Расходящаяся серия - Divergent series

В математике , А ряд расходящимся является AN бесконечной серии , который не сходится , а это означает , что бесконечная последовательность из частичных сумм ряда не имеет конечный предел .

Если ряд сходится, отдельные члены ряда должны стремиться к нулю. Таким образом, любой ряд, в котором отдельные члены не приближаются к нулю, расходится. Однако сходимость - более сильное условие: не все ряды, члены которых стремятся к нулю, сходятся. Контрпример - гармонический ряд

${\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} + \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}}.}$

Дивергенция гармонического ряда была доказана средневековым математиком Николь Орем .

В специализированных математических контекстах значения могут быть объективно присвоены определенным рядам, последовательности частичных сумм которых расходятся, чтобы придать смысл расхождению ряда. Метод суммирования или суммирования метод является частичной функцией из множества рядов до значений. Например, суммирование Чезаро присваивает расходящийся ряд Гранди

${\ Displaystyle 1-1 + 1-1 + \ cdots}$

Значение 1/2. Суммирование Чезаро - это метод усреднения , поскольку он основан на среднем арифметическом последовательности частичных сумм. Другие методы включают аналитическое продолжение связанных рядов. В физике существует множество методов суммирования; они обсуждаются более подробно в статье о регуляризации .

История

До XIX века расходящиеся ряды широко использовались Леонардом Эйлером и другими, но часто приводили к запутанным и противоречивым результатам. Основная проблема заключалась в идее Эйлера о том, что любой расходящийся ряд должен иметь естественную сумму, без предварительного определения того, что подразумевается под суммой расходящегося ряда. Огюстен-Луи Коши в конечном итоге дал строгое определение суммы (сходящегося) ряда, и в течение некоторого времени после этого расходящиеся ряды по большей части исключались из математики. Они вновь появились в 1886 году с работой Анри Пуанкаре по асимптотическим рядам. В 1890 году Эрнесто Чезаро понял, что можно дать строгое определение суммы некоторых расходящихся рядов, и дал определение суммирования Чезаро . (Это было не первое использование суммирования Чезаро, которое неявно использовалось Фердинандом Георгом Фробениусом в 1880 году; ключевым вкладом Чезаро было не открытие этого метода, а его идея о том, что нужно дать явное определение суммы расходящегося ряда. .) В годы, прошедшие после статьи Чезаро, несколько других математиков дали другие определения суммы расходящегося ряда, хотя они не всегда совместимы: разные определения могут давать разные ответы для суммы одного и того же расходящегося ряда; поэтому, говоря о сумме расходящегося ряда, необходимо указать, какой метод суммирования используется.

Теоремы о методах суммирования расходящихся рядов

Метод суммирования M является регулярным, если он согласуется с фактическим пределом для всех сходящихся рядов . Такой результат называется абелевой теоремой для M из прототипической теоремы Абеля . Более тонкими являются частичные обратные результаты, называемые тауберовыми теоремами , из прототипа, доказанного Альфредом Таубером . Здесь частичное обратное означает, что если M суммирует ряд Σ и выполняется какое-то побочное условие, то Σ изначально сходилась; без каких-либо побочных условий такой результат означал бы, что M только суммировал сходящиеся ряды (что делает его бесполезным в качестве метода суммирования для расходящихся рядов).

Функция, дающая сумму сходящегося ряда, является линейной , и из теоремы Хана – Банаха следует, что она может быть расширена до метода суммирования, суммирующего любой ряд с ограниченными частичными суммами. Это называется пределом Банаха . Этот факт не очень полезен на практике, так как существует много таких расширений, несовместимых друг с другом, а также поскольку для доказательства существования таких операторов требуется применение аксиомы выбора или ее эквивалентов, таких как лемма Цорна . Следовательно, они неконструктивны.

Предмет расходящихся рядов, как область математического анализа , в первую очередь касаются явными и естественных методов , таких как Абель суммирования , Чезаро суммирования и Борель суммирования , и их отношения. Появление тауберова теоремы Винера ознаменовало собой эпоху в этом вопросе, открыв неожиданные связи с методами банаховой алгебры в анализе Фурье .

Суммирование расходящихся рядов также связано с методами экстраполяции и преобразованиями последовательностей как численными методами. Примерами таких методов являются аппроксимации Паде , преобразования последовательностей типа Левина и отображения, зависящие от порядка, связанные с методами перенормировки для теории возмущений большого порядка в квантовой механике .

Свойства методов суммирования

Методы суммирования обычно концентрируются на последовательности частичных сумм ряда. Хотя эта последовательность не сходится, мы часто можем обнаружить, что, когда мы берем среднее от все большего и большего числа начальных членов последовательности, среднее сходится, и мы можем использовать это среднее вместо предела для оценки суммы ряда. . Метод суммирования можно рассматривать как функцию из набора последовательностей частичных сумм до значений. Если A - это какой-либо метод суммирования, присваивающий значения набору последовательностей, мы можем механически преобразовать это в метод суммирования серий A ^Σ, который присваивает те же значения соответствующему ряду. Есть определенные свойства, которыми желательно обладать эти методы, если они хотят достичь значений, соответствующих пределам и суммам, соответственно.

• Регулярность . Метод суммирования является регулярным, если всякий раз, когда последовательность s сходится к x , A ( s ) = x . Эквивалентно, соответствующий метод суммирования рядов оценивает A ^Σ ( a ) = x .
• Линейность . A является линейным, если он является линейным функционалом на последовательностях, в которых он определен, так что A ( k r + s ) = k A ( r ) + A ( s ) для последовательностей r , s и действительного или комплексного скаляра k . Поскольку члены a _{n +1} = s _{n +1} - s _n ряда a являются линейными функционалами на последовательности s и наоборот, это эквивалентно тому, что A ^Σ является линейным функционалом на членах ряда.
• Стабильность (также называемая транслятивностью ). Если s - последовательность, начинающаяся с s _0, а s ′ - последовательность, полученная путем исключения первого значения и вычитания его из остальных, так что s ′ _n = s _{n +1} - s ₀ , то A ( s ) определяется, если и только если A ( s ′) определено и A ( s ) = s ₀ + A ( s ′). Эквивалентно, если a ′ _n = a _{n +1} для всех n , то A ^Σ ( a ) = a ₀ + A ^Σ ( a ′). Другой способ заявить об этом состоит в том, что правило сдвига должно быть действительным для рядов, суммируемых этим методом.

Третье условие менее важно, и некоторые важные методы, такие как суммирование по Борелю , им не обладают.

Можно также дать более слабую альтернативу последнему условию.

• Конечная переиндексируемость . Если a и a ′ - две серии, такие, что существует такая биекция , что a _i = a ′ _{f ( i )} для всех i , и если существует такая, что a _i = a ′ _i для всех i  >  N , то A ^Σ ( a ) = A ^Σ ( a ′). (Другими словами, a '- это тот же ряд, что и a , только с конечным числом переиндексированных членов.) Это более слабое условие, чем стабильность , потому что любой метод суммирования, который демонстрирует стабильность, также демонстрирует конечную переиндексируемость , но обратное не правда.)${\ displaystyle f: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$

Желательным свойством для двух различных методов суммирования А и В , чтобы доля является консистенция : и B являются последовательно , если для каждой последовательности s , к которому , как присвоить значение, ( ы ) = B ( ы ). (Используя этот язык, метод суммирования A является регулярным, если и только если он согласован со стандартной суммой Σ .) Если два метода согласованы и один суммирует больше рядов, чем другой, то тот, который суммирует больше рядов, сильнее .

Существуют мощные численные методы суммирования, которые не являются ни регулярными, ни линейными, например, нелинейные преобразования последовательностей, такие как преобразования последовательностей типа Левина и аппроксимации Паде , а также зависимые от порядка отображения пертурбативных рядов, основанные на методах перенормировки .

Принимая регулярность, линейность и устойчивость как аксиомы, можно просуммировать многие расходящиеся ряды элементарными алгебраическими манипуляциями. Это частично объясняет, почему многие разные методы суммирования дают одинаковый ответ для определенных рядов.

Например, всякий раз , когда г ≠ 1, геометрическая прогрессия

${\ displaystyle {\ begin {align} G (r, c) & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} cr ^ {k} && \\ & = c + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} cr ^ {k + 1} && {\ text {(стабильность)}} \\ & = c + r \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} cr ^ {k} && {\ text {(линейность)}} \\ & = c + r \, G (r, c), && {\ text {следовательно}} \\ G (r, c) & = {\ frac {c} {1-r }}, {\ text {если оно не бесконечно}} && \\\ end {выровнено}}}$

можно оценить независимо от сходимости. Более строго, любой метод суммирования, который обладает этими свойствами и который присваивает конечное значение геометрическому ряду, должен присвоить это значение. Однако, когда r - действительное число больше 1, частичные суммы неограниченно увеличиваются, а методы усреднения устанавливают предел бесконечности.

Классические методы суммирования

Два классических метода суммирования рядов, обычная сходимость и абсолютная сходимость, определяют сумму как предел определенных частичных сумм. Они включены только для полноты; строго говоря, они не являются истинными методами суммирования расходящихся рядов, поскольку, по определению, ряд расходится только в том случае, если эти методы не работают. Большинство, но не все методы суммирования расходящихся рядов распространяют эти методы на более широкий класс последовательностей.

Абсолютная конвергенция

Абсолютная сходимость определяет сумму последовательности (или набора) чисел как предел сети всех частичных сумм a _{k 1} + ... + a _{k n} , если он существует. Это не зависит от порядка элементов последовательности, и классическая теорема утверждает, что последовательность абсолютно сходится тогда и только тогда, когда последовательность абсолютных значений сходится в стандартном смысле.

Сумма серии

Классическое определение Коши суммы ряда a ₀ + a ₁ + ... определяет сумму как предел последовательности частичных сумм a ₀ + ... + a _n . Это определение сходимости последовательности по умолчанию.

Норлунд означает

Предположим, что p _n - это последовательность положительных членов, начиная с p ₀ . Предположим также, что

${\ displaystyle {\ frac {p_ {n}} {p_ {0} + p_ {1} + \ cdots + p_ {n}}} \ rightarrow 0.}$

Если теперь мы преобразуем последовательность s, используя p, чтобы получить взвешенные средние, установив

${\ displaystyle t_ {m} = {\ frac {p_ {m} s_ {0} + p_ {m-1} s_ {1} + \ cdots + p_ {0} s_ {m}} {p_ {0} +) p_ {1} + \ cdots + p_ {m}}}}$

то предел т _п а п стремится к бесконечности в среднем называется Nørlund среднего Н _р ( ы ).

Среднее значение Норлунда является регулярным, линейным и стабильным. Более того, любые два средних Норлунда согласованы.

Чезаро суммирование

Самым значительным из средств Норлунда являются суммы Чезаро. Здесь, если мы определим последовательность p ^k как

${\ displaystyle p_ {n} ^ {k} = {n + k-1 \ select k-1}}$

тогда сумма Чезаро C _k определяется как C _k ( s ) = N _{( p ^k )} ( s ). Суммы Чезаро являются средними по Норлунду, если k ≥ 0 , и, следовательно, являются регулярными, линейными, стабильными и согласованными. C ₀ - обычное суммирование, а C ₁ - обычное суммирование по Чезаро . Суммы Чезаро обладают тем свойством, что если h > k , то C _h сильнее, чем C _k .

Абелев означает

Предположим, что λ = { λ ₀ , λ ₁ , λ ₂ , ... } - строго возрастающая последовательность, стремящаяся к бесконечности, и что λ ₀ ≥ 0 . Предполагать

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {- \ lambda _ {n} x}}$

сходится для всех действительных чисел x  > 0. Тогда абелево среднее A _λ определяется как

${\ displaystyle A _ {\ lambda} (s) = \ lim _ {x \ rightarrow 0 ^ {+}} f (x).}$

В более общем смысле, если ряд для f сходится только для больших x, но может быть аналитически продолжен до всех положительных вещественных x , то можно по-прежнему определять сумму расходящихся рядов указанным выше пределом.

Ряд этого типа известен как обобщенный ряд Дирихле ; В приложениях к физике это известно как метод регуляризации теплового ядра .

Абелевы средние регулярны и линейны, но не стабильны и не всегда согласованы между различными вариантами λ . Однако в некоторых частных случаях очень важны методы суммирования.

Суммирование Абеля

Если λ _n = n , то получаем метод суммирования Абеля . Здесь

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {- nx} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n},}$

где z  = exp (- x ). Тогда предел f ( x ), когда x приближается к 0 через положительные действительные числа, является пределом степенного ряда для f ( z ), когда z приближается к 1 снизу через положительные действительные числа, а сумма Абеля A ( s ) определяется как

${\ displaystyle A (s) = \ lim _ {z \ rightarrow 1 ^ {-}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}.}$

Суммирование Абеля интересно отчасти потому, что оно согласуется с суммированием Чезаро, но более мощным : A ( s ) = C _k ( s ), если последнее определено. Таким образом, сумма Абеля является регулярной, линейной, стабильной и согласованной с суммированием Чезаро.

Суммирование Линделёфа

Если λ _n = n log ( n ) , то (индексируя с единицы) имеем

${\ displaystyle f (x) = a_ {1} + a_ {2} 2 ^ {- 2x} + a_ {3} 3 ^ {- 3x} + \ cdots.}$

Тогда L ( s ), сумма Линделёфа ( Волков, 2001 ) , является пределом f ( x ), когда x стремится к положительному нулю. Сумма Линделёфа является мощным методом, применяемым к степенным рядам среди других приложений, суммируя степенные ряды в звезде Миттаг-Леффлера . ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFVolkov2001 ( справка )

Если g ( z ) аналитична в круге вокруг нуля и, следовательно, имеет ряд Маклорена G ( z ) с положительным радиусом сходимости, то L ( G ( z )) = g ( z ) в звезде Миттаг-Леффлера. Более того, сходимость к g ( z ) равномерна на компактных подмножествах звезды.

Аналитическое продолжение

Некоторые методы суммирования предполагают получение значения аналитического продолжения функции.

Аналитическое продолжение степенного ряда

Если Σ a _n x ⁿ сходится для малого комплексного x и может быть аналитически продолжено по некоторому пути от x  = 0 до точки x  = 1, то сумма ряда может быть определена как значение при x  = 1. Это значение может зависеть от выбора пути.

Суммирование Эйлера

Суммирование Эйлера - это, по сути, явная форма аналитического продолжения. Если степенной ряд сходится при малых комплексных z и аналитически продолжается до открытого диска диаметром от−1/д  + 1до 1 и непрерывно в 1, то его значение в называется суммой Эйлера или (E, q ) ряда a ₀  + .... Эйлер использовал его до того, как аналитическое продолжение было определено в целом, и дал явные формулы для степенной ряд аналитического продолжения.

Операция суммирования Эйлера может повторяться несколько раз, что по существу эквивалентно аналитическому продолжению степенного ряда в точку  z  = 1.

Аналитическое продолжение ряда Дирихле.

Этот метод определяет сумму ряда как значение аналитического продолжения ряда Дирихле.

${\ displaystyle f (s) = {\ frac {a_ {1}} {1 ^ {s}}} + {\ frac {a_ {2}} {2 ^ {s}}} + {\ frac {a_ { 3}} {3 ^ {s}}} + \ cdots}$

при s  = 0, если он существует и уникален. Этот метод иногда путают с регуляризацией дзета-функции.

Если s  = 0 - изолированная особенность, сумма определяется постоянным членом разложения в ряд Лорана.

Регуляризация дзета-функции

Если сериал

${\ displaystyle f (s) = {\ frac {1} {a_ {1} ^ {s}}} + {\ frac {1} {a_ {2} ^ {s}}} + {\ frac {1} {a_ {3} ^ {s}}} + \ cdots}$

(для положительных значений a _n ) сходится для больших вещественных s и может быть аналитически продолжено вдоль вещественной прямой до s  = −1, тогда его значение при s  = −1 называется дзета-регуляризованной суммой ряда a ₁  +  a ₂  + ... Дзета-функция регуляризация нелинейна. В приложениях числа a _i иногда являются собственными значениями самосопряженного оператора A с компактной резольвентой, а затем f ( s ) является следом оператора A ^{- s} . Например, если A имеет собственные значения 1, 2, 3, ..., то f ( s ) - это дзета-функция Римана , ζ ( s ), значение которой при s  = −1 равно -1/12, Присвоение значения к серии расходящихся 1 + 2 + 3 + 4 + ... . Другие значения s также могут использоваться для присвоения значений расходящимся суммам ζ (0) = 1 + 1 + 1 + ... = -1/2, ζ (−2) = 1 + 4 + 9 + ... = 0 и, вообще говоря,

${\ displaystyle \ zeta (-s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n ^ {s} = 1 ^ {s} + 2 ^ {s} + 3 ^ {s} + \ cdots = - {\ frac {B_ {s + 1}} {s + 1}} \ ,,}$

где B _k - число Бернулли .

Интегральная функция означает

Если J ( x ) = Σ p _n x ⁿ - целая функция, то сумма J ряда a ₀  + ... определяется как

${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ sum _ {n} p_ {n} (a_ {0} + \ cdots + a_ {n}) x ^ {n}} {\ sum _ {n} p_ {n} x ^ {n}}},}$

если этот предел существует.

Существует разновидность этого метода, в которой ряд для J имеет конечный радиус сходимости r и расходится при x  =  r . В этом случае сумму определяют, как указано выше, за исключением того, что берется предел, поскольку x стремится к r, а не к бесконечности.

Борелевское суммирование

В частном случае, когда J ( x ) =  e ^x, это дает одну (слабую) форму борелевского суммирования .

Метод Валирона

Метод Валирона является обобщением борелевском суммирования к некоторым более общим интегральным функциям J . Валирон показал, что при определенных условиях это эквивалентно определению суммы ряда как

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ sqrt {\ frac {H (n)} {2 \ pi}}} \ sum _ {h \ in Z} e ^ {- {\ frac { 1} {2}} h ^ {2} H (n)} (a_ {0} + \ cdots + a_ {h})}$

где H - вторая производная G и c ( n ) =  e ^{- G ( n )} , а a ₀  + ... +  a _h следует интерпретировать как 0, когда  h  <0.

Моментные методы

Предположим, что dμ - такая мера на вещественной прямой, что все моменты

${\ displaystyle \ mu _ {n} = \ int x ^ {n} \, d \ mu}$

конечны. Если a ₀  +  a ₁  + ... - такой ряд, что

${\ displaystyle a (x) = {\ frac {a_ {0} x ^ {0}} {\ mu _ {0}}} + {\ frac {a_ {1} x ^ {1}} {\ mu _ {1}}} + \ cdots}$

сходится для всех x в носителе μ , то ( dμ ) сумма ряда определяется как значение интеграла

${\ Displaystyle \ int а (х) \, д \ му}$

если он определен. (Если числа μ _n растут слишком быстро, они не определяют однозначно меру μ .)

Борелевское суммирование

Например, если dμ  =  e ^{- x}  dx для положительного x и 0 для отрицательного x, то μ _n  =  n !, И это дает одну версию суммирования по Борелю , где значение суммы определяется как

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t} \ sum {\ frac {a_ {n} t ^ {n}} {n!}} \, dt.}$

Это обобщение, зависящее от переменной α , называемое суммой (B ′, α ), где сумма ряда a ₀  + ... определяется как

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t} \ sum {\ frac {a_ {n} t ^ {n \ alpha}} {\ Gamma (n \ alpha +1)}} \, dt}$

если этот интеграл существует. Дальнейшее обобщение состоит в замене суммы под интегралом ее аналитическим продолжением с малых  t .

Разные методы

BGN гиперреальное суммирование

Этот метод суммирования работает с использованием расширения действительных чисел, известных как гиперреальные числа . Поскольку гиперреальные числа включают в себя различные бесконечные значения, эти числа можно использовать для представления значений расходящихся рядов. Ключевой метод состоит в том, чтобы обозначить конкретное бесконечное значение, которое обычно суммируется и используется как единица бесконечности. Вместо суммирования до произвольной бесконечности (как это обычно делается ), метод BGN суммирует конкретное гиперреальное бесконечное значение, помеченное . Следовательно, суммы имеют вид ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ Displaystyle \ сумма _ {х = 1} ^ {\ omega} е (х)}$

Это позволяет использовать стандартные формулы для конечных серий, такие как арифметические прогрессии в бесконечном контексте. Например, с помощью этого метода, сумма прогрессии является , или, используя только самый существенную бесконечную гиперреальную часть, . ${\ Displaystyle 1 + 2 + 3 + \ ldots}$${\ displaystyle {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} + {\ frac {\ omega} {2}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}}}$

Преобразования Хаусдорфа

Харди (1949 , глава 11).

Суммирование Гёльдера

Метод Хаттона

В 1812 году Хаттон представил метод суммирования расходящихся рядов, начиная с последовательности частичных сумм и многократно применяя операцию замены последовательности  s ₀ ,  s ₁ , ... последовательностью средних значений.с ₀  +  с ₁/2, с ₁  +  с ₂/2, ..., а затем переходя к пределу ( Hardy 1949 , p. 21).

Суммируемость Ингама

Ряд a ₁  + ... называется суммируемым по Ингхему к s, если

${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} \ sum _ {1 \ leq n \ leq x} a_ {n} {\ frac {n} {x}} \ left [{\ frac {x} {n }} \ right] = s.}$

Альберт Ингам показал, что если δ - любое положительное число, то суммируемость (C, - δ ) (Чезаро) влечет суммируемость Ингама, а суммируемость Ингама влечет суммируемость (C, δ ) Харди (1949 , приложение II).

Суммируемость Ламберта

Ряд a ₁  + ... называется суммируемым по Ламберту к s, если

${\ displaystyle \ lim _ {y \ rightarrow 0 ^ {+}} \ sum _ {n \ geq 1} a_ {n} {\ frac {nye ^ {- ny}} {1-e ^ {- ny}} } = s.}$

Если ряд (C, k ) (по Чезаро) суммируем для любого k, то он суммируем по Ламберту до одного и того же значения, а если ряд суммируем по Ламберту, то он суммируем по Абелю с тем же значением Харди (1949 , приложение II).

Суммирование по Ле Руа

Ряд a ₀  + ... называется суммируемым по Ле Руа к s, если

${\ displaystyle \ lim _ {\ zeta \ rightarrow 1 ^ {-}} \ sum _ {n} {\ frac {\ Gamma (1+ \ zeta n)} {\ Gamma (1 + n)}} a_ {n } = s.}$

Харди (1949 , 4,11)

Суммирование Миттаг-Леффлера

Ряд a ₀  + ... называется Mittag-Leffler (M), суммируемым с s, если

${\ displaystyle \ lim _ {\ delta \ rightarrow 0} \ sum _ {n} {\ frac {a_ {n}} {\ Gamma (1+ \ delta n)}} = s.}$

Харди (1949 , 4,11)

Рамануджан суммирование

Суммирование Рамануджана - это метод присвоения значения расходящимся рядам, используемый Рамануджаном и основанный на формуле суммирования Эйлера – Маклорена . Сумма Рамануджана ряда f (0) + f (1) + ... зависит не только от значений f в целых числах, но и от значений функции f в нецелых точках, поэтому на самом деле это не метод суммирования в смысле данной статьи.

Суммируемость по Риману

Ряд a ₁  + ... называется (R, k ) (или римановым) суммируемым с s, если

${\ displaystyle \ lim _ {h \ rightarrow 0} \ sum _ {n} a_ {n} \ left ({\ frac {\ sin nh} {nh}} \ right) ^ {k} = s.}$

Харди (1949 , 4,17) Серия ₁  + ... называется R ₂ суммируется к S , если

${\ displaystyle \ lim _ {h \ rightarrow 0} {\ frac {2} {\ pi}} \ sum _ {n} {\ frac {\ sin ^ {2} nh} {n ^ {2} h}} (a_ {1} + \ cdots + a_ {n}) = s.}$

Рисс означает

Если λ _n образуют возрастающую последовательность действительных чисел и

${\ displaystyle A _ {\ lambda} (x) = a_ {0} + \ cdots + a_ {n} {\ text {for}} \ lambda _ {n} <x \ leq \ lambda _ {n + 1}}$

то сумма Рисса (R, λ , κ ) ряда a ₀  + ... определяется как

${\ displaystyle \ lim _ {\ omega \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ kappa} {\ omega ^ {\ kappa}}} \ int _ {0} ^ {\ omega} A _ {\ lambda} (x) (\ omega -x) ^ {\ kappa -1} \, dx.}$

Суммируемость Валле-Пуссена

Ряд a ₁  + ... называется VP (или Валле-Пуссен) суммируемым к s, если

${\ Displaystyle \ lim _ {м \ rightarrow \ infty} \ sum _ {k = 0} ^ {m} a_ {k} {\ frac {[\ Gamma (m + 1)] ^ {2}} {\ Gamma (m + 1-k) \, \ Gamma (m + 1 + k)}} = \ lim _ {m \ rightarrow \ infty} \ left [a_ {0} + a_ {1} {\ frac {m} { m + 1}} + a_ {2} {\ frac {m (m-1)} {(m + 1) (m + 2)}} + \ cdots \ right] = s,}$

где - гамма-функция. Харди (1949 , 4.17). ${\ Displaystyle \ Gamma (х)}$

Смотрите также

• Теорема Сильвермана – Теплица.

Примечания

использованная литература

• Arteca, GA; Фернандес, FM; Кастро Е.А. (1990), Теория возмущений большого порядка и методы суммирования в квантовой механике , Берлин: Springer-Verlag..
• Бейкер-младший, Джорджия; Грейвс-Моррис, П. (1996), приближения Паде , Cambridge University Press.
• Брезинский, Ц .; Загля, М. Редиво (1991), Методы экстраполяции. Теория и практика , Северная Голландия.
• Харди, GH (1949), расходящиеся серии , Оксфорд: Clarendon Press.
• LeGuillou, J.C .; Зинн-Джастин, Дж. (1990), Поведение большого порядка теории возмущений , Амстердам: Северная Голландия.
• Волков, И.И. (2001) [1994], "Метод суммирования Линделёфа" , Энциклопедия математики , EMS Press.
• Захаров, А.А. (2001) [1994], "Метод суммирования Абеля" , Энциклопедия математики , EMS Press.
• "Метод суммирования Рисса" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вернер Бальзер: «От расходящихся степенных рядов к аналитическим функциям», Springer-Verlag, LNM 1582, ISBN 0-387-58268-1 (1994).
• Уильям О. Брей и Часлав В. Станоевич (редакторы): «Анализ дивергенции», Springer, ISBN 978-1-4612-7467-4 (1999).
• Александр И. Сайчев и Войбор Войчинский: «Распределения в физических и технических науках, том 1», глава 8 «Суммирование расходящихся рядов и интегралов», Springer (2018).