ограниченная проблема Бернсайда

Граф Кэли 27-элементной свободной группы Бернсайда ранга 2 и экспоненты 3.

Отчасти сложность общей проблемы Бернсайда состоит в том, что требования быть конечно порожденными и периодическими дают очень мало информации о возможной структуре группы. Таким образом, мы ставим больше требований на G . Рассмотрим периодическую группу G с дополнительным свойством , что существует наименьшее целое число п такое , что для всех г в G , г ^п = 1. Группа с этим свойством называется периодической с ограниченной экспоненты п , или просто группы с показателем п . Задача Бернсайда для групп с ограниченным показателем:

Проблема Бернсайда I. Если G конечно порожденная группа с показателем n , обязательно ли G конечна?

Оказывается, эту проблему можно переформулировать как вопрос о конечности групп в конкретном семействе. Свободная бернсайдова группа ранга м и экспоненты п , обозначается B ( м , п ), представляет собой группу с м отличается образующими х ₁ , ..., х _м , в которых тождество х ^п = 1 имеет место для всех элементов х , и что является «самой большой» группой, удовлетворяющей этим требованиям. Точнее, характеристическое свойство B ( m , n ) состоит в том, что для любой группы G с m образующими g ₁ , ..., g _m и показателем n существует единственный гомоморфизм из B ( m , n ) в о том , что отображает я го генератора х _я в ( м , п ) в я - й генератор г _I из G . На языке групповых представлений свободная бернсайдовская группа B ( m , n ) имеет m образующих x ₁ , ..., x _m и отношения x ⁿ = 1 для каждого слова x в x ₁ , ..., x _m , и любая группа G с m образующими экспоненты n получается из нее наложением дополнительных соотношений. Существование свободной бернсайдовской группы и ее единственность с точностью до изоморфизма устанавливаются стандартными методами теории групп. Таким образом , если G является любой конечно порожденной группой экспонентов п , то G является гомоморфным В ( м , п ), где т есть число образующих G . Теперь проблему Бернсайда можно сформулировать следующим образом:

Проблема Бернсайда II. Для каких натуральных чисел m , n свободная группа Бернсайда B ( m , n ) конечна?

Полное решение проблемы Бернсайда в таком виде неизвестно. Бернсайд рассмотрел несколько простых случаев в своей оригинальной статье:

• B (1, n ) - циклическая группа порядка n .
• В ( м , 2) является прямым произведением из м экземпляров циклической группы порядка 2 и , следовательно , конечны.

Известны следующие дополнительные результаты (Бернсайд, Санов, М. Холл ):

• B ( m , 3), B ( m , 4) и B ( m , 6) конечны для всех m .

Частный случай группы B (2, 5) остается открытым: по состоянию на 2005 г. неизвестно, конечна ли эта группа.

Прорыв в решении проблемы Бернсайда был достигнут Петром Новиковым и Сергеем Адяном в 1968 году. Используя сложный комбинаторный аргумент, они продемонстрировали, что для любого нечетного числа n с n > 4381 существуют бесконечные конечно порожденные группы экспоненты n . Позже Адиан улучшил оценку нечетной экспоненты до 665. Последнее улучшение оценки нечетной экспоненты - 101, полученное самим Адяном в 2015 году. Случай четной экспоненты оказался значительно сложнее. Лишь в 1994 году Сергею Васильевичу Иванову удалось доказать аналог теоремы Новикова – Адяна: для любого m > 1 и четного n ≥ 2 ⁴⁸ , n, кратного 2 ⁹ , группа B ( m , n ) бесконечна. ; вместе с теоремой Новикова – Адяна это влечет бесконечность для всех m > 1 и n ≥ 2 ⁴⁸ . В 1996 г. И.Г. Лысенок улучшил это до m > 1 и n ≥ 8000. Новиков – Адян, Иванов и Лысенок получили значительно более точные результаты о структуре свободных бернсайдовых групп. В случае нечетной экспоненты все конечные подгруппы свободных бернсайдовских групп оказались циклическими группами. В случае четной экспоненты каждая конечная подгруппа содержится в произведении двух диэдральных групп , и существуют нециклические конечные подгруппы. Кроме того, было показано, что проблемы слова и сопряженности эффективно разрешимы в B ( m , n ) как для случая нечетных, так и для четных показателей n .

Знаменитый класс контрпримеров к проблеме Бернсайда составляют конечно порожденные нециклические бесконечные группы, в которых каждая нетривиальная собственная подгруппа является конечной циклической группой , так называемые монстры Тарского . Первые примеры таких групп были построены А.Ю. Ольшанского в 1979 г. геометрическими методами, положительно решив О.Ю. Проблема Шмидта. В 1982 году Ольшанский смог усилить свои результаты и установить существование для любого достаточно большого простого числа p (можно взять p > 10 ⁷⁵ ) конечно порожденной бесконечной группы, в которой каждая нетривиальная собственная подгруппа является циклической группой порядка p . В статье, опубликованной в 1996 г., Иванов и Ольшанский решили аналог проблемы Бернсайда в произвольной гиперболической группе для достаточно больших показателей.

Ограниченная проблема Бернсайда

Сформулированный в 1930-х годах, он задает другой, связанный с этим вопрос:

Ограниченная проблема Бернсайда. Если известно, что группа G с m образующими и показателем n конечна, можно ли заключить, что порядок группы G ограничен некоторой константой, зависящей только от m и n ? Эквивалентно, существует ли только конечное число конечных групп с m образующими экспоненты n с точностью до изоморфизма ?

Этот вариант проблемы Бернсайда также может быть сформулирован в терминах некоторых универсальных групп с m образующими и показателем n . Согласно основным результатам теории групп, пересечение двух подгрупп конечного индекса в любой группе само является подгруппой конечного индекса. Пусть M - пересечение всех подгрупп свободной бернсайдовской группы B ( m , n ), имеющих конечный индекс, тогда M - нормальная подгруппа в B ( m , n ) (иначе существует подгруппа g ⁻¹ Mg с конечным индекс, содержащий элементы, не входящие в M ). Поэтому можно определить группы B ₀ ( т , п ) , чтобы быть фактор - группа B ( м , п ) / М . Каждая конечная группа экспоненты n с m образующими является гомоморфным образом B ₀ ( m , n ). Затем ограниченная проблема Бернсайда спрашивает, является ли B ₀ ( m , n ) конечной группой.

В случае простого показателя p эта проблема широко исследовалась А. И. Кострикиным в 1950-х годах до отрицательного решения общей проблемы Бернсайда. Его решение, устанавливающее конечность B ₀ ( m , p ), использовало связь с глубокими вопросами о тождествах в алгебрах Ли в конечной характеристике. Дело о произвольном показателе было полностью разрешено положительно Ефимом Зельмановым , награжденным Филдсовской медалью в 1994 году за свою работу.

Примечания

использованная литература

Список используемой литературы

• С. И. Адян (1979) Проблема Бернсайда и тождества в группах . Перевод с русского Джона Леннокса и Джеймса Виголда. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Результаты по математике и смежным областям], 95. Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк. ISBN  3-540-08728-1 .
• С.И. Адян (2015). «Новые оценки нечетных показателей бесконечных бернсайдовских групп». Труды Математического института имени В.А. Стеклова . 289 : 41–82. DOI : 10.1134 / S0371968515020041 .Перевод в Adian, SI (2015). «Новые оценки нечетных показателей бесконечных бернсайдовских групп» . Труды Математического института им . В. А. Стеклова . 289 (1): 33–71. DOI : 10.1134 / S0081543815040045 .
• С.В. Иванов (1994). «Свободные бернсайдовские группы достаточно больших экспонентов». Международный журнал алгебры и вычислений . 04 : 1–308. DOI : 10.1142 / S0218196794000026 .
• С.В. Иванов; А.Ю. Ольшанский (1996). «Гиперболические группы и их факторы ограниченных показателей» . Труды Американского математического общества . 348 (6): 2091–2138. DOI : 10.1090 / S0002-9947-96-01510-3 .
• Кострикин А.И. (1990) Вокруг Бернсайда . Перевод с русского и с предисловием Джеймса Вигольда . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 20. Springer-Verlag, Berlin. ISBN  3-540-50602-0 .
• И.Г. Лысенок (1996). «Бесконечные бернсайдовские группы четного показателя» . 60 (3): 3–224. DOI : 10.4213 / im77 . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )Перевод в Лысёнок И.Г. (1996). «Бесконечные бернсайдовские группы четной экспоненты». Известия: Математика . 60 (3): 453–654. Bibcode : 1996IzMat..60..453L . DOI : 10.1070 / IM1996v060n03ABEH000077 .
• А.Ю. Ольшанский (1989) Геометрия определяющих отношений в группах . Перевод с русского оригинала 1989 г. Ю. А. Бахтурин (1991) Математика и ее приложения (Советская серия), 70. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group. ISBN  0-7923-1394-1 .
• Э. Зельманов (1990). «Решение ограниченной проблемы Бернсайда для групп нечетной экспоненты» . Известия Российской Академии Наук. Серия математическая . 54 (1): 42–59, 221.Перевод у Зельманова Е.И. (1991). "Решение ограниченной проблемы Бернсайда для групп нечетной экспоненты". Математика СССР-Известия . 36 (1): 41–60. Bibcode : 1991IzMat..36 ... 41Z . DOI : 10.1070 / IM1991v036n01ABEH001946 . S2CID  39623037 .
• Э. Зельманов (1991). «Решение ограниченной проблемы Бернсайда для 2-групп» . Математический сборник . 182 (4): 568–592.Перевод у Зельманова Е.И. (1992). «Решение ограниченной проблемы Бернсайда для 2-групп». Математика СССР-Сборник . 72 (2): 543–565. Bibcode : 1992SbMat..72..543Z . DOI : 10.1070 / SM1992v072n02ABEH001272 .

внешние ссылки

• История проблемы Бернсайда в архиве истории математики MacTutor