Мультииндексная нотация - Multi-index notation

Мультииндексная нотация - это математическая нотация, которая упрощает формулы, используемые в многомерном исчислении , уравнениях в частных производных и теории распределений , путем обобщения концепции целочисленного индекса на упорядоченный набор индексов.

Определение и основные свойства

П - мерный мультииндекс является п - кортеж

{\ Displaystyle \ альфа = (\ альфа _ {1}, \ альфа _ {2}, \ ldots, \ альфа _ {п})}

из неотрицательных целых чисел (т.е. элемента п - мерный набор из натуральных чисел , обозначается ). ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0} ^ {n}}$

Для мультииндексов и один определяет: ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {N} _ {0} ^ {n}}$ ${\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

Покомпонентная сумма и разность: ${\ displaystyle \ alpha \ pm \ beta = (\ alpha _ {1} \ pm \ beta _ {1}, \, \ alpha _ {2} \ pm \ beta _ {2}, \ ldots, \, \ alpha _ {п} \ pm \ beta _ {n})}$
Частичный заказ: ${\ displaystyle \ alpha \ leq \ beta \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ alpha _ {i} \ leq \ beta _ {i} \ quad \ forall \, i \ in \ {1, \ ldots, n \}}$
Сумма компонентов (абсолютное значение): ${\ displaystyle | \ alpha | = \ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ cdots + \ alpha _ {n}}$
Факториал: ${\ displaystyle \ alpha! = \ alpha _ {1}! \ cdot \ alpha _ {2}! \ cdots \ alpha _ {n}!}$
Биномиальный коэффициент: ${\ Displaystyle {\ binom {\ alpha} {\ beta}} = {\ binom {\ alpha _ {1}} {\ beta _ {1}}} {\ binom {\ alpha _ {2}} {\ beta _ {2}}} \ cdots {\ binom {\ alpha _ {n}} {\ beta _ {n}}} = {\ frac {\ alpha!} {\ Beta! (\ Alpha - \ beta)!} }}$
Полиномиальный коэффициент: ${\ displaystyle {\ binom {k} {\ alpha}} = {\ frac {k!} {\ alpha _ {1}! \ alpha _ {2}! \ cdots \ alpha _ {n}!}} = { \ frac {k!} {\ alpha!}}}$ где . ${\ Displaystyle к: = | \ альфа | \ в \ mathbb {N} _ {0}}$
Власть: ${\ displaystyle x ^ {\ alpha} = x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} x_ {2} ^ {\ alpha _ {2}} \ ldots x_ {n} ^ {\ alpha _ {n} }}$ .
Частная производная высшего порядка: ${\ Displaystyle \ partial ^ {\ alpha} = \ partial _ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ partial _ {2} ^ {\ alpha _ {2}} \ ldots \ partial _ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}$ где (см. также 4-градиент ). Иногда также используются обозначения . ${\ displaystyle \ partial _ {i} ^ {\ alpha _ {i}}: = \ partial ^ {\ alpha _ {i}} / \ partial x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}}}$ ${\ Displaystyle D ^ {\ alpha} = \ partial ^ {\ alpha}}$

Некоторые приложения

Нотация с несколькими индексами позволяет расширить многие формулы из элементарного исчисления до соответствующего случая с несколькими переменными. Ниже приведены некоторые примеры. Во всех следующих случаях, (или ) , и (или ). ${\ displaystyle x, y, h \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ nu \ in \ mathbb {N} _ {0} ^ {n}}$ ${\ displaystyle f, g, a _ {\ alpha} \ двоеточие \ mathbb {C} ^ {n} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$

Полиномиальная теорема: ${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ right) ^ {k} = \ sum _ {| \ alpha | = k} {\ binom {k} {\ alpha }} \, х ^ {\ альфа}}$
Многобиномиальная теорема: ${\ displaystyle (x + y) ^ {\ alpha} = \ sum _ {\ nu \ leq \ alpha} {\ binom {\ alpha} {\ nu}} \, x ^ {\ nu} y ^ {\ alpha - \ nu}.}$ Обратите внимание: поскольку $x + y$ - вектор, а $α$ - мультииндекс, выражение слева является сокращением от $(x 1 + y 1) α 1 \dots (x n + y n) α n$ .
Формула Лейбница: Для гладких функций f и g ${\ Displaystyle \ partial ^ {\ alpha} (fg) = \ sum _ {\ nu \ leq \ alpha} {\ binom {\ alpha} {\ nu}} \, \ partial ^ {\ nu} f \, \ частичный ^ {\ alpha - \ nu} g.}$
Серия Тейлора: Для аналитической функции F в п переменных имеет один ${\ displaystyle f (x + h) = \ sum _ {\ alpha \ in \ mathbb {N} _ {0} ^ {n}} {{\ frac {\ partial ^ {\ alpha} f (x)} { \ alpha!}} h ^ {\ alpha}}.}$ Фактически, для достаточно гладкой функции мы имеем аналогичное разложение Тейлора ${\ displaystyle f (x + h) = \ sum _ {| \ alpha | \ leq n} {{\ frac {\ partial ^ {\ alpha} f (x)} {\ alpha!}} h ^ {\ alpha }} + R_ {n} (x, h),}$ где последний член (остаток) зависит от точной версии формулы Тейлора. Например, для формулы Коши (с целым остатком) получаем ${\ displaystyle R_ {n} (x, h) = (n + 1) \ sum _ {| \ alpha | = n + 1} {\ frac {h ^ {\ alpha}} {\ alpha!}} \ int _ {0} ^ {1} (1-t) ^ {n} \ partial ^ {\ alpha} f (x + th) \, dt.}$
Общий линейный дифференциальный оператор в частных производных: Формальный линейный оператор в частных производных N-го порядка от n переменных записывается как ${\ Displaystyle P (\ partial) = \ sum _ {| \ alpha | \ leq N} {a _ {\ alpha} (x) \ partial ^ {\ alpha}}.}$
Интеграция по частям: Для гладких функций с компактным носителем в ограниченной области имеем ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} и (\ partial ^ {\ alpha} v) \, dx = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int _ {\ Omega} {(\ partial ^ {\ альфа} и) v \, dx}.}$ Эта формула используется для определения распределений и слабых производных .

Пример теоремы

Если - мультииндексы и , то ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {N} _ {0} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle х = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$

{\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} x ^ {\ beta} = {\ begin {case} {\ frac {\ beta!} {(\ beta - \ alpha)!}} x ^ {\ beta - \ alpha } & {\ text {if}} ~ \ alpha \ leq \ beta, \\ 0 & {\ text {в противном случае.}} \ end {cases}}}

Доказательство

Доказательство следует из правила мощности для обыкновенной производной ; если α и β находятся в {0, 1, 2,…}, то

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {\ alpha}} {dx ^ {\ alpha}}} x ^ {\ beta} = {\ begin {cases} {\ frac {\ beta!} {(\ beta - \ альфа)!}} x ^ {\ beta - \ alpha} & {\ hbox {if}} \, \, \ alpha \ leq \ beta, \\ 0 & {\ hbox {в противном случае.}} \ end {cases}} }

( 1 )

Предположим , и . Тогда у нас есть это ${\ Displaystyle \ альфа = (\ альфа _ {1}, \ ldots, \ альфа _ {п})}$ ${\ Displaystyle \ бета = (\ бета _ {1}, \ ldots, \ бета _ {п})}$ ${\ Displaystyle х = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ partial ^ {\ alpha} x ^ {\ beta} & = {\ frac {\ partial ^ {\ vert \ alpha \ vert}} {\ partial x_ {1} ^ {\ альфа _ {1}} \ cdots \ partial x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}} x_ {1} ^ {\ beta _ {1}} \ cdots x_ {n} ^ {\ beta _ { n}} \\ & = {\ frac {\ partial ^ {\ alpha _ {1}}} {\ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}}}} x_ {1} ^ {\ beta _ {1}} \ cdots {\ frac {\ partial ^ {\ alpha _ {n}}} {\ partial x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}} x_ {n} ^ {\ beta _ { n}}. \ end {выровнен}}}

Для каждого i в {1,…, n } функция зависит только от . Таким образом, в изложенном выше каждое частичное дифференцирование сводится к соответствующему обычному дифференцированию . Следовательно, из уравнения ( 1 ) следует, что обращается в нуль, если α _i > β _i хотя бы для одного i из {1,…, n }. Если это не так, т. Е. Если α ≤ β как мультииндексы, то ${\ Displaystyle х_ {я} ^ {\ бета _ {я}}}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ partial / \ partial x_ {i}}$ ${\ displaystyle d / dx_ {i}}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} x ^ {\ beta}}$

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {\ alpha _ {i}}} {dx_ {i} ^ {\ alpha _ {i}}}} x_ {i} ^ {\ beta _ {i}} = {\ гидроразрыв {\ beta _ {i}!} {(\ beta _ {i} - \ alpha _ {i})!}} x_ {i} ^ {\ beta _ {i} - \ alpha _ {i}}}

для каждого и следует теорема. QED

{\ displaystyle i}

Смотрите также

использованная литература

Сен-Раймонд, Ксавье (1991). Элементарное введение в теорию псевдодифференциальных операторов . Глава 1.1. CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9

Эта статья включает материал из многоиндексной производной мощности на PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

Languages

In other projects