Линейное разностное уравнение - Linear difference equation

В математике и, в частности, в динамических системах , линейное разностное уравнение или линейное рекуррентное соотношение устанавливает равным 0 многочлен, который является линейным в различных итерациях переменной, то есть в значениях элементов последовательности . Линейность полинома означает, что каждый из его членов имеет степень 0 или 1. Обычно контекст - это эволюция некоторой переменной во времени, с текущим периодом времени или дискретным моментом времени, обозначенным как t , на один период ранее обозначенным как t - 1 , на один период позже как t + 1 и т. д.

П - го порядка линейного разностного уравнения является тот , который можно записать в терминах параметров ₁ , ..., _п и б , как

${\ displaystyle y_ {t} = a_ {1} y_ {t-1} + \ cdots + a_ {n} y_ {tn} + b,}$

или эквивалентно как

${\ displaystyle y_ {t + n} = a_ {1} y_ {t + n-1} + \ cdots + a_ {n} y_ {t} + b.}$

Уравнение называется однородным, если b = 0, и неоднородным, если b ≠ 0 . Поскольку наибольшая задержка между итерациями, появляющимися в уравнении, равна n , это уравнение n- го порядка, где n может быть любым положительным целым числом . Когда самая длинная задержка указывается численно, так что n не отображается в нотации как самая длинная временная задержка, n иногда используется вместо t для индексирования итераций.

В наиболее общем случае коэффициенты _я и б сами по себе могут быть функции от т ; однако в этой статье рассматривается наиболее распространенный случай - постоянные коэффициенты. Если коэффициенты _я являюсь многочленами в т уравнение называется линейным уравнением рецидивов с полиномиальными коэффициентами .

Решением такого уравнения является функцией т , а не о каких - либо итерации значений, что дает значение итерации в любое время. Чтобы найти решение, необходимо знать конкретные значения (известные как начальные условия ) n итераций, и обычно это n итераций, которые являются самыми старыми. Уравнение или его переменная называется устойчивой, если из любого набора начальных условий существует предел переменной при стремлении времени к бесконечности; этот предел называется устойчивым состоянием .

Уравнения разностей используются в различных контекстах, например, в экономике для моделирования эволюции во времени таких переменных, как валовой внутренний продукт , уровень инфляции , обменный курс и т. Д. Они используются при моделировании таких временных рядов, поскольку значения этих переменных переменные измеряются только через дискретные интервалы. В эконометрических приложениях линейные разностные уравнения моделируются с помощью стохастических членов в форме моделей авторегрессии (AR) и в таких моделях, как модели векторной авторегрессии (VAR) и авторегрессионного скользящего среднего (ARMA), которые сочетают AR с другими функциями.

Решение однородного случая

Характеристическое уравнение и корни

Решение однородного уравнения

${\ displaystyle x_ {t} = a_ {1} x_ {t-1} + \ cdots + a_ {n} x_ {tn}}$

предполагает сначала решение его характеристического уравнения

${\ displaystyle \ lambda ^ {n} = a_ {1} \ lambda ^ {n-1} + \ cdots + a_ {n-2} \ lambda ^ {2} + a_ {n-1} \ lambda + a_ { n}}$

для его характеристических корней λ ₁ , ..., λ _n . Эти корни могут быть решены алгебраически, если n ≤ 4 , но не обязательно в противном случае . Если решение использовать численно, все корни этого характеристического уравнения могут быть найдены численными методами . Однако для использования в теоретическом контексте может оказаться, что единственная информация, необходимая о корнях, - это то, больше ли какой-либо из них или равен 1 по абсолютной величине .

Может случиться так, что все корни действительны или вместо этого могут быть некоторые комплексные числа . В последнем случае все комплексные корни образуют комплексно сопряженные пары.

Решение с отчетливыми характерными корнями

Если все характеристические корни различны, решение однородного линейного разностного уравнения

${\ displaystyle x_ {t} = a_ {1} x_ {t-1} + \ cdots + a_ {n} x_ {tn}}$

можно записать в терминах характеристических корней как

${\ displaystyle x_ {t} = c_ {1} \ lambda _ {1} ^ {t} + \ cdots + c_ {n} \ lambda _ {n} ^ {t}}$

где коэффициенты c _i могут быть найдены путем обращения к начальным условиям. В частности, для каждого периода времени, для которого известно значение итерации, это значение и соответствующее ему значение t можно подставить в уравнение решения, чтобы получить линейное уравнение для n еще неизвестных параметров; n таких уравнений, по одному для каждого начального условия, могут быть решены одновременно для значений n параметров. Если все характеристические корни действительны, то все значения коэффициентов c _i также будут действительными; но с невещественными комплексными корнями, как правило, некоторые из этих коэффициентов также будут нереальными.

Преобразование сложного решения в тригонометрическую форму

Если есть комплексные корни, они входят в сопряженные пары, как и комплексные члены в уравнении решения. Если два из этих комплексных членов суть c _j λ^t
_jи c _{j +1} λ^t
_{j +1}, корни λ _j можно записать как

${\ displaystyle \ lambda _ {j}, \ lambda _ {j + 1} = \ alpha \ pm \ beta i = M \ left ({\ frac {\ alpha} {M}} \ pm {\ frac {\ beta } {M}} i \ right)}$

где i - мнимая единица, а M - модуль корней:

${\ displaystyle M = {\ sqrt {\ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2}}}.}$

Тогда два комплексных члена в уравнении решения можно записать как

${\ displaystyle {\ begin {align} c_ {j} \ lambda _ {j} ^ {t} + c_ {j + 1} \ lambda _ {j + 1} ^ {t} & = M ^ {t} \ left (c_ {j} \ left ({\ frac {\ alpha} {M}} + {\ frac {\ beta} {M}} i \ right) ^ {t} + c_ {j + 1} \ left ( {\ frac {\ alpha} {M}} - {\ frac {\ beta} {M}} i \ right) ^ {t} \ right) \\ [6pt] & = M ^ {t} \ left (c_ {j} \ left (\ cos \ theta + i \ sin \ theta \ right) ^ {t} + c_ {j + 1} \ left (\ cos \ theta -i \ sin \ theta \ right) ^ {t} \ right) \\ [6pt] & = M ^ {t} {\ bigl (} c_ {j} \ left (\ cos \ theta t + i \ sin \ theta t \ right) + c_ {j + 1} \ left (\ cos \ theta ti \ sin \ theta t \ right) {\ bigr)} \ end {align}}}$

где θ - угол, косинус которого равен α/M и чей синус β/M; последнее равенство здесь использует формулу де Муавра .

Теперь процесс нахождения коэффициентов c _j и c _{j +1} гарантирует, что они также являются комплексно сопряженными, что можно записать как γ ± δi . Использование этого в последнем уравнении дает это выражение для двух комплексных членов в уравнении решения:

${\ displaystyle 2M ^ {t} \ left (\ gamma \ cos \ theta t- \ delta \ sin \ theta t \ right)}$

который также можно записать как

${\ displaystyle 2 {\ sqrt {\ gamma ^ {2} + \ delta ^ {2}}} M ^ {t} \ cos (\ theta t + \ psi)}$

где ψ - угол, косинус которого равенγ/√ γ ² + δ ² и чей синус δ/√ γ ² + δ ².

Цикличность

В зависимости от начальных условий, даже если все корни действительны, итерации могут испытывать временную тенденцию к переходу выше и ниже значения установившегося состояния. Но истинная цикличность предполагает постоянную тенденцию к колебаниям, и это происходит, если имеется хотя бы одна пара комплексно сопряженных характеристических корней. Это можно увидеть в тригонометрической форме их вклада в решение уравнения, включая cos  θt и sin  θt .

Решение с повторяющимися характеристическими корнями

Во втором случае, если два корня идентичны ( λ ₁ = λ ₂ ), они оба могут быть обозначены как λ, и решение может иметь вид

${\ displaystyle x_ {t} = c_ {1} \ lambda ^ {t} + c_ {2} t \ lambda ^ {t}.}$

Преобразование в однородную форму

Если b ≠ 0 , уравнение

${\ displaystyle y_ {t} = a_ {1} y_ {t-1} + \ cdots + a_ {n} y_ {tn} + b}$

называется неоднородным . Для решения этого уравнения удобно преобразовать его в однородную форму без постоянного члена. Это делается путем первого нахождения значения устойчивого состояния уравнения - такого значения y * , что если n последовательных итераций все имеют это значение, то же самое будет и со всеми будущими значениями. Это значение можно найти, установив все значения y равными y * в разностном уравнении и решив, таким образом получив

${\ displaystyle y ^ {*} = {\ frac {b} {1-a_ {1} - \ cdots -a_ {n}}}}$

предполагая, что знаменатель не равен 0. Если он равен нулю, устойчивого состояния не существует.

Учитывая установившееся состояние, разностное уравнение можно переписать в терминах отклонений итераций от установившегося состояния, как

${\ displaystyle \ left (y_ {t} -y ^ {*} \ right) = a_ {1} \ left (y_ {t-1} -y ^ {*} \ right) + \ cdots + a_ {n} \ left (y_ {tn} -y ^ {*} \ right)}$

который не имеет постоянного члена, и который может быть записан более кратко как

${\ displaystyle x_ {t} = a_ {1} x_ {t-1} + \ cdots + a_ {n} x_ {tn}}$

где x равно y - y * . Это однородная форма.

Если устойчивого состояния нет, разностное уравнение

${\ displaystyle y_ {t} = a_ {1} y_ {t-1} + \ cdots + a_ {n} y_ {tn} + b}$

можно комбинировать с его эквивалентной формой

${\ displaystyle y_ {t-1} = a_ {1} y_ {t-2} + \ cdots + a_ {n} y_ {t- (n + 1)} + b}$

чтобы получить (решая оба для b )

${\ displaystyle y_ {t} -a_ {1} y_ {t-1} - \ cdots -a_ {n} y_ {tn} = y_ {t-1} -a_ {1} y_ {t-2} - \ cdots -a_ {n} y_ {t- (n + 1)}}$

в котором одинаковые члены могут быть объединены, чтобы дать однородное уравнение на порядок выше, чем исходное.

Стабильность

В решении уравнения

${\ displaystyle x_ {t} = c_ {1} \ lambda _ {1} ^ {t} + \ cdots + c_ {n} \ lambda _ {n} ^ {t},}$

член с действительными характеристическими корнями сходится к 0, когда t становится бесконечно большим, если абсолютное значение характеристического корня меньше 1. Если абсолютное значение равно 1, член будет оставаться постоянным по мере роста t, если корень равен +1, но будет колебаться между двумя значениями, если корень равен -1. Если абсолютное значение корня больше 1, член со временем будет становиться все больше и больше. Пара членов с комплексно сопряженными характеристическими корнями будет сходиться к 0 с демпфирующими флуктуациями, если абсолютное значение модуля M корней меньше 1; если модуль равен 1, то будут сохраняться постоянные колебания амплитуды объединенных членов; и если модуль больше 1, объединенные члены покажут колебания все возрастающей величины.

Таким образом, эволюционирующая переменная x будет сходиться к 0, если все характеристические корни имеют величину меньше 1.

Если наибольший корень имеет абсолютное значение 1, ни сходимости к 0, ни расхождения к бесконечности не произойдет. Если все корни с величиной 1 действительны и положительны, x сходится к сумме их постоянных членов c _i ; В отличие от стабильного случая, это сходящееся значение зависит от начальных условий; разные отправные точки в конечном итоге приводят к разным точкам. Если какой-либо корень равен -1, его член будет вносить постоянные колебания между двумя значениями. Если какой-либо из корней единичной величины является комплексным, то флуктуации x с постоянной амплитудой сохранятся.

Наконец, если какой-либо характеристический корень имеет величину больше 1, то x будет расходиться до бесконечности с течением времени или будет колебаться между все более большими положительными и отрицательными значениями.

Теорема Иссаи Шура утверждает, что все корни имеют величину меньше 1 (стабильный случай) тогда и только тогда, когда определенная последовательность определителей все положительны.

Если неоднородное линейное разностное уравнение было преобразовано в однородную форму, которая была проанализирована, как указано выше, то свойства устойчивости и цикличности исходного неоднородного уравнения будут такими же, как и у производной однородной формы, со сходимостью в стабильный случай - установившееся значение y * вместо 0.

Решение преобразованием в матричную форму

Альтернативный метод решения включает преобразование разностного уравнения n- го порядка в матричное разностное уравнение первого порядка . Это достигается записью w _{1, t} = y _t , w _{2, t} = y _{t −1} = w _{1, t −1} , w _{3, t} = y _{t −2} = w _{2, t −1} и т. Д. . Тогда исходное единственное уравнение n- го порядка

${\ displaystyle y_ {t} = a_ {1} y_ {t-1} + a_ {2} y_ {t-2} + \ cdots + a_ {n} y_ {tn} + b}$

можно заменить следующими n уравнениями первого порядка:

${\ displaystyle {\ begin {align} w_ {1, t} & = a_ {1} w_ {1, t-1} + a_ {2} w_ {2, t-1} + \ cdots + a_ {n} w_ {n, t-1} + b \\ w_ {2, t} & = w_ {1, t-1} \\ & \, \, \, \ vdots \\ w_ {n, t} & = w_ {П-1, Т-1}. \ end {Выровнено}}}$

Определив вектор w _i как

${\ displaystyle \ mathbf {w} _ {i} = {\ begin {bmatrix} w_ {1, i} \\ w_ {2, i} \\\ vdots \\ w_ {n, i} \ end {bmatrix} }}$

это можно представить в матричной форме как

${\ displaystyle \ mathbf {w} _ {t} = \ mathbf {A} \ mathbf {w} _ {t-1} + \ mathbf {b}}$

Здесь является п  ×  п матрица , в которой первая строка содержит ₁ , ..., _п и все остальные строки имеют один 1 со всеми другими элементами равных 0, и б представляет собой вектор - столбец с первым элементом Ь и с остальные его элементы равны 0.

Это матричное уравнение можно решить, используя методы, описанные в статье Матричное разностное уравнение .

Смотрите также

• Отношение повторения
• Линейное дифференциальное уравнение
• Теорема Сколема – Малера – Леха.

использованная литература